En la teoría determinada, el ordinal, el número ordinal, y el número ordinal transfinite refieren a un tipo del número introducido por el chantre de Jorge en el 1897 para acomodar secuencias infinitas y clasificar sistemas con ciertas clases de pedir las estructuras de en ellas. Los ordinales son una extensión de los números naturales diferentes de los números enteros y de los cardenales
el Bien-que pide es el que ordena total con la inducción Transfinite, donde la inducción transfinite amplía la inducción matemática más allá del finito. Los ordinales representan las clases de equivalencia de orderings bien con el orden-isomorfismo que es la relación de equivalencia. Cada uno ordinal se toma para ser el sistema de ordinales más pequeños. Los ordinales se pueden categorizar como: cero, ordinales del sucesor, y ordinales del límite (de los varios cofinalities ). Dado una clase de ordinales, uno puede identificar al miembro del α-th de esa clase, es decir una puede ponerlos en un índice (cuenta). Una clase es cerrada e ilimitada si su función de la indexación de direcciones es continua y nunca para. Uno puede definir la adición, la multiplicación, y la exponenciación en ordinales, pero no la substracción o la división. La forma normal del chantre del es una manera estandardizada de anotar ordinales. Hay muchos a una asociación de ordinales a los cardenales. Ordinales más grandes y más grandes pueden ser definidos, pero llegan a ser cada vez más difíciles de describir. Cualquier número ordinal se puede hacer en un espacio topológico dotándolo con la topología de la orden.
Los ordinales amplían los números naturales
¡casi ninguÌn conocimiento de las matemáticas. --> Un número natural se puede utilizar para dos propósitos: para describir el tamaño del de un determinado, o describir la posición del de un elemento en una secuencia. Cuando están restringidos a los sistemas finitos estos dos conceptos coinciden; hay solamente unidireccional poner un sistema finito en una secuencia linear, hasta isomorfismo. Cuando el ocuparse de los sistemas infinitos uno tiene que distinguir entre la noción del tamaño, que lleva a los números cardinales y a la noción de la posición, que es generalizada por los números ordinales describió aquí. Esto está porque, mientras que está fijado tiene solamente un tamaño (su cardinalidad ), allí son muchos well-orderings nonisomorphic del sistema infinito, según lo explicado abajo.Considerando que la noción del número cardinal se asocia a un sistema sin la estructura particular en ella, los ordinales se ligan íntimo a la clase especial de sistemas que se llamen el Well-ordered (ligado tan íntimo, de hecho, que algunos matemáticos no hacen ninguna distinción entre los dos conceptos). Un sistema well-ordered es un sistema total pedido (dado cualquier dos elementos uno define más pequeño y más grande de una manera coherente) en el cual no hay infinito que disminuye secuencia de (sin embargo, puede haber secuencias de aumento infinitas); equivalente, cada subconjunto no vacío del sistema tiene un menos elemento. Los ordinales se pueden utilizar para etiquetar los elementos del sistema well-ordered dado (el elemento más pequeño que es etiquetado 0, el después que 1, los un 2 siguientes, " y tan on") y para medir el " length" del sistema del conjunto por el lo más menos posible ordinal que no es una etiqueta para un elemento del sistema. Este " length" se llama el tipo de orden del del sistema.
El ordinal es definido por el sistema de los ordinales que lo preceden: de hecho, la definición más común del de los ordinales identifica cada ordinal como el sistema de los ordinales que lo preceden. Por ejemplo, el ordinal 42 es el tipo de orden de los ordinales menos que él, es decir, los ordinales a partir de la 0 (el más pequeño de todos los ordinales) a 41 (el precursor inmediato de 42), y a él se identifican generalmente como el sistema {0. Inversamente, fijado de ordinales que es downward-closed— significando que el ordinal menos que un ordinal en el sistema está también en el set— es (o puede ser identificado con) un ordinal.
Hemos mencionado hasta ahora solamente los ordinales finitos, que son los números naturales. Pero hay los infinitos también: el ordinal infinito más pequeño es el ω, que es el tipo de orden de los números naturales (ordinales finitos) y que del se puede incluso identificar con el determinado de números naturales (de hecho, el sistema de números naturales es well-ordered— como se fija de ordinals— y puesto que hacia abajo se cierra puede ser identificado con el ordinal asociado a él, que es exactamente cómo definimos el ω).
Quizás una intuición más clara de ordinales puede ser formada examinando los primeros de ellos: según lo mencionado anteriormente, comienzan con los números naturales, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… después de todos los números naturales de vienen el primer ordinal infinito, ω, y ése viene después ω+1, ω+2, ω+3, y así sucesivamente. (Qué adición significa será definido exactamente después: apenas considerarlos como nombres.) Después de todos los éstos viene el ω·2 (que es ω+ω), ω·2+1, ω·2+2, y así sucesivamente, entonces ω·3, y entonces después ω·4. Ahora el sistema de los ordinales que formamos de esta manera (el ω· el m + el n, donde están números el m y el n naturales) debe sí mismo tener un ordinal asociado a él: y ése es ω2. Fomentar encendido, allí será ω3, después ω4, y así sucesivamente, y ωω, después el ωω ² , y mucho después ε0 (nada épsilon ) (dar algunos ejemplos del &mdash relativamente pequeño; countable— ordinales). Podemos ir en de esta manera indefinidamente lejos (" indefinidamente far" es exactamente en cuál son buenos los ordinales: básicamente cada vez que uno dice el " y tan on" al enumerar ordinales, define un ordinal más grande). El ordinal no numerable más pequeño es el sistema de todos los ordinales contables, expresado como ω1.
Definiciones
Sistemas Well-ordered
Un sistema Well-ordered es un sistema pedido en el cual cada subconjunto no vacío tiene un menos elemento: esto es equivalente (por lo menos en presencia del axioma de la opción dependiente ) apenas a decir que el sistema está pedido total y no hay secuencia decreasing infinita, algo que es quizás más fácil de visualizar. En la práctica, la importancia de la bien-petición es justificada por la posibilidad de aplicar la inducción Transfinite, que dice, esencialmente, que cualquier característica que pase encendido de los precursores de un elemento a ese elemento sí mismo debe ser verdad de todos los elementos (del sistema well-ordered dado). Si los estados de un cómputo (programa o juego de computadora) pueden ser well-ordered de una manera tal que cada paso sea seguido por un " lower" paso, entonces usted puede estar seguro que el cómputo terminará.
Ahora no queremos distinguir entre dos sistemas well-ordered si diferencian solamente en el " etiquetado de su elements", o más formalmente: si podemos aparearnos de los elementos del primer sistema con los elementos del segundo fijamos tales que si un elemento somos más pequeños que otro en el primer sistema, después el socio del primer elemento es más pequeño que el socio del segundo elemento en el segundo sistema, y viceversa. Una correspondencia tan una por se llama un isomorfismo de la orden y los dos sistemas well-ordered reputan orden-isomorfos, o el similar (esto es obviamente una relación de equivalencia ). Con tal que exista un isomorfismo de la orden entre dos sistemas well-ordered, el isomorfismo de la orden es único: esto lo hace absolutamente justificable para considerar los sistemas como esencialmente idénticos, y para buscar un " canonical" representante del tipo del isomorfismo (clase). Esto es exactamente lo que proporcionan los ordinales, y también proporciona un etiquetado canónico de los elementos del sistema well-ordered.
Esencialmente deseamos tan definir un ordinal como clase del isomorfismo de sistemas well-ordered: es decir, como clase de equivalencia para la relación de equivalencia del " siendo orden-isomorphic". Hay una dificultad técnica implicada, sin embargo, en el hecho de que la clase de equivalencia es demasiado grande ser un sistema en la formalización generalmente de Zermelo-Fraenkel (ZF) de la teoría determinada. Pero esto no es una dificultad seria. Diremos que el ordinal es el tipo de orden de fijado en la clase.
Definición de un ordinal como clase de equivalencia
La definición original del número ordinal, encontrada por ejemplo en el Principia Mathematica, define el tipo de orden de una bien-petición como el sistema de todos los well-orderings similares (orden-isomorfo) a ése bien-que pide: es decir un número ordinal es genuino una clase de equivalencia de sistemas well-ordered. Esta definición se debe abandonar en el ZF y los sistemas relacionados de la teoría determinada axiomática porque estas clases de equivalencia son demasiado grandes formar un sistema. Sin embargo, esta definición todavía se puede utilizar en el tipo teoría y en fundaciones de la teoría determinada de Quine las nuevas y los sistemas relacionados (donde produce una solución alternativa algo asombrosamente a la paradoja de Burali-Forti del ordinal más grande).
Definición de Von Neumann de ordinales
Algo que definiendo un ordinal como clase de equivalencia del de sistemas well-ordered, podemos intentar definirla como cierto sistema well-ordered particular que (canónico) represente la clase. Así, queremos construir números ordinales como sistemas well-ordered especiales de una manera tal que el cada sistema well-ordered de sea orden-isomorfo a un y solamente un número ordinal.
La definición ingeniosa sugerida por el John Von Neumann, y que ahora se toma como estándar, es ésta: el define cada uno ordinal como sistema well-ordered especial, a saber de que de todos los ordinales antes de él : simbólicamente, el λ = (1979, P. 52) atribuye la idea al trabajo inédito de Zermelo en 1916 y de varios papeles de von Neumann el 1920s. formalmente: el
A del que el determinado S es un ordinal si y solamente si el S se pide total con respecto a la contención del sistema y a cada elemento del S que es también un subconjunto del S .
(Aquí, " fijar el containment" es otro nombre para la relación del subconjunto .) Tal S del sistema es automáticamente well-ordered con respecto a la contención del sistema. Esto confía en el axioma de la fundación bien : cada no vacío B del sistema tiene un b del elemento que sea desuna del B .
Observar que los números naturales son ordinales por esta definición. Por ejemplo, 2 es un elemento de 4 = {0, 1, 2, 3}, y 2 es iguales a {0, 1} y así que es un subconjunto de {0, 1, 2, 3}.
Puede ser demostrado por la inducción Transfinite que cada sistema well-ordered es orden-isomorfo a exactamente uno de estos ordinales.
Además, los elementos de cada ordinal son los ordinales ellos mismos. Siempre que usted tenga S de dos ordinales y el T, el S es un elemento del T si y solamente si el S es un subconjunto apropiado del T, y por otra parte, el S es un elemento del T, o el T es un elemento del S, o son iguales. Tan cada sistema de ordinales es el total pedido. Y de hecho, mucho más es verdad: El cada sistema de ordinales es well-ordered. Este resultado importante de generaliza el hecho de que cada sistema de números naturales es well-ordered y permite que utilicemos la inducción Transfinite liberalmente con ordinales.
Otra consecuencia es que el cada ordinal S es un sistema que tiene como elementos exacto los ordinales más pequeños que el S . Esta declaración determina totalmente la estructura Fijar-teórica de cada ordinal en términos de otros ordinales. Se utiliza para probar muchos otros resultados útiles sobre ordinales. Un ejemplo de éstos es una caracterización importante de la relación de orden entre los ordinales: el cada sistema de ordinales tiene un Supremum, el ordinal obtenido tomando la unión de todos los ordinales en el sistema (esta unión existe sin importar el tamaño del sistema, por el axioma de la unión ). Otro ejemplo es el hecho de que el la colección de todos los ordinales no es un sistema . De hecho, puesto que cada ordinal contiene solamente otros ordinales, sigue que cada miembro de la colección de todos los ordinales es también su subconjunto. Así, si esa colección fuera un sistema, tendría que ser un ordinal sí mismo por definición; entonces sería su propio miembro, que contradice el axioma de la regularidad . (Véase también la paradoja de Burali-Forti). La clase de todos los ordinales vario se llama " Ord", " ON", o " ∞".
Un ordinal es el finito si y solamente si la orden opuesta es también well-ordered, que es el caso si y solamente si cada uno de sus subconjuntos tiene un máximo .
Otras definiciones
Hay otras formulaciones modernas de la definición del ordinal. Cada uno de éstos es esencialmente equivalente a la definición dada arriba. Una de estas definiciones es el siguiente. Un S de la clase se llama el transitivo del si cada x del elemento del S es un subconjunto del S, es decir . Un ordinal entonces se define para ser un sistema transitivo cuyos miembros son también transitivos. Sigue de esto que los miembros son ellos mismos ordinales. Observar que el axioma de la regularidad (fundación) está utilizado en demostrar que estos ordinales son pedidos bien por la contención (subconjunto).
Secuencia Transfinite
Si el α es un ordinal del límite y el X es un sistema, una secuencia α-puesta en un índice de elementos del X es una función del α al X . Este concepto, una secuencia transfinite o la secuencia ordinal-puesta en un índice, es una generalización del concepto de una secuencia . Una secuencia ordinaria corresponde al α = al ω del caso.
Inducción Transfinite
considera también:
la inducción Transfinite
¿Cuál es inducción transfinite?
La inducción Transfinite celebra en cualquier sistema Well-ordered, pero es tan importante en lo referente a ordinales que vale el exponer en forma modificada aquí. el
l cualquier característica que pase del sistema de ordinales más pequeños que un α ordinal dado del al α sí mismo del, es verdad de todos los ordinales.
Es decir, si el P (α del ) es verdad siempre que el P ( β ) sea verdad para todo el β < el α del, después el P (α del ) es verdad para el todo el α del de . O, más prácticamente: para probar un P de la característica para todo el α del de los ordinales, uno puede asumir que está sabido ya para todo el más pequeño β < el α del .
Repetición Transfinite
La inducción Transfinite se puede utilizar no sólo para probar cosas, pero también para definirlas (tal definición es dicha normalmente para seguir por la repetición Transfinite - utilizamos la inducción transfinite para probar que el resultado está bien definido): la declaración formal es aburrida de escribir, pero el fondo es, para definir la función de a (clase) en el α del de los ordinales, uno puede asumir que está definido ya para todo el más pequeño β < el α del . Uno prueba por la inducción transfinite que hay una y solamente una función que satisface la fórmula de la repetición hasta y que incluye el α.
Aquí está un ejemplo de la definición por la inducción transfinite en los ordinales (más serán dadas más adelante): definir un F de la función dejando el F (α del ) sea el ordinal más pequeño no del sistema del F ( β ) para todo el β < el α del . Observar cómo asumimos el F ( β ) sabido en el mismo proceso de definir el F : esta paradoja evidente es exactamente lo que permite la definición por la inducción transfinite. Ahora de hecho el F (0) hace sentido puesto que no hay β <0, así que el sistema de todo el F ( β ) para el β <0 es vacío, así que el F (0) debe ser 0 (el ordinal más pequeño de todos), y ahora que sabemos el F (0), después el F (1) hace sentido (y lo es el ordinal más pequeño no igual al F (0) =0), y así sucesivamente (el y así sucesivamente es exactamente inducción transfinite). Bien, resulta que este ejemplo no es muy interesante desde el F (α del ) = el α del para todo el α del de los ordinales: pero esto se puede demostrar, exacto, por la inducción transfinite.
Sucesor y ordinales del límite
Cualquier ordinal diferente a cero tiene el elemento mínimo, cero. Él mayo o mayo no tener un elemento máximo. Por ejemplo, 42 tiene máximo 41 y ω+6 tiene máximo ω+5. por una parte, ω no tiene un máximo puesto que no hay número natural más grande. Si un ordinal tiene un α máximo, después es el ordinal siguiente después de α, y se llama un sucesor ordinal, a saber el sucesor de α, escrito α+1. En la definición de von Neumann de ordinales, el sucesor del α es puesto que sus elementos son los del α y del α sí mismo.Un ordinal diferente a cero que es el no al sucesor se llama un límite ordinal . Una justificación para este término es que un ordinal del límite es de hecho el límite en un sentido topológico de todos los ordinales más pequeños (bajo topología de la orden).
Cuando es ordinal-puesto en un índice secuencia, puesto en un índice por límite γ y secuencia es aumentando, es decir siempre que definimos su límite del para ser el menos límite superior del es decir, (existe siempre) el mayor ordinal más pequeño que cualquie término de la secuencia. En este sentido, un ordinal del límite es el límite de todos los ordinales más pequeños (puestos en un índice por sí mismo). Poner más directo, él es el supremum del sistema de ordinales más pequeños.
Otra manera de definir un ordinal del límite es decir que el α es un ordinal del límite si y solamente si: el
l allí es un ordinal menos que α y siempre que el ζ sea un ordinal menos que α, después allí existe un ξ ordinal tales que ζ < ξ < α.
Tan en la secuencia siguiente:
0, 1, 2 del ,…, ω, ω+1
el ω es un ordinal del límite porque para el ordinal (en este ejemplo, un número natural) podemos encontrar otro (número natural) más grande ordinal que él, pero aún menos que ω.
Así, cada ordinal es cero, o un sucesor (de un precursor bien definido), o un límite. Esta distinción es importante, porque muchas definiciones por la inducción transfinite confían en ella. Muy a menudo, al definir un F de la función por la inducción transfinite en todos los ordinales, una define el F (0), y F (α+1) el asumido F (α) se define, y entonces, para los ordinales del límite que el δ uno define el F (δ) como el límite del F (β) para todo el β<δ (en el sentido de límites ordinales, como acabamos de explicar, o para una cierta otra noción del límite si el F no toma valores ordinales). Así, el paso interesante en la definición es el paso del sucesor, no los ordinales del límite. Tales funciones (especialmente para el F no decreciente y que toma valores ordinales) se llaman continuas. Veremos que la adición, la multiplicación y la exponenciación ordinales son continuas como funciones de su segunda discusión.
Clases de la indexación de direcciones de ordinales
Hemos mencionado que el sistema well-ordered es similar (orden-isomorfo) a un del número ordinal, o, es decir a que sus elementos se pueden poner en un índice en la manera cada vez mayor por los ordinales menos que el . Esto se aplica, particularmente, a fijado de ordinales: cualesquiera fijaron de ordinales son puestos en un índice naturalmente por los ordinales menos que un cierto . Igual se sostiene, con una modificación leve, para las clases del de los ordinales (una colección de ordinales, demasiado grande formar posiblemente un sistema, definido por una cierta característica): cualquier clase de ordinales se puede poner en un índice por ordinales (y, cuando la clase es ilimitada en la clase de todos los ordinales, ésta la pone en clase-bijection con la clase de todos los ordinales). Podemos hablar tan libremente del elemento del -th en la clase (con la convención que el “0-th” es el más pequeño, el “1-th” es el más pequeño siguiente, y así sucesivamente). Formalmente, la definición está por la inducción transfinite: el elemento del -th de la clase se define (proporcionado le se ha definido ya para todo el ), como el elemento más pequeño mayor que el elemento del -th para todo el .
Podemos aplicar esto, por ejemplo, a la clase de ordinales del límite: el ordinal del -th que es un límite o cero es (véase la aritmética ordinal para la definición de la multiplicación de ordinales). Semejantemente, podemos considerar los ordinales que son el aditivo indescomponible (significado que es un ordinal diferente a cero que no es la suma de dos terminantemente ordinales más pequeños): el ordinal aditivo indescomponible del -th se pone en un índice como el . La técnica de poner en un índice clases de ordinales es a menudo útil en el contexto de puntos fijos: por ejemplo, el del -th tales que el está escrito el . Éstos se llaman el " El épsilon numera el quot de ;.
Sistemas y clases ilimitados cerrados
Una clase de ordinales reputa el ilimitado, o el cofinal, cuando dado el ordinal, allí es siempre un cierto elemento de la clase mayor que ella (entonces la clase debe ser una clase apropiada, es decir, él no puede ser un sistema). Reputa cerrado cuando el límite de una secuencia de ordinales en la clase está otra vez en la clase: o, equivalente, cuando la función de la indexación de direcciones (clase) es continua en el sentido que, para el un ordinal del límite, (el ordinal del -th en la clase) es el límite de todo el para el ; éste es también igual que siendo cerrado, en el sentido topológico, para la topología de la orden (evitar hablar de la topología en clases apropiadas, una puede exigir que la intersección de la clase con cualquier ordinal dado es cerrada para la topología de la orden en eso ordinal, esto es otra vez equivalente).
De importancia particular son esas clases de ordinales que sean cerrados e ilimitados, a veces llamadas los clubs del . Por ejemplo, la clase de todos los ordinales del límite es cerrada e ilimitada: esto traduce el hecho de que hay siempre un mayor ordinal del límite que un ordinal dado, y que un límite de ordinales del límite es un ordinal del límite (un hecho afortunado si la terminología es tener alguÌn sentido en absoluto!). La clase de ordinales aditivo indescomponibles, o la clase de ordinales del , o la clase de los cardenales, son toda ilimitado cerrado; el sistema de cardenales regulares, sin embargo, es ilimitado pero no cerrado, y el sistema finito de ordinales es cerrado pero no ilimitado.
Una clase es inmóvil si tiene una intersección no vacía con cada clase ilimitada cerrada. Todos los superclasses de clases ilimitadas cerradas son inmóviles y las clases inmóviles son ilimitadas, pero hay las clases inmóviles que no son cerradas y hay las clases inmóviles que no tienen ninguna subclase ilimitada cerrada (tal como la clase de todos los ordinales del límite con cofinality contable). Puesto que la intersección de dos cerró clases ilimitadas es cerrada e ilimitado, la intersección de una clase inmóvil y de una clase ilimitada cerrada es inmóvil. Pero la intersección de dos clases inmóviles puede ser vacía, e. la clase de ordinales con el ω del cofinality con la clase de ordinales con cofinality no numerable.
Algo que formulando estas definiciones para las clases (apropiadas) de ordinales, podemos formularlos para los sistemas de ordinales debajo de un : Un subconjunto de un límite que el reputa ilimitado (o cofinal) bajo proporcionó ordinal menos que el es menos que un cierto ordinal en el sistema. Más generalmente, podemos llamar un subconjunto de cualquier cofinal ordinal del en el proporcionamos cada ordinal menos que el es menos que o igual a un cierto ordinal en el sistema. El subconjunto reputa cerrado bajo lo proporcionó es cerrado para el de la topología de la orden en el de, es decir un límite de ordinales en el sistema está en el sistema o el igual al sí mismo.
Aritmética de ordinales
considera también:
ordinal de la aritmética
Hay tres operaciones generalmente en ordinales: adición, multiplicación, y exponenciación (del ordinal). Cada uno se puede definir en esencialmente dos maneras diferentes: cualquiera construyendo un sistema well-ordered explícito que representa la operación o usando la repetición transfinite. La forma normal del chantre proporciona una manera estandardizada de ordinales de la escritura. El " supuesto; natural" las operaciones aritméticas conservan commutativity a expensas de continuidad.
Ordinales y cardenales
Ordinal de la inicial de un cardenal
Cada uno ordinal tiene un asociado cardinal, su cardinalidad, obtenida simplemente olvidando la orden. Sistema well-ordered que tiene que el ordinal como su orden-tipo tiene la misma cardinalidad. El ordinal más pequeño que tiene un cardenal dado como su cardinalidad se llama el ordinal inicial de eso cardinal. Cada ordinal finito (número natural) es de los ordinales iniciales, pero la mayoría infinitos no es inicial. El axioma de la opción es equivalente a la declaración que cada sistema puede ser well-ordered, es decir que cada cardenal tiene un ordinal inicial. En este caso, es tradicional identificar el número cardinal con su ordinal inicial, y decimos que el ordinal inicial es al cardenal.
El ordinal inicial infinito del α-th se escribe el . Su cardinalidad se escribe el . Por ejemplo, la cardinalidad de ω0 = ω es el , que es también la cardinalidad del ω ² o ε0 (todos son ordinales contables). (Si se asume que el axioma de la opción) identificamos tan el ω con el , salvo que se utiliza el de la notación al escribir cardenales, y el ω al escribir ordinales (esto es importante desde el mientras que el ). También, el es el ordinal no numerable más pequeño (ver que existe, considerar el sistema de clases de equivalencia de well-orderings de los números naturales: cada tal bien-petición define un ordinal contable, y el es el tipo de orden de eso fijó), el es el ordinal más pequeño cuya cardinalidad es mayor que el , y así sucesivamente, y el es el límite del para el n de los números naturales (cualquier límite de cardenales es cardenal, así que este límite es de hecho el primer cardenal después de todo el ).
Ver también la asignación cardinal de Von Neumann.
Cofinality
El Cofinality de un es el que es el tipo de orden de un subconjunto del cofinal del . Notar que un número de autores definen confinality o lo utilizan solamente para los ordinales del límite. El cofinality de un sistema de ordinales o de cualquier otro pozo pidió el sistema es el cofinality del tipo de orden de eso fijó.
Así para un ordinal del límite, existe un -indexed que aumenta terminantemente secuencia con el del límite. Por ejemplo, el cofinality del ω ² es ω, porque el ω de la secuencia· el m (donde el m se extiende sobre los números naturales) tiende al ω ²; pero, más generalmente, cualquier ordinal contable del límite tiene ω del cofinality. Un ordinal no numerable del límite puede tener cualquier ω del cofinality al igual que o un cofinality no numerable.
El cofinality de 0 es 0. Y el cofinality de cualquier ordinal del sucesor es 1. El cofinality de cualquier ordinal del límite es por lo menos el .
Un ordinal que es igual a su cofinality se llama asiduo y es siempre un ordinal inicial. Cualquier límite de ordinales regulares es un límite de ordinales iniciales y es así también inicial incluso si no es regular que no es generalmente. Si el axioma de la opción, entonces es regular para cada α. En este caso, los ordinales 0, 1, el , el , y el son regulares, mientras que 2, 3, , y ωω·2 son los ordinales iniciales que no son regulares.
El cofinality de cualquier α ordinal del es un ordinal regular, es decir el cofinality del cofinality del α del es igual que el cofinality del α del . La operación del cofinality es tan el idempotente .
Algunos ordinales contables “grandes”
Hemos mencionado ya (véase la forma normal del chantre) el ε0 ordinal, que es el más pequeño satisfaciendo el del omega^ \ de la alfa, así que es el límite de la secuencia 0, 1, del , de , , etc. Muchos ordinales se pueden definir de una manera tal como los puntos fijos de ciertas funciones ordinales (el ordinal del -th tales que = \ alpha del