En la teoría de número, el número de Skewes del puede referir a varios números extremadamente grandes usados por el surafricano Stanley Skewes del matemático como límites superiores para el más pequeño x del número natural para el cual $\backslash \; pi\; del\; (x)\; -\; li\; (x)\; >\; 0$

donde π (x) es la función de Primero-cuenta y el li ( x ) es la función integral logarítmica . Los números encontrados por Skewes ahora están solamente de interés histórico, porque los cálculos de la computadora han producido estimaciones mucho más pequeñas; en fecha 2007 estos cálculos sugieren que el más pequeño tal x esté cercano a 1.397× 10³¹⁶.

Números de Skewes

El Juan Edensor Littlewood, profesor de Skewes, probado en ése allí es tal número (y por eso, un primer tal número); y encontrado de hecho que la muestra del &pi de la diferencia; ( x )   −   el li ( x ) cambia infinitamente a menudo. Todo el disponible numérico de la evidencia entonces parecido para sugerir ese π ( x ) está siempre menos que el li ( x ), aunque los matemáticos familiares con el trabajo de Riemann sobre la función de zeta de Riemann habrían realizado probablemente que las excepciones ocasionales eran probables por el de la discusión dado debajo de (y de la demanda hecha a veces que el resultado de Littlewood era una sorpresa grande a los expertos parece dudoso). La prueba de Littlewood no hizo, no obstante objeto expuesto un concreto tal x del número; no era un resultado eficaz .

probado que, si se asume que la hipótesis de Riemann es verdad, existe un x del número que viola π ( x ) < li ( x ) debajo del $e^\; del\; \{e^\; \{e^\; \{79\}\}\}$

(ahora a veces llamado número de primer Skewes del ), que es aproximadamente igual al
$10^\; \{10^\; \{8.85\; \backslash \; épocas\; 10^\; \{33\}\}\}$ del
.

En, sin si se asume que la hipótesis de Riemann, él manejó probar que allí debe existir un valor del x debajo del
$10^\; \{10^\; \{10^\; \{963\}\}\}$ del

(a veces llamado número de Skewes del en segundo lugar). La tarea de Skewes era hacer la prueba de la existencia de Littlewood eficaz: exhibición de un poco de límite superior concreto para el primer cambio de la muestra. Según el George Kreisel, éste en ese entonces no era considerado obvio incluso en principio. El acercamiento llamó el que desenrollaba en miradas de la teoría de la prueba directo en las pruebas y su estructura para producir los límites. La otra manera, más a menudo en gran número en la práctica considerada teoría, cambia la estructura de la prueba bastante para poder hacer constantes absolutos más explícitos.

El resultado de Skewes fue celebrado en parte porque la estructura de la prueba utilizó medio excluido, que no es el a priori a la discusión constructiva (divide en dos casos, y no es computable en este caso uno está trabajando). Aunque ambos números de Skewes sean grandes comparados a la mayoría de los números encontrados en pruebas matemáticas, ni unos ni otros son dondequiera cerca tan grandes como el número de Graham.

Estimaciones más recientes

Estos límites superiores (enormes) han sido reducidos desde entonces considerablemente usando cálculos de la computadora del gran escala de los ceros de la función de zeta de Riemann. La primera estimación para el valor real de un punto de la cruce fue dada cerca, que demostrado eso en alguna parte entre 1.53× 10¹¹⁶⁵ y 1.65× 10¹¹⁶⁵ allí son más que el consecutivo x de los números enteros 10⁵⁰⁰ con π ( x ) > li ( x ). Sin si se asume que la hipótesis de Riemann, probada un límite superior de 7. Una mejor valoración era 1.39822 descubiertos cerca, que demostraron que hay por lo menos los números enteros consecutivos 10¹⁵³ en alguna parte cerca de este valor donde π ( x ) > li ( x ), y sugerido que haya probablemente por lo menos 10³¹¹. dio una pequeñas mejora y corrección al resultado de bahías y de Hudson. sugerido que el primer punto de la cruce esté cerca del valor levemente más pequeño 1.397162914× 10³¹⁶, aunque en fecha 2007 su trabajo no se ha publicado ni se ha comprobado independiente. Las bahías y Hudson encontraron algunos valores mucho más pequeños del x donde π (x) consigue cerca del li (x); la posibilidad que haya puntos de la cruce cerca de estos valores no parece haber sido eliminada definitivamente todavía, aunque los cálculos de la computadora sugieren que sean poco probables de existir. No hay explícito x del valor conocido para que seguro tenga el &pi de la característica; (x) > li (x), aunque los cálculos de la computadora sugieren algunos números explícitos que sean absolutamente probables satisfacer esto.

demostrado eso la proporción de números enteros para los cuales π ( x ) el >li ( x ) es positivo, y demostrado que esta proporción es cerca de .00000026, que es hasta dónde dado el asombrosamente grande tiene que ir a encontrar el primer ejemplo.

Fórmula de Riemann

Riemann dio una fórmula explícita para el π (x), cuyos términos principales son (no haciendo caso de algunas preguntas sutiles de la convergencia) el $\backslash \; pi\; (x)\; =\; li\; (x)\; -\; li\; (\backslash raíz\; cuadrada\{x\})\; /2\; del\; -\; \backslash \; li\; del\; sum\_\; \backslash \; de\; rho\; (x^\; \backslash \; rho)$ + términos más pequeños donde está la suma sobre &rho de los ceros; de la función de zeta de Riemann. El término más grande del error del &pi de la aproximación; (x) = li (x) (si la hipótesis de Riemann es verdad) es el li (x^1/2) /2, demostrando que el li ( x ) es generalmente más grande que π (x). El otro llama antedicho es algo más pequeño, y por otra parte tiende a hacer que diversas discusiones complejas tan sobre todo se anulen. De vez en cuando sin embargo, muchos los más grandes ellos fuerza suceden tener áspero la misma discusión compleja, en este caso se refuerzan en vez de la cancelación y abruman el li del término (x^1/2) /2. La razón por la que es el número de Skewes así que grande es que estos términos más pequeños son bastante más pequeños que el término principal del error, principalmente porque el primer complejo cero de la función de zeta tiene absolutamente una parte imaginaria grande, así que un gran número (varios cientos) de ellos necesidad de tener áspero la misma discusión para abrumar el término dominante. La ocasión de los números complejos al azar del N que tienen áspero la misma discusión es cerca de 1 en 2 ^{el N} . Esto explica porqué π ( x ) es a veces más grande que el li ( x ), y también porqué es raro para que suceda esto. También demuestra porqué encontrar los lugares en donde sucede éste depende de cálculos del gran escala de millones de ceros de la alta precisión de la función de zeta de Riemann. La discusión antedicha no es una prueba, pues asume que los ceros de la función de zeta de Riemann son al azar que no es verdad. En línea general, la prueba de Littlewood consiste en el demostrar que eso en un cierto sentido los ceros son " suficientemente random" para que esta discusión trabaje.

En el acontecimiento inverosímil que la hipótesis de Riemann es falsa, la discusión es mucho más simple, esencialmente porque el li de los términos (^{&rho del x ;} ) para los ceros que violan la hipótesis de Riemann (con la parte real mayor el de 1/2) son eventual más grandes que el li ( x ^1/2).

La razón del li del término ( x ^1/2) /2 es que, en línea general, el li ( x ) está contando no prepara, pero prepara el n del ^{del p de las energías cargado por 1 n, y el li ( x 1/2) /2 es una clase de término de corrección que viene de cuadrados de prepara.}

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