En las matemáticas, un número natural puede significar un elemento del sistema (los números enteros positivos o el que cuenta los números ) o un elemento del sistema (los números enteros no negativos ). El anterior se utiliza generalmente en la teoría de número, mientras que este 3ultimo es preferred en la lógica matemática, la teoría determinada, y el de informática. Ver abajo para una definición formal.

Los números naturales tienen dos propósitos principales: pueden ser utilizados para el que cuenta (" hay 3 manzanas en el table"), y pueden ser utilizadas para el que pide (" ésta es la ciudad más grande 3^rd del country").

Las características de los números naturales relacionados con la divisibilidad, tal como la distribución de los números primeros se estudian en la teoría de número . Los problemas referentes la cuenta, tal como teoría de Ramsey, se estudian en la combinatoria .

¡Historia de números naturales y el estado del zerosistema de numeración -->

Los números naturales tenían sus orígenes en las palabras usadas para contar las cosas, comenzando con el número uno.

El primer avance principal en la abstracción era el uso de los números de representar números. Esto permitió que los sistemas fueran desarrollados para los grandes números de la grabación. Por ejemplo, los babilónico desarrollaron un lugar-valor de gran alcance basado en el estudio de sistemas esencialmente en los números para 1 y 10. Los egipcios antiguos tenían un sistema de números con los jeroglíficos distintos para 1, 10, y todas las energías de 10 hasta un millón. Una talla de piedra Karnak, fechando a partir de alrededor 1500 A. y ahora en el Louvre en París, representa 276 como 2 centenares, 7 diez, y 6 unos; y semejantemente para el número 4.

Un avance mucho posterior en la abstracción era el desarrollo de la idea cero como número con su propio número. Un dígito cero había sido utilizado en la notación del lugar-valor desde 700 A. por los babilónico, pero, la omitieron cuando habría sido el símbolo pasado en el número. El Olmec y la civilización del maya utilizaron cero pues un número separado desde el 1r siglo A., convertido al parecer independiente, sino este uso no se separó más allá Mesoamerica . El concepto según lo utilizado en tiempos modernos originó con el indio Brahmagupta del matemático en 628. Sin embargo, los computists medievales (calculadoras Pascua ), comenzando con el Dionysius Exiguus en 525, utilizaron cero como número sin usar un número romano para escribirlo. En lugar nullus, la palabra latina del para el " nothing", fue empleado. El primer estudio sistemático de números como abstracciones (es decir, como entidades abstractas ) se acredita generalmente al griego Pythagoras de los filósofos y al Archimedes . Sin embargo, los estudios de la independiente también ocurrieron aproximadamente el mismo tiempo en el la India, el China, y el Mesoamerica .

En el siglo XIX, una definición fijar-teórica de números naturales fue desarrollada. Con esta definición, era más conveniente incluir cero (correspondiendo al sistema vacío ) como número natural. A los informáticos sigue a esta convención los teóricos determinados, los lógicos y . Otros matemáticos, sobre todo teóricos de número, prefieren a menudo seguir la más vieja tradición y considerar cero para no ser un número natural.

Notación

N del uso de los matemáticos o $\backslash \; mathbb\; \{N\}$ (una N en la pizarra en negrilla, exhibida como ℕ en Unicode) para referir al determinado de todos los números naturales. Este sistema es contable infinito: es el infinito pero el contable por definición. Esto también es expresada diciendo que es el número cardinal del sistema ($\backslash \; aleph\_0$).

Para ser inequívoco sobre si cero es incluido o no, a veces un " del índice; 0" se agrega en el caso anterior, y un " potencia; *" se agrega en el 3ultimo caso:

l ℕ₀ = {0, 1, 2,…}; ℕ^* = {1, 2,…}.

(A veces, un índice o un " potencia ; +" se agrega para significar el " positive". Sin embargo, esto es de uso frecuente para el " nonnegative" en otros casos, como R ⁺ = ''' del y del ''' Z ⁺ = {0, 1, 2,…}, por lo menos en literatura europea. El " de la notación; *", sin embargo, es estándar para diferente a cero o algo [los elementos [inversibles].)

Algunos autores que excluyen cero de los productos naturales utilizan los números enteros, $denotado\; \backslash \; mathbb\; \{W\}$ del del término, para el sistema de números enteros no negativos. Otros utilizan el $\backslash \; el\; mathbb\; \{P\}$ de la notación para los números enteros positivos.

Fijar a teóricos denotan a menudo el sistema de todos los números naturales por un griego minúsculo Omega de la letra: ω. Cuando se utiliza esta notación, cero se incluye explícitamente como número natural.

Características algebraicas

Definiciones formales

considera también: definición Fijar-teórica los números naturales Históricamente, la definición matemática exacta de los números naturales desarrollados con una cierta dificultad. El Peano postula las condiciones del estado de que cualquier definición acertada debe satisfacer. Ciertas construcciones demuestran que, dado la teoría determinada, los modelos de los postulados de Peano deben existir.

Axiomas de Peano

Hay un número natural 0.
Cada del número natural un tiene un sucesor del número natural, denotado por el S ( un ).
No hay número natural cuyo sucesor es 0.
Los números naturales distintos tienen sucesores distintos: si un b, entonces S ( b ) del ≠ de del ≠ del S ( un ).
Si una característica es poseída por 0 y también por el sucesor de cada número natural que lo posea, después es poseído por todos los números naturales. (Este postulado se asegura de que la técnica de la prueba de la inducción matemática sea válida.)

Debe ser observado que el " 0" en la definición antedicha no necesitar corresponder a lo que consideramos normalmente ser el número cero. " 0" significa simplemente un cierto objeto que cuando está combinado con una función de sucesor apropiada, satisfaga los axiomas de Peano. Todos los sistemas que satisfacen estos axiomas son isomorfos, el " conocido; 0" se utiliza aquí para el primer elemento, que es el único elemento que no es un sucesor. Por ejemplo, los números naturales que comienzan con uno también satisfacen los axiomas.

Construcciones basadas en teoría determinada

Una construcción estándar

Una construcción estándar en la teoría determinada, un caso especial de la construcción ordinal de von Neumann, es definir los números naturales como sigue: fijamos 0: = { }, el sistema vacío,
y define el S ( un ) = un ∪ de { un } para cada del sistema un . El S ( un ) es el sucesor del al, y el S se llama la función de sucesor. El
si el axioma del infinito se sostiene, después el sistema de todos los números naturales existe y es la intersección de todos los sistemas que contienen 0 que sean cerrados bajo esta función de sucesor. El
si existe el sistema de todos los números naturales, después ella satisface los axiomas de Peano. El
cada número natural es entonces igual al sistema de números naturales menos que él, de modo que

l *0 = { }
*1 = {0} =
de *2 = {0.1} = {0, {0}} =
de *3 = {0.2} = {0, {0}, {0, {0}}} =
de * n = {0.2,…, n −2, n −1} = {0.2,…, n −2} ∪ { n −1} = (∪ del n −1) { n −1}

l y así sucesivamente. Cuando usted ve un número natural usado como sistema, esto es típicamente se significa qué. Bajo esta definición, hay exactamente elementos del n (en el sentido del naïve) en el m del ≤ del n y del n del sistema (en el sentido del naïve) si y solamente si el n de es un subconjunto m . el

l también, con esta definición, diversas interpretaciones posibles de notaciones como el n (tuples del ^{del R del n contra mappings del n en el R ) coincide.}

incluso si el axioma del infinito falla y no existe el sistema de todos los números naturales, del es posible definir lo que significa ser uno de estos sistemas. Un n del sistema es un número natural significa que él es 0 (vacío) o un sucesor, y cada uno de sus elementos es 0 o el sucesor de otros de sus elementos.

Otras construcciones

Aunque la construcción estándar sea útil, no es la única construcción posible. Por ejemplo: el
uno del
podría definir 0 = {}
y el S ( un ) = { un },
produciendo el
0 del
= {} el
1 = {0} = el
2 de = {1} = , etc. O podríamos incluso definir 0 = el
y el S ( del
de un ) = un
de U { un } produciendo el
0 del
= el
1 de = = el
2 de = el , etc.

La más vieja definición fijar-teórica de los números naturales es discutible la definición atribuida comúnmente al Frege y al Russell bajo los cuales cada concreto n del número natural se define como el sistema de todos los sistemas con los elementos del n . Esto puede aparecer circular, pero se puede hacer riguroso con cuidado. Definir 0 como el $\backslash \; \{\backslash \; \{\backslash \}\; \backslash \}$ (claramente el sistema de todos los sistemas con los elementos 0) y definir el $\backslash \; la\; sigma\; (A)$ (para cualquie A del sistema) como $\backslash \; \{x\; \backslash \; taza\; \backslash \; \{y\; \backslash \}\; \backslash \; mediados\; de\; x\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; la\; cuña\; y\; \backslash \; no\; \backslash \; en\; x\; \backslash \}$. Entonces 0 será el sistema de todos los sistemas con 0 los elementos, $1=\; \backslash \; sigma\; (0)$ será el sistema de todos los sistemas con 1 elemento, $2=\; \backslash \; sigma\; (1)$ será el sistema de todos los sistemas con 2 elementos, y así sucesivamente. El sistema de todos los números naturales se puede definir como la intersección de todos los sistemas que contienen 0 como elemento y cerrar bajo $\backslash \; sigma$ (es decir, si el sistema contiene un n del elemento, también contiene el $\backslash \; la\; sigma\; (n)$). Esta definición no trabaja en los sistemas generalmente de la teoría determinada axiomática porque las colecciones implicadas son demasiado grandes (no trabajará en ninguna teoría determinada con el axioma de la separación ); pero trabaja en las nuevas fundaciones (y en los sistemas relacionados sabidos para ser constante) y en algunos sistemas de tipo teoría .

Para el resto de este artículo, seguimos la construcción estándar descrita arriba.

Características

Uno puede definir recurrentemente una adición en los números naturales fijando el + 0 = un y + el S ( b ) = el S ( + el b ) para todo el un, b . Esto da vuelta a los números naturales ( N, +) en un monoide comutativo con el elemento de identidad 0, el monoide libre supuesto con un generador. Este monoide satisface la característica de la cancelación y se puede encajar en un grupo . El grupo más pequeño que contiene los números naturales es los números enteros

Si definimos 1: = S (0), entonces b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ). Es decir, el b + 1 es simplemente el sucesor del b .

Análogo, dado que se ha definido la adición, un × de la multiplicación se puede definir vía un × 0 = 0 de y un × S ( b ) de = ( un b del × de ) + un . Esto da vuelta (el N ^*, ×) en un monoide comutativo libre con el elemento de identidad 1; un sistema de generador para este monoide es el sistema de la adición de los números primeros y la multiplicación es compatible, que se expresa en la ley de distribución : un × de ( b + c ) = ( un b del × de ) + ( un c del × de ). Estas características de la adición y de la multiplicación hacen los números naturales un caso de un comutativo Semiring . Semirings es una generalización algebraica de los números naturales donde no está necesario comutativa la multiplicación.

Si interpretamos los números naturales como " excepto 0", y " el comenzar en 1", las definiciones de + y el × están como arriba, salvo que comenzamos con el + 1 = el S ( un ) y un × 1 de = un .

Para el resto del artículo, escribimos el ab para indicar el del producto un b del × de, y también asumimos la orden estándar de las operaciones .

Además, uno define una orden del total en los números naturales escribiendo a un b del ≤ de si y solamente si existe otro c del número natural con el + el c = el b . Esta orden es compatible con las operaciones aritméticas en el sentido siguiente: si el un, el b y el c son números naturales y un b, entonces del ≤ de + el b del ≤ del c + el c y el a. del ≤ de la CA del . Una característica importante de los números naturales es que son el Well-ordered que cada sistema no vacío de números naturales tiene un menos elemento. Un número ordinal expresa la fila entre sistemas well-ordered; para los números naturales esto se expresa como " $\backslash \; omega$".

Mientras que está en el general no posible dividir un número natural por otro y conseguir un número natural como resultado, el procedimiento de la división con el resto está disponible como substituto: para cualquier de dos números naturales un y el b con el ≠ 0 del b podemos encontrar el q de los números naturales y el r tales que

l = bq + r y r < b

El q del número se llama el cociente y el r es llamado el resto de la división de un por el b . El q de los números y el r son determinados únicamente por el un y el b . Esto, el algoritmo de división, es dominante a varias otras características (divisibilidad ), a los algoritmos (tales como el algoritmo euclidiano ), y a la teoría de las ideas en gran número.

Los números naturales incluyendo la forma cero un monoide comutativo bajo adición (con el elemento de identidad cero), y bajo multiplicación (con el elemento de identidad uno).

Generalizaciones

Dos generalizaciones de números naturales se presentan de las dos aplicaciones:
Un número natural se puede utilizar para expresar el tamaño de un sistema finito; un número cardinal es más generalmente una medida para el tamaño de un sistema también conveniente para los sistemas infinitos; esto refiere a un concepto de " size" tales que si hay un bijection entre dos sistemas tienen los mismos tamaños . El sistema de números naturales sí mismo y cualquier otro sistema contable infinito tiene cardinalidad ($\backslash \; aleph\_0$).
" de los números ordinales ; first", " second", " third" puede ser asignado a los elementos de un sistema finito total pedido, y también a los elementos de sistemas contable infinitos well-ordered como el sistema de números naturales sí mismo. Esto se puede generalizar a los números ordinales que describen la posición de un elemento en una bien-orden fijada en general. Un número ordinal también se utiliza para describir el " size" de un sistema well-ordered, en cierto modo diferente de cardinalidad: si hay un isomorfismo de la orden entre dos sistemas well-ordered tienen el mismo número ordinal. El primer número ordinal que no es un número natural se expresa como $\backslash \; omega$; éste es también el número ordinal del sistema de números naturales sí mismo.

$\backslash \; aleph\_0$ y $\backslash \; omega$ tienen que ser distinguido porque mucho well-ordered sistema con cardinal número $\backslash \; aleph\_0$ tienen alto ordinal número que $\backslash \; omega$, por ejemplo, $\backslash \; omega^\; \{\backslash \; omega^\; \{\backslash \; omega6+42\}\; \backslash \; cdot1729+\; \backslash \; omega^9+88\}\; \backslash \; cdot3+\; \backslash \; omega^\; \{\backslash \}\; \backslash \; cdot5+65537$ del omega^ \ de Omega; el $\backslash \; omega$ es el valor posible más bajo (la inicial ordinal).

Para los sistemas well-ordered finitos hay correspondencia una por entre el número ordinal y cardinal; por lo tanto pueden ser expresados por el mismo número natural, el número de elementos del sistema. Este número se puede también utilizar para describir la posición de un elemento en un finito más grande, o un infinito, secuencia .

Otras generalizaciones se discuten en el artículo sobre los números

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