En las matemáticas, un cuadrado-libre, o el quadratfrei, número entero del es un divisible al lado de ningún cuadrado perfecto, a menos que 1. por ejemplo, 10 sea cuadrado-libre pero no es 18, pues es divisible por 9 = 3². Los números cuadrado-libres más pequeños son

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39 del ,…

Caracterizaciones equivalentes de números cuadrado-libres

El positivo n del número entero es cuadrado-libre si y solamente si en la facturización de la prima n, ningún número primero ocurre más de una vez. Otra manera de indicar iguales es ésa para cada múltiple p primero del n, el primero p no divide el n / p . Otra más formulación: el n es cuadrado-libre si y solamente si en cada n de la facturización = el ab, el de los factores un y el b son el coprimero.

El positivo n del número entero es cuadrado-libre si y solamente si &mu de ; ( n ) ≠ 0, donde μ denota la función de Möbius.

El positivo n del número entero es cuadrado-libre si y solamente si todos los grupos abelianos n de la orden son el isomorfo, que es el caso si y solamente si todos son el cíclico. Esto sigue de la clasificación de los grupos abelianos finito generados

El n del número entero es cuadrado-libre si y solamente si el Z del anillo de factor /el Z del n (véase la aritmética modular ) es un producto de los campos éste sigue del teorema chino del resto y del hecho de que un anillo del Z de la forma/del Z del k es un campo si y solamente si el k es una prima.

Para cada positivo n del número entero, el sistema de todos los divisores positivos del n se convierte en un sistema parcialmente pedido si utilizamos la divisibilidad como la relación de orden. Este sistema parcialmente pedido es siempre un enrejado distributivo . Es una álgebra boleana si y solamente si el n es cuadrado-libre.

El radical de un número entero es siempre cuadrado-libre.

Distribución de números cuadrado-libres

Si el Q ( x ) denota el número de números enteros cuadrado-libres entre 1 y del x, entonces $Q\; del$

l (x) = \ frac {6x} {\ pi^2} + O (\ raíz cuadrada {x})

(véase la notación grande pi y O). La densidad natural asintótico de números cuadrado-libres está por lo tanto

$\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{Q\; (x)\}\; \{x\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del\; frac\; \{6\}\; \{\backslash \; pi^2\}\; \{1\}\; \{\backslash \; zeta\; (2)\}$

donde ζ es la función de zeta de Riemann .

Asimismo, si el Q ( x, n ) denota el número de números enteros energía-libres del th del n entre 1 y del x, uno puede demostrar

$\backslash \; lim\_\; \{x\; \backslash \; a\; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{=\; \backslash \; frac\; de\; Q\; (x,\; n)\}\; \{x\}\; \{1\}\; \{\backslash \; zeta\; (n)\}.$

Codificación como números binarios

Si representamos un cuadrado-libre numerar como el producto infinito: el $del$

l \ el ^ del prod_ {n=0} \ {p_ {n+1}} el ^ infty {a_n}, el a_n \ en \ lbrace 0, 1 \ rbrace, y $p\_n$ es la prima del th del n .

después podemos tomar esos $a\_n$ y utilizarlos como pedacitos en un número binario, es decir con la codificación:

$\backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; \{\}\; \backslash \; cdot\; 2^n$ del a_n

e. El número cuadrado-libre 42 tiene facturización 2 × 3 × 7, o como producto infinito: · 2¹; · 3¹; · 5⁰; · 7¹; · 11⁰; · 13⁰; …; Así el decimal 42 se puede codificar como el binario… 001011 de la secuencia o 11 del número. (Nota que los dígitos binarios están invertidos de ordenar en el producto infinito.)

Puesto que la facturización primera de cada número es única, tan entonces está cada codificación binaria de los números enteros cuadrado-libres.

El inverso es también verdad. Puesto que cada número entero positivo tiene una representación binaria única es posible invertir esta codificación para poderlos “descifrar” en un número entero cuadrado-libre único.

Una vez más por ejemplo si comenzamos con el número 42, este vez como simplemente número entero positivo, tenemos su representación binaria 101010. Esto “descifra” para convertirse en el · 2⁰; · 3¹; · 5⁰; · 7¹; · 11⁰; 13¹ = 3 × 7 × 13 = 273.

Entre otras cosas, esto implica que el sistema de todos los números enteros cuadrado-libres tiene la misma cardinalidad que el sistema de todos los números enteros. Alternadamente eso lleva al hecho de que las codificaciones de la en-orden de los números enteros cuadrado-libres son una permutación del sistema de todos los números enteros.

Ver el A048672 de las secuencias y el A064273 en el OEIS

Conjetura de Erdős Squarefree

El coeficiente binomial central

$\{2n\; \backslash \; eligen\; n\}$

nunca está el squarefree para el n > 4. Esto fue probada en 1996 por el Olivier Ramaré y el Andrew Granville .