En las matemáticas, un número irracional es cualquier número verdadero que no sea un número racional - es decir, es un número que no se puede expresar como m / n de la fracción, donde están los números enteros el m y el n, con el n diferente a cero. Informal, esto significa los números que no se pueden representar como fracciones simples. Puede ser deducido que también no pueden ser representadas como decimales el terminar o de repetición, pero la idea es más profunda que ésa. Mientras que puede parecer extraña en la primera audiencia, el casi todos los números verdaderos de es irracional, en cierto modo que se define más exacto abajo. Quizás los números irracionales más bien conocidos son el π y $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}$ .

Cuando el cociente de longitudes dos de la línea segmentos es irracional, la línea segmentos también se describe como siendo el inconmensurable del, significando ellos no comparte ninguna medida en campo común. Una medida del de una línea I del segmento en este sentido es una línea J del segmento que " measures" El I en el sentido que un cierto número entero de copias del J puso de punta a punta ocupa la misma longitud que el I .

Historia

La primera prueba de la existencia de números irracionales se atribuye generalmente al Hippasus de Metapontum, un pitagórico que los descubrió probablemente mientras que identificaba los lados del Pentagram . Sin embargo el Pythagoras creyó en la rotundidad de números, y no podía aceptar la existencia de números irracionales. Él no podría refutar su existencia con lógica, pero su creencia no aceptaría la existencia de números irracionales y por eso, como la leyenda la tenía, él hizo Hippasus ahogar. El Theodorus de Cyrene probó la irracionalidad de los surds de números enteros hasta 17, pero paró allí probablemente porque la álgebra que él utilizó no se podría aplicar a la raíz cuadrada de 17. No era hasta que el Eudoxus desarrolló una teoría de cocientes irracionales que una fundación matemática fuerte de números irracionales fue creada. el libro 10 de los elementos de Euclid se dedica a la clasificación de magnitudes irracionales.

El siglo XVI consideró la aceptación negativo, integral y de los números fraccionarios . El siglo XVII consideró fracciones decimales con la notación moderna usada absolutamente generalmente por los matemáticos. Los cientos años próximos consideraron números imaginarios convertirse en una herramienta de gran alcance en las manos Abraham de Moivre, y especialmente Leonhard Euler . Para el siglo XIX permanecía terminar la teoría de los números complejos para separar irrationals en algebraico y trascendental, probar la existencia de los números trascendentales y hacer un estudio científico de un tema cuál tenía seguían siendo casi inactivos desde el Euclid, la teoría de irrationals. El año 1872 consideró la publicación de las teorías Karl Weierstrass (por su Kossak de la pupila), Heine ( Crelle, 74), chantre (Annalen del de Jorge, 5), y Richard Dedekind . El Méray había admitido 1869 el mismo punto de la salida que el Heine, pero la teoría se refiere generalmente el año 1872. El método de Weierstrass ha sido dispuesto totalmente por el Salvador Pincherle en 1880, y Dedekind ha recibido la prominencia adicional con el trabajo posterior del autor (1888) y el endoso reciente por la curtiduría (1894) de Paul. Base de Weierstrass, del chantre, y de Heine sus teorías en series infinitas, mientras que Dedekind funda el suyo en la idea de un corte (Schnitt) en el sistema de los números verdaderos que separan todos los números racionales en dos grupos que tienen ciertas características características. El tema ha recibido contribuciones posteriores en las manos de Weierstrass, Kronecker (Crelle, 101), y de Méray.

Las fracciones continuas estrechamente vinculadas a los números irracionales (y debido a Cataldi, 1613), a la atención recibida en las manos Euler, y en la abertura del siglo XIX fueron traídas en prominencia con las escrituras Lagrange . Dirichlet también agregó a la teoría general, como tienen contribuidores numerosos a los usos del tema.

El Lamberto probó (1761) ese π no puede ser racional, y ese n del ^{del e es irracional si el n es racional (a menos que el n = 0). Mientras que la prueba de Lamberto se dice a menudo para ser incompleta, los gravámenes modernos la apoyan como satisfactoria, y de hecho por su tiempo inusualmente riguroso. Legendre (1794), después de introducir la función de Bessel-Clifford, con tal que una prueba para demostrar ese π 2 es irracional, de dónde sigue inmediatamente ese π es irracional también. La existencia de números trascendentales primero fue establecida por Liouville (1844, 1851). Más adelante, Jorge que el chantre (1873) probó su existencia por un diverso método, de que demostró que cada intervalo en los reals contiene números trascendentales. Primeros de Charles Hermite 1873) (probaron $e$ trascendental, y el Fernando von Lindemann (1882), a partir de las conclusiones de Hermite, demostró iguales para el π. La prueba de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), aún más por el David Hilbert (1893), y finalmente hecha elemental por el Adolfo Hurwitz y el Paul Albert Gordan .}

Pruebas del ejemplo

La raíz cuadrada de 2

Una prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 es el absurdum de anuncio de Reductio siguiente . El asunto es probado si se asume que el contrario y demostrando que el hacer lleva tan a una contradicción (por lo tanto el asunto debe ser verdad).

asume que el $\backslash \; el\; scriptstyle\; \backslash raíz\; cuadrada\{2\}$ es un número racional. Esta asunción implica que existen el m de los números enteros y el n con el ≠ 0 del n tales que el m / n

de = de √2. Entonces √2 se puede también escribir mientras que un irreducible m / n de la fracción (la fracción se acorta tanto cuanto sea posible). Esto significa que el m y el n son números enteros coprimeros, es decir, no tienen ningún factor común mayor de 1.

Del m / n = √2 sigue ese m = el n √2, y tan el m ² = (el n √2)² = 2 el n ².

El m ² es tan un número par, porque es igual 2 al n ², que es uniforme.

Sigue que el m sí mismo está incluso ( puesto que solamente los números pares tienen incluso cuadrados ).

Porque el m es uniforme, existe un satisfying m del k del número entero = 2 el k .

Podemos por lo tanto substituir 2 el k para el m en la ecuación pasada de (3), de tal modo obteniendo la ecuación (2 k ) ² = 2 el n ², que es equivalente 4 al k ² = 2 el n ² y se puede simplificar 2 al k ² = el n ².

Porque 2 el k ² es uniforme, ahora sigue que el n ² es también uniforme, así que significa que el n está incluso (memoria que solamente los números pares tienen incluso cuadrados).

Entonces, por (5) y (8), el m y el n son ambo incluso, en los cuales contradice la característica indicada (2) que el m / n es irreducible.

Puesto que hemos encontrado una contradicción, la asunción inicial (1) que √2 es un número racional es falsa; es decir, √2 es irracional.

Esta prueba se puede generalizar para demostrar que cualquier raíz de cualquier número natural es un número natural o irracional.

Otra prueba

La discusión siguiente del absurdum de anuncio de Reductio que demuestra la irracionalidad de √2 es menos bien sabido. Utiliza la información adicional √2 > 1. Asumir que √2 es un número racional. Esto significaría que existen el m de los números enteros y el n con el ≠ 0 del n tales que el m / n

de = de √2. Entonces √2 se puede también escribir como irreducible m / n de la fracción con números enteros positivos del, porque √2 > 0.

Entonces $\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{2\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; raíz\; cuadrado\; \{2\}\; \backslash \; cdot\; n\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\; -\; 1)\}\{n\; (\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\; -\; 1)\}\; =\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{los\; 2n-m\}\; \{manganeso\}$ del frac {2n- \ raíz cuadrada {2} n} n-n {\ raíz cuadrada {2}}, porque $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\; n=m$.

Desde √2 > 1, sigue ese m > el n, que alternadamente implica ese m > 2 el n - m .

Tan el m / n de la fracción para √2, que según (2) es ya en los términos más bajos, se representa por (3) en terminantemente más bajo llama. Esto es una contradicción, tan la asunción que √2 es racional debe ser falso.

Semejantemente, asumir un triángulo correcto isósceles cuya pierna e hipotenusa tenga el respectivo n de las longitudes del número entero y m . Por el teorema pitagórico, el m / n del cociente iguala √2. Es posible construir por una construcción clásica del compás y de la regla un triángulo correcto isósceles más pequeño cuya pierna e hipotenusa tenga   respectivo del m de las longitudes; −   n y 2   del n ; −   m . Esa construcción prueba la irracionalidad de √2 por la clase de método que fue empleado por los geómetras del griego clásico.

La raíz cuadrada de 10 y más allá

Si el $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{10\}$ es un racional, decir el m/n, entonces m ² = 10 el n ². Sin embargo, en la notación decimal, cada cuadrado termina en un número par de ceros. Tan entonces el m ² y 10 n del ² en decimal debe terminar en respectivamente incluso y el número impar de ceros, una contradicción.

Más generalmente, en cualquie r que no sea sí mismo un cuadrado, extremos de la raíz de cada cuadrado en números pares de ceros, de dónde style=" √ de >10 _{en el r de la raíz es irracional, es decir, style=" √ el r es irracional. Sigue que los únicos números enteros con las raíces cuadradas racionales son cuadrados. Pues no es un ejemplo, 2 un cuadrado, y 2 en binario es 102. (Observar la convención de los números nondecimal de la subindicación con su raíz, para evitar ambigüedad. Como parte de esa convención los subíndices se entienden para estar en decimal, no subscripted.)}

Para ir incluso más futuros, podemos considerar el k del ^{del m} = el k del ^{del r*n del para cualquier r de los números enteros y el k . Si el $r\; \backslash \; ne\; u^k$ para cualquier u, entonces r del número entero tiene por lo menos un p del factor primero levantado a un exponente que no sea divisible por el k . Como todos los exponentes en la facturización de la prima mk son divisibles por el k, para que la ecuación se sostenga, la facturización primera del n k deben contener el p levantado a una energía que no sea también divisible por el k . Pero esto es claramente imposible. Así, para cualquier r de los números enteros y el k, $\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{r\}$ es irracional si el $r\; \backslash \; ne\; u^k$ para cualquier u del número entero. Este resultado también sigue del hecho de que el aumento de un número racional no íntegro a una energía integral puede nunca igualar un número entero además de 1.}

El cociente de oro

Cuando una línea segmento se divide en dos desunir los subsegmentos de una manera tal que el cociente del conjunto a la parte más larga iguale el cociente de la parte más larga a la parte más corta, después ese cociente sea el cociente de oro, iguale a

$\backslash \; varphi=\; \{1+\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{5\}\; \backslash \; sobre\; 2\}.$

Asumir que esto es un n / m del número racional en los términos más bajos. Tomar el n para ser la longitud del conjunto y del m la longitud de la partición más larga. Entonces el n > el m, y la longitud de la parte más corta es   del n ; −  m . Entonces tenemos $del$

l {n \ sobre m} = {\ mathrm {entero} \ sobre \ \ {más largo} \ mathrm {parte} del mathrm}

{\ mathrm {más largo} \ \ mathrm {} \ sobre \ \ {más corto} \ mathrm {parte} del mathrm de la parte}

{m \ sobre el nanómetro}.

Sin embargo, esto pone una fracción ya en los términos más bajos en un &mdash más bajo de los términos del ; una contradicción. Por lo tanto la asunción inicial, de que el cociente de oro es racional, es falsa.

Logaritmos

Quizás los números demostrados lo más fácilmente posible ser irracionales están seguros que los logaritmos aquí es una prueba por el absurdum de anuncio de Reductio que log₂3 es irracional:
Asumir que log₂3 es racional. Para un cierto positivo m de los números enteros y el n, tenemos log₂3 = el m / n .
Sigue ese 2 ^{m / n} = 3.
Levantar cada lado a la energía del n, m del hallazgo 2 = 3 ⁿ .
Pero 2 a cualquier energía mayor de 0 del número entero está incluso (porque por lo menos uno de sus factores primeros es 2) y 3 a cualquier energía del número entero mayor de 0 es impar (porque ningunos de sus factores primeros son 2), así que la asunción original es falso.

Las cajas tales como log₁₀2 se pueden tratar semejantemente.

Irrationals trascendentales y algebraicos

El casi todos los números irracionales de es trascendental y todos los números trascendentales son irracionales: el artículo sobre números trascendentales enumera varios ejemplos. el r del ^{del e y el r} del π son irracionales si el ≠ 0 del r es racional; el e ^π es también irracional.

Otra manera de construir números irracionales está como números algébricos irracional es decir como ceros de los polinomios con coeficientes del número entero: comenzar con un polinómico p ( x ) del de la ecuación = el a_n xⁿ + un n del ^{del x del n -1 del _{de −1}} +… + un x de ₁ + un ₀ = 0 donde está números enteros el de los coeficientes un i del _{de . Suponer que usted sabe que existe un cierto x del número verdadero con el p ( x ) = 0 (por ejemplo si el n es impar y el un n} del _{de es diferente a cero, entonces debido a el teorema de valor intermedio ). Las únicas raíces racionales posibles de esta ecuación polinómica están del r / s de la forma donde está un divisor el r al 0 y el s es un divisor del un n} del _{de ; hay solamente finito muchos tales candidatos a que usted puede todo el cheque a mano. Si ni una ni otra de ellos son una raíz del p, después el x debe ser irracional. Por ejemplo, esta técnica se puede utilizar para demostrar que el x = (2^1/2 + 1)^1/3 es irracionales: tenemos (− del x ³ 1)² = 2 y por lo tanto el − 1 = 0 del x ³ del − 2 del x ⁶, y este 3ultimo polinomio no tiene ninguna raíces racional (los únicos candidatos a comprobar son ±1).}

Porque los números algébricos forman un campo, muchos números irracionales pueden ser construidos combinando números trascendentales y algébricos. Por ejemplo 3π+2, style=" del π + del √2 y style=" del √3 son irracionales (e incluso trascendentales).

Extensiones decimales

La extensión decimal de las repeticiones de un número irracional nunca o termina, desemejante de un número racional.

Para demostrar esto, suponer que dividimos el n de los números enteros por el m (donde está diferente a cero el m ). Cuando la división larga es aplicada a la división del n por el m, sólo los restos del m son posibles. Si 0 aparece como resto, la extensión decimal termina. Si nunca ocurre 0, después el algoritmo puede funcionar con a lo más pasos del − 1 del m sin usar ningún resto más de una vez. ¡Después de ese, un resto debe repetirse, y entonces las repeticiones decimales de la extensión!

Inversamente, suponer que nos hacen frente con un decimal que se repite, nosotros podemos probar que es una fracción de dos números enteros. Por ejemplo:

$A=0.7\; \backslash ,\; 162\; \backslash ,\; 162\; \backslash ,\; del\; 162\; \backslash ,\; \backslash \; dots$

Aquí la longitud del repitend es 3. Nos multiplicamos por 10³:

$1000A=7\; \backslash ,\; 16.2\; \backslash ,\; 162\; \backslash ,\; del\; 162\; \backslash ,\; \backslash \; dots$

Observar que puesto que nos multiplicamos por 10 a la energía de la longitud de la parte de repetición, cambiamos de puesto los dígitos a la izquierda de la coma por exactamente ése muchas posiciones. Por lo tanto, el final de cola de 1000A empareja el final de cola de A exactamente. Aquí, ambos 1000A y A tienen repetición del 162 en el extremo.

Por lo tanto, cuando restamos A de ambos lados, el extremo de cola de las cancelaciones 1000A fuera del final de cola de A:

$999A=715.$

Entonces = \ frac {7155} del $A=\; \backslash \; del\; frac\; del$

l 999} {715.5} {{9990} = \ = \ frac {53} {74}, del frac {135 \ épocas 53} {135 \ épocas 74}

cuál es un cociente de números enteros y por lo tanto de un número racional.

Misceláneo

Se ha demostrado que existe de dos números irracionales un y el b, tales que el un b del de es racional. Aquí está un ejemplo:

Si √2^√2 es racional, después tomar el = el b = √2. Si no, tomar a un para ser el número irracional √2^√2 y el b = √2. Entonces un b del ^de = √2^√2√2 = √2^{√2· √2} = √2² = 2 que es racional.

No se sabe

No se sabe si el π + el e o el e del − del π es irracional o no. De hecho, no hay pares del diferente a cero m de los números enteros y de n para los cuales se sabe si el π del m + el ne del es irracionales o no. Por otra parte, no se sabe si el sistema {π, e } es la independiente algebraico sobre el Q .

No se sabe si 2 ^{el e} , e del π^{, π√ 2, constantes del catalán, o la gamma constante γ de Euler-Mascheroni son irracionales.}

El sistema de todos los irrationals

Desde los reals formar un no numerable fijar cuyo los números racionales son un subconjunto contable, el sistema complementario de los irrationals son no numerables.

Bajo ( euclidiano) generalmente d ( x,   de la función de distancia; y ) = |   del x ; −   y |, los números verdaderos son un espacio métrico y por lo tanto también un espacio topológico . La restricción de la función de distancia euclidiana da a irrationals la estructura de un espacio métrico. Puesto que el subespacio de irrationals no es cerrado, el métrico inducida no es el completo. Sin embargo, siendo un fijado G-delta -- es decir, una intersección contable de subconjuntos abiertos -- en un espacio métrico completo, el espacio de irrationals es el topológico completo: es decir, hay un métrico en los irrationals que inducen la misma topología que la restricción del métrico euclidiano, pero con respecto a cuál son completos los irrationals. Uno puede ver esto sin saber el hecho ya mencionado sobre sistemas del G-delta: la extensión de la fracción continua de un número irracional define un homeomorfismo del espacio de irrationals al espacio de todas las secuencias de números enteros positivos, que se considera fácilmente para ser totalmente metrizable.

Además, el sistema de todos los irrationals es un espacio métrico disconnected.

Ver también

Corte de Dedekind
Prueba que e es irracional
Prueba que π es irracional
raíz del th '' n ''
Raíz cuadrada de 3

.

Zenithic

Bishop of Dunkeld

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