En matemáticas, un número perfecto se define como número entero positivo que sea la suma de sus divisores positivos apropiados es decir, la suma de los divisores positivos no incluyendo el número sí mismo. Equivalente, un número perfecto es un número que es mitad de la suma de todos sus divisores positivos, o σ 2 n de ( n ) = .

El primer número perfecto es el 6, porque 1, 2, y 3 es sus divisores y 1  positivos apropiados; +  2  +  3  =  6. El número perfecto siguiente es   28 ; =  1  +  2  +  4  +  7  +  14. Los números perfectos siguientes son el 496 y el 8128 .

Estos primeros cuatro números perfectos eran los únicos sabidos a los matemáticos helenísticos .

Incluso números perfectos

El Euclid descubrió que los primeros cuatro números perfectos son generados por el &minus del n de la fórmula 2^{; 1} (2 ⁿ   −   1):

l para el n = 2:   2¹ (&minus 2²;
1) = 6 para el n = 3:   2² (&minus 2³;
1) = 28 para el n = 5:   2⁴ (&minus 2⁵;
1) = 496 para el n = 7:   2⁶ (&minus 2⁷; 1) = 8128

Notar ese 2 ⁿ   −   1 es un número primero en cada caso, Euclid probó que el &minus del n de la fórmula 2^{; 1} (2 ⁿ   −   1) da un número incluso perfecto siempre que 2 ^{el n}   −   1 es prima (Euclid, apoyo.

Los matemáticos antiguos hicieron muchas asunciones sobre los números perfectos basados en los cuatro que conocían, pero la mayor parte de esas asunciones demostrarían más adelante ser incorrectas. Una de estas asunciones era ésa desde 2, 3, 5, y 7 son los primeros cuatro prepara exacto, el quinto número perfecto serían obtenidos cuando el n = 11, la quinta prima. Sin embargo, 2¹¹  −   1  =  2047  =  23  ×   89 no es   primero y por lo tanto del n ; =  11 no rinde un número perfecto. Dos otras asunciones incorrectas eran:

que el quinto número perfecto tendría cinco dígitos en la base 10 desde los primeros cuatro tenía 1, 2, 3, y 4 dígitos respectivamente.
Los números perfectos alternativamente terminarían en 6 o 8.

El quinto número perfecto ($33550336=2^\; \{12\}\; (2^\; \{13\}\; -\; 1)$) tiene 8 dígitos, así refutando la primera asunción. Para la segunda asunción, el quinto número perfecto termina de hecho con 6. Sin embargo, el sexto (8  589  869  056) también termina en 6. Es directo demostrar que el dígito pasado de cualquier número incluso perfecto debe ser 6 o 8.

Para que $2^n-1$ sea primero, es necesario pero no suficiente que $n$ debe ser primero. Números primeros del n   de la forma 2^{; −   se conoce 1 mientras que el Mersenne prepara después Marín Mersenne del monje del decimoséptimo-siglo, que estudió la teoría de número y números perfectos.}

Durante un milenio después de Euclid, el del al-Haytham (Alhazen) de Ibn circa el ANUNCIO 1000 de realizó que cada número incluso perfecto está del &minus del n de la forma 2^{; 1} (2 ⁿ   −   1) donde 2 ⁿ   −   1 es el primero, pero él no podía probar este resultado. No era hasta el siglo XVIII que el Leonhard Euler probó que el &minus del n de la fórmula 2^{; 1} (2 ⁿ   −   1) rendirá todos los números incluso perfectos. Así, hay una asociación una por concreta entre incluso los números perfectos y Mersenne prepara. Este resultado se refiere a menudo como el " Euclid-Euler Theorem". En fecha el septiembre de 2007, se conocen solamente 44 que Mersenne prepara, que los medios allí son 44 números perfectos sabidos, el ser más grande los × 2^32,582,656; (2^32,582,657  −   1) con 19.

Los primeros 39 incluso números perfectos son 2 ^{&minus del n ; 1} (2 ⁿ   −   1) para el n del = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917 Los otros 5 conocidos están para el n = 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657. No se sabe si hay otros entre ellos.

Es todavía incierto si hay que mucho Mersenne prepara infinitamente y los números perfectos. La búsqueda para nuevo Mersenne prepara es la meta del proyecto de la computación distribuida de los GIMPS .

Puesto que cualquier número incluso perfecto tiene el &minus del n de la forma 2^{; 1} (2 ⁿ   −   1), es un número triangular, y, como todos los números triangulares, es la suma de todos los números naturales hasta cierto punto; en este caso: 2 ⁿ   −   1. Además, cualquier número incluso perfecto excepto primer es la suma del primer 2 ^{(n− cubos impares 1)/2}: $6\; del\; =\; 2^1\; (2^2-1)\; =\; 1+2+3,\; \backslash ,$ 28\; del$$
de = 2^2 (2^3-1) = 1+2+3+4+5+6+7 = 1^3+3^3, \, $496\; del$
de = 2^4 (2^5-1) = 1+2+3+ \ cdots+29+30+31 = 1^3+3^3+5^3+7^3, \, $8128\; del$
de = 2^6 (2^7-1) = 1+2+3+ \ cdots+125+126+127 = 1^3+3^3+5^3+7^3+9^3+11^3+13^3+15^3. \,

¡Numbers< perfecto impar! -- Esta sección se liga de problemas sin resolver en las matemáticas -->

Es desconocido si hay algunos números perfectos impares. Se han obtenido los varios resultados, solamente ninguno que ha ayudado a localizar uno o a resolver de otra manera la cuestión de su existencia. El Carl Pomerance ha presentado a la discusión heurística de que sugiere que existan ningunos números perfectos impares. También, se ha conjeturado que hay los números del armónico de ningún mineral impar si es verdad, esto implicaría que no hay números perfectos impares.

Cualquier impar N del número perfecto debe satisfacer las condiciones siguientes:
> del N ; 10³⁰⁰. Una búsqueda está prendido probar ese > del N ; 10⁵⁰⁰ también se requiere.
El N está del del
de la forma $N=q^\; de\; \{\backslash \; alfa\}\; p\_1^\; \{2e\_1\}\; \backslash \; p\_k^\; de\; los\; ldots\; \{2e\_k\},$
de donde:
* q, p ₁, …, el k del <sub>del p es distinto prepara (Euler).
* &equiv del q ; α ≡ 1 (MOD 4) (Euler).
* el factor primero más pequeño del N es menos que (2 el k + 8)/3 (Grün 1952).
* la relación $e\_1$≡ &equiv de $e\_2$…; &equiv de $e\_k$; 1 (la MOD 3) no es satisfied (McDaniel 1970).
* q ^α > 10²⁰, o $p\_j^\; \{2e\_j\}$ > 10²⁰ para un cierto j (Cohen 1987).
* (Nielsen 2003).</sub>

el factor primero más grande del N es mayor que 10⁸ (Takeshi indicado y Yasuo Ohno, 2006).
El segundo mayor factor primero es mayor que 10⁴, y el tercero - el factor primero más grande es mayor de 100 (Iannucci 1999, 2000).
El N tiene por lo menos 75 factores primeros; y por lo menos 9 factores primeros distintos. Si 3 no es uno de los factores del N, después el N tiene por lo menos 12 factores primeros distintos (Nielsen 2006; Liebres 2005 de Kevin).

cuando ≤ 2 de $e\_i$ para cada i El factor primero más pequeño del N es por lo menos 739 (Cohen 1987).
α ≡ 1 (MOD 12) o α ≡ 9 (MOD 12) (McDaniel 1970).

Resultados de menor importancia

Incluso los números perfectos tienen una forma muy exacta; los números perfectos impares son raros, si existen de hecho. Hay un número de resultados en los números perfectos que son realmente absolutamente fáciles de probar pero sin embargo superficial impresionante; algunos de ellos también vienen debajo ley fuerte de s del individuo Richard de 'de los pequeños números :
Un número perfecto impar no es divisible por 105 (Kühnel 1949).
Cada número perfecto impar está del m de la forma 12 + 1 o 36 el m + 9 (Touchard 1953; Holdener 2002).
El único incluso número perfecto de la forma $x^3+1$ es 28 (Makowski 1962).
Un número de Fermat no puede ser un número perfecto (Luca 2000).
Dividiendo la definición a través por el N del número perfecto, los reciprocals de los factores de un N del número perfecto deben agregar para arriba a 2: Para 6, tenemos $1/6\; +\; 1/3\; +\; 1/2+\; 1/1\; =\; 2$;
Para 28, tenemos $1/28\; +\; 1/14\; +\; 1/7\; +\; 1/4\; el\; +\; 1/2\; +\; 1/1\; =\; 2$, etc.
El número de divisores de un número perfecto (si es uniforme o impar) debe ser uniforme, puesto que el N no puede ser un cuadrado perfecto. De estos dos resultados sigue que cada número perfecto es el número armónico de un mineral.

Conceptos relacionados

La suma de divisores apropiados da otras clases de números. Números donde está menos la suma que el número sí mismo se llama el deficiente, y donde está mayor que el número, abundante. Estos términos, junto con el perfecto sí mismo, vienen del Numerology griego . Un par de números que sean la suma de divisores apropiados de cada uno se llama el amistoso, y ciclos más grandes de números se llama el sociable. Un número entero positivo tales que cada número entero positivo más pequeño es una suma de divisores distintos de él es un número práctico .

Por la definición, un número perfecto es un punto fijo de la función restricta s del divisor (n) = σ (n) el − n, y la secuencia de la parte alícuota asociada a un número perfecto es una secuencia constante .

Ver también

Perfección

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