En las matemáticas, un número primero (o una prima ) es un número natural que tiene exactamente dos distinto 1 y sí mismo de los divisores del número natural. Una infinidad de números primeros existe, según lo demostrado por el Euclid en alrededor el 300 A. Los primeros treinta números primeros son: ¡lista se trata en “historia la sección de los números primeros” abajo. --> 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, del 113
Ver la lista de los números primeros para una lista más larga. El número uno no es por definición un número primero; ver la discusión abajo bajo Primality del de un .

La característica de ser una prima se llama el primality, y la prima de la palabra también se utiliza como adjetivo. Puesto que dos es el único incluso número primero, la prima impar del término refiere a cualquier número primero mayor de dos.

El estudio de números primeros es parte de la teoría de número, la rama de las matemáticas que abarca el estudio de números naturales. Los números primeros han sido el tema de la investigación intensa, con todo algunas preguntas del fundamental, tales como la hipótesis de Riemann y la conjetura de Goldbach, han sido sin resolver para más que un siglo. El problema de modelar la distribución de números primeros es un tema popular de la investigación para los teóricos de número: cuando la mirada de los números individuales, prepara parecer ser distribuido aleatoriamente, pero la distribución “global” de prepara sigue leyes bien definidas.

La noción del número primero se ha generalizado en muchas diversas ramas de las matemáticas.
En la teoría del anillo, una rama de la álgebra del extracto, el término “elemento primero” tiene un significado específico. Aquí, un diferente a cero, del elemento del anillo de la no-unidad un se define para ser primero si siempre que el un divida el a. para el b de los elementos del anillo y el c, después las divisorias por lo menos una de un del b o del c . Con este significado, lo contrario del añadido de cualquier número primero es también primero. Es decir cuando en vista del sistema de los números enteros como anillo, − 7 es un elemento primero. Sin la especificación adicional, sin embargo, el “número primero” significa siempre una prima positiva del número entero. Entre los anillos algebraico de los números enteros complejo Eisenstein prepara y el gausiano prepara puede también estar de interés.
En la teoría de nudo, un nudo de la prima es un nudo que no se puede escribir como la suma del nudo de dos pocos nudos no triviales.

Historia de números primeros

Después de los Griegos, poco sucedió con el estudio de números primeros hasta el siglo XVII. En el 1640 Pierre De Fermat indicó (sin prueba) teorema de Fermat poco (probado más adelante por el Leibniz y el Euler ). Un caso especial del teorema de Fermat se pudo haber sabido mucho anterior por el chino. Fermat conjeturó que todos los números del n de la forma 2² + 1 son prima (se llaman los números de Fermat y él verificó este hasta n = 4. Sin embargo, el número muy siguiente 2³²+1 de Fermat es compuesto (uno de sus factores primeros es 641), como Euler descubierto más adelante, y de hecho no se sabe ningunos otros números de Fermat para ser primeros. El francés Marín Mersenne del monje mirado prepara del p - 1 de la forma 2^{, con el p una prima. Se llaman Mersenne preparan en su honor.}

La teoría del trabajo de Euler en gran número incluyó muchos resultados prepara alrededor. Él demostró que la serie infinita ¹/₂ + ¹/₃ + ¹/₅ + ¹/₇ + ¹/₁₁ +… es divergente. En 1747 él demostró que los números incluso perfectos son exacto los números enteros del p -1 (2 ^p -1) de la forma 2 ^{donde está una prima el segundo factor de Mersenne. Se cree que existen ningunos números perfectos impares, pero todavía no hay prueba.}

Al principio del siglo XIX, Legendre y el gauss conjeturaron independiente que como el x tiende al infinito, el número de prepara hasta el x es asintótico al x /log ( x ), donde está el logaritmo el registro ( x ) natural del x . Las ideas de Riemann en su documento 1859 sobre la zeta-función bosquejaron un programa que llevaría a una prueba del teorema del número primero. Este esquema fue terminado por el Hadamard y el de la Vallée Poussin, que probaron independiente el teorema del número primero en el 1896 .

Probar un número es primero no es hecha (para los grandes números) por la división de ensayo. Muchos matemáticos han trabajado en las pruebas de Primality para los grandes números, a menudo restrictas a las formas de número específicas. Esto incluye la prueba para los números de Fermat (1877), teorema (alrededor 1878) de Pépin de Proth, la prueba de Lucas-Lehmer para Mersenne numera (originado 1856), y la prueba generalizada de Lucas-Lehmer. Algoritmos más recientes tienen gusto del trabajo APRT-CL, ECPP y AKS sobre números arbitrarios pero siguen siendo mucho más lentos.

Durante mucho tiempo, los números primeros fueron pensados como no teniendo ningún uso posible fuera de las matemáticas puras ; esto cambió en los años 70 cuando los conceptos de la criptografía de la Público-llave fueron inventados, en los cuales los números primeros formaron la base de los primeros algoritmos tales como el algoritmo del sistema criptográfico del RSA .

Puesto que 1951 que todo el mayor conocido prepara han sido encontrados por las computadoras la búsqueda para siempre más grande prepara ha generado interés fuera de círculos matemáticos. La gran búsqueda de la prima de Mersenne del Internet y otros proyectos de la computación distribuida a encontrar grande prepara han llegado a ser populares en los diez a quince años pasados, mientras que los matemáticos continúan luchando con la teoría de preparan.

Primality de uno

¡Hasta el siglo XIX, la mayoría de los matemáticos consideraban el número 1 una prima, y todavía hay un cuerpo grande del trabajo matemático que es válido a pesar de el etiquetado de 1 una prima, tal como el trabajo de la popa y Zeisel. El Enrique Lebesgue reputa a matemático profesional pasado para llamar 1 prima. El cambio en etiqueta ocurrió para poder decir que “cada número tiene una facturización única en prepara” (éste es el teorema fundamental del aritmético, que bajo definición histórica del primality, es inválido según lo indicado).

Divisores primeros

El teorema fundamental del aritmético indica que cada número entero positivo más en gran parte de 1 se puede escribir como producto de uno o más prepara de una manera que sea el único a menos que para la orden de la prima el descomponga en factores posiblemente . El mismo factor primero puede ocurrir las épocas múltiples. Prepara puede así ser considerado los “bloques huecos básicos” de los números naturales. Por ejemplo, podemos escribir

l $23244\; =\; 2^2\; \backslash \; épocas\; 3\; \backslash \; épocas\; 13\; \backslash \; épocas\; 149$

y cualquier otra facturización de 23244 como el producto de prepara será idéntica a excepción de la orden de los factores. Hay muchos algoritmos de la facturización de la prima para hacer esto en la práctica para números más grandes.

La importancia de este teorema es una de las razones de la exclusión de 1 del sistema de números primeros. Si 1 fuera admitido como prima, la declaración exacta del teorema requeriría calificaciones adicionales.

Las características de preparan

si el p es un número primero y el p divide un ab del producto de números enteros, después el de las divisorias del p un o el p divide el b . Este asunto fue probado por Euclid y se conoce como lema de Euclid. Se utiliza en algunas pruebas de la unicidad de facturizaciones primeras.

el Z del anillo /el Z del n (véase la aritmética modular ) es un del campo si y solamente si el n de es una prima. Poner otra manera: el n es primero si y solamente si el φ ('' n '') =   del n ; −   1.

si el p es primero y el un es cualquier número entero, entonces un p   del ^{de ; −   el un es divisible por el p (teorema de Fermat poco).}

si el p es un número primero con excepción de 2 y de 5, p de ¹/ _{es siempre un decimal que se repite, cuyo período es   del p ; −   1 o un divisor del   del p ; −   1. Esto se puede deducir directo teorema de Fermat de poco. p} de ¹/ _{expresado además en el bajo q (con excepción de base 10) tiene efecto similar, a condición de que el p no es un factor primero del q . El artículo sobre los decimales que se repiten demuestra algunas de las características interesantes.}

un p del número entero > 1 es primero si y solamente si el factorial (  del p ; −   ¡1)! + 1 es divisible por el p (teorema de Wilson). Inversamente, un n del número entero > 4 es compuesto si y solamente si (  del n ; −   ¡1)! es divisible por el n .

si el n es un número entero positivo mayor de 1, después allí es siempre un p del número primero con el n < el p < 2 el n (postulado de Beltrán).

que agrega los reciprocals de todo prepara juntos resultados en una serie infinita (prueba divergente). Más exacto, si el S ( x ) denota la suma de los reciprocals de todo el p de los números primeros con el x del ≤ del p, entonces S ( x ) = x del ln del ln + O (1) para el ∞ del → del x .

en cada de la progresión aritmética un, + el q, + 2 el q, + 3 el q ,… donde están el el positivo de los números enteros un y el q coprimero, allí es muchos prepara infinitamente (teorema de Dirichlet en las progresiones aritméticas ).

el característico de cada campo es cero o un número primero.

si el G es un grupo finito y el n del ^{del p es la energía más alta del primero p que divide la pedido del G, después del G tiene un subgrupo del n} del ^{del p de la orden.)}

si el p es primero y el G es un grupo con los elementos del n del ^{del p, después el G contiene un elemento del p de la orden.}

el que el teorema del número primero dice que la proporción de prepara menos que x es asintótico al x de ¹/_{ln (es decir como el x consigue muy grande, la probabilidad que un número menos que el x sea primero es inverso proporcional al número de dígitos en el x ).}

el Copeland-Erdős constante 0.235711131719232931374143…, obtenido concatenando los números primeros en la base diez, se sabe para ser un número irracional .

que el valor de la función de zeta de Riemann en cada punto en el plano complejo se da como continuación meromórfica de una función, definida por un producto sobre el sistema de todo prepara para el re ( s ) > 1: del
$de\; \backslash \; zeta=\; \backslash \; sum\_\; \{n=1\}\; ^\; \backslash \; infin\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n^s\}\; =\; \backslash \; prod\_\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; p\; \{1-p^\; \{-\; s\}\}.\; el\; de$ que evalúa esta identidad en diversos números enteros proporciona un número infinito de productos sobre prepara de quién valores pueden ser calculados, los primeros dos que son $del\; \backslash \; el\; prod\_\; \{p\}\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; del$ \backslash \; del\; prod\_\; \{p\}\; \backslash \; del\; frac\; del$$
= \ infty del frac {1} {1-p^ {- 1}} {1} {1-p^ {- 2}} {\ pi^2} {6}.

si el p > 1, el x^ polinómico del $\{p-1\}\; +x^\; \{p-2\}\; +\; \backslash \; los\; cdots\; +\; 1$ es irreducible sobre el Z /el Z del p si y solamente si el p es primero.

Clasificación de números primeros

Determinando el n de la clase + de un p del número primero implica el mirar del factor primero más grande del p + 1. Si ese factor primero más grande es 2 o 3, después el p es la clase 1+. Pero si ese factor primero más grande es otro primero q, después el n de la clase + del p es uno más que el n de la clase + del q . Las secuencias a través de la clase 1+ de la lista a través de la clase 4+ preparan.

El &minus del n de la clase; casi está igual que el n de la clase +, salvo que la facturización del   del p ; −   1 se mira en lugar de otro.

El número de números primeros

Hay infinitamente muchos números primeros

el sistema finito del

Consider de prepara. Multiplicar todos juntos y agregar uno (véase el número de Euclid). El número resultante no es divisible por un de los prepara en el sistema finito que considerábamos, porque la división por ninguno de estos daría un resto de uno. Porque todos los números non-prime se pueden descomponer en un producto de ser la base preparan, después o este número resultante es primero sí mismo, o hay un número primero o los números primeros en los cuales el número resultante se podría descomponer pero no estar en el sistema finito original de prepara. Cualquier manera, allí es por lo menos una más prima que no estaba en el sistema finito que comenzamos con. Esta discusión se aplica no importa qué el sistema finito nosotros comenzó con. Tan hay más prepara que cualquier number.

Esta discusión anterior explica porqué el P del producto finito de muchos prepara más 1 debe ser divisible por una cierta prima no entre ésos finito que muchos preparan (posiblemente sí mismo).

La prueba se expresa a veces de una manera que lleve a estudiante a concluir que el P + 1 debe sí mismo ser primero, y piense que la prueba de Euclid dice que el producto primero más 1 es siempre primero. El ejemplo simple de (2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13) + 1 = 30.031 = 59 · 509 (ambos preparan) demuestra que éste no es el caso. De hecho, fijado de prepara que no incluye 2 tendrá un producto impar. El adición de 1 a este producto producirá siempre un número par, que será divisible por 2 (y por lo tanto no ser primero).

Otros matemáticos han dado otras pruebas. Uno de éstos (debido al Euler ) demuestra que diverge el la suma de los reciprocals de todos los números primeros . Otra prueba basada en los números de Fermat fue dada por el Goldbach . El Kummer 's es particularmente elegante y el Harry Furstenberg proporciona el uno usar la topología general .

Cuenta del número de números primeros debajo de un número dado

Se define el π de Primero-cuenta de la función ( x ) mientras que el número de prepara hasta el x . Hay los algoritmos sabidos para computar valores exactos del π ( x ) más rápidamente que sería posible computar cada prima hasta el x . Los valores tan grandes como el π (10²⁰) se pueden calcular rápidamente y exactamente con las computadoras modernas., π (100000) = 9592, y π (10²⁰) = 2.

Para valores más grandes del x, más allá del alcance del equipo moderno, el teorema del número primero proporciona una buena estimación: el π ( x ) es aproximadamente el x /ln ( x ). Incluso se saben mejores estimaciones.

Localización de números primeros

Encontrar números primeros

El tamiz de Eratosthenes es una manera simple, y el tamiz de Atkin una manera rápida, de computar la lista de todos los números primeros hasta un límite dado.

En la práctica, aunque, uno quiere generalmente comprobar si un número dado es primero, algo que una lista de prepara. Además, es a menudo satisfactorio saber la respuesta con una alta probabilidad . Es posible comprobar rápidamente si un gran número dado (decir, hasta unos miles dígitos) es primero usar las pruebas de probabilidad de Primality que éstos escogen típicamente un número al azar llamado un " witness" y comprobar una cierta fórmula que implica el testigo y el primero potencial N . Después de varias iteraciones, declaran el N para ser " definitivamente composite" o " probablemente prime". Algunas de estas pruebas no son perfectas: puede haber algunos números compuestos, llamados el Pseudoprimes para la prueba respectiva, que será " declarado; probablemente prime" no importa qué se elige el testigo. Sin embargo, las pruebas de probabilidad más populares no sufren de esta desventaja.

Un método para determinar si un número es primero es dividir por todo prepara inferior o igual la raíz cuadrada de ese número. Eventualmente de las divisiones salir como un número entero, después el número original no es una prima. Uno no necesita realmente calcular la raíz cuadrada; una vez que uno ve que el cociente es menos que el divisor, uno puede parar. Esto se conoce como división de ensayo; es la prueba más simple del primality y llega a ser rápidamente impráctico para la prueba los números enteros grandes porque el número de factores posibles crece exponencial mientras que el número de dígitos en los aumentos número-a-ser-probados.

El Pseudocode para que los programas encuentren prepara

El menos algoritmo eficiente comienza con una lista que contiene apenas el número 2, después los intentos que dividen cada número subsecuente por preparan ya en la lista. Si no es divisible uniformemente por cualesquiera de ellos, se agrega a la lista. Pero si es divisible uniformemente por cualquier número ya en la lista, el programa se mueve encendido al candidato siguiente.

El más simple, la mayoría del algoritmo elegante es quizás el tamiz de Eratosthenes .

límite arbitrario de la búsqueda de // ← 1000000 del límite // asume que todos los números son primeros al principio ← verdad, límite del is_prime (i) del ∈ de i para n en √limit: si is_prime (n): // elimina múltiplos de cada uno prima, // que comienza con su cuadrado // 2n, 3n,…, (n-1) n eliminada ya nn de //, (n+1) n, (n+2) n,… ser eliminado ← falso, ∈ de i {n ², n ² +n, n ² +2n,…, límite} del is_prime (i) para n en límite: si is_prime (n): impresión n Un algoritmo más complicado, pero más eficiente (cuando está optimizado correctamente) es el tamiz de Atkin . Su estructura básica está como sigue.

 límite arbitrario de la búsqueda de // ← 1000000 del límite   
 // inicializa el tamiz ← falso, límite del is_prime (i) del ∈ de i 
 // puso en candidato prepara: números enteros de // de los cuales tener un número impar representaciones de // por ciertas formas cuadráticos para (x, y) en √limit del × del √limit:  ← 4x ² +y ² de n  si (∧ del límite del ≤ de n) (MOD del ∨ n de la MOD 12 = 1 de n 12 = 5):  is_prime (n) ¬is_prime del ← (n)  ← 3x ² +y ² de n  si (∧ del límite del ≤ de n) (MOD de n 12 = 7):  is_prime (n) ¬is_prime del ← (n)  ← 3x ² - y ² de n  si (x > y) ∧ del ∧ (límite del ≤ de n) (MOD 12 = 11 de n):  is_prime (n) ¬is_prime del ← (n) // elimina compuestos tamizando para n en √limit:  si is_prime (n):  // n es prima, omite múltiplos de su cuadrado; esto es suficiente porque  los compuestos de // que manejaron conseguir en la lista no pueden ser cuadrado-libres  is_prime (k) ← falso, ∈ de k {n ², 2n ², 3n ²,…, límite} 
 impresión 2, 3 para n en límite:  si is_prime (n): impresión n 

Pruebas de Primality

l : Prueba de Primality

Un algoritmo de la prueba del primality es un algoritmo que prueba un número para el primality, es decir si el número es un número primero.
prueba del primality AKS del

Prueba del primality de Fermat
Prueba de Lucas-Lehmer
Prueba del primality de Solovay-Strassen
Prueba del primality de Miller-Rabin
Primality elíptico de la curva que prueba

Una prima probable es un número entero que, en virtud de pasar cierta prueba, se considera ser probablemente primero. El Probable prepara que son de hecho compuesto (tal como números de Carmichael se llaman Pseudoprimes

En 2002, los científicos indios en IIT Kanpur descubrieron un nuevo algoritmo determinista conocido como el algoritmo AKS. La cantidad de tiempo que este algoritmo toma para comprobar si un número N es primero depende de una función polinómica del número de dígitos de '' N '' (es decir del logaritmo del N ).

Fórmulas que rinden números primeros

considera también: La fórmula para prepara el

No hay fórmula sabida para prepara que sea más eficiente en encontrar prepare que los métodos mencionados anteriormente bajo “encontrar números primeros”.

Hay un sistema de las ecuaciones Diophantine en 9 variables y un parámetro con la característica siguiente: el parámetro es primero si y solamente si el sistema de ecuaciones resultante tiene una solución sobre los números naturales. Esto se puede utilizar para obtener una sola fórmula con la característica que todos sus valores positivos del son primeros.

No hay polinómico, incluso en varias variables, que toma solamente valores primeros. Por ejemplo, el polinomio curioso en un variable f ( n ) = el n del − del n ² + 41 producciones prepara para el n = 0,…, 40.43 pero el f (41) y el f (42) son compuestos. Sin embargo, hay polinomios en varias variables, cuyos valores positivos como las variables toman todos los valores de número entero positivos son preparan exactamente.

Otra fórmula se basa en el teorema de Wilson mencionado anteriormente, y genera el número dos muchas veces y todo el otra prepara exactamente una vez. Hay otras fórmulas similares que también producen preparan.

Los tipos especiales de preparan de las fórmulas para preparan

n del ! el − 1 es primero para n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, 324,… ¡

n del ! + 1 es primero para n = 0, 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, 320,…

La prima primorial mayor conocida es Π (392113) + 1, encontró por Heuer en el 2001 . ¡La prima factorial mayor conocida es 34790! el − 1, encontró por Marchal, Carmody y Kuosa en el 2002 . No se sabe si hay infinitamente mucho primorial o factorial prepara.

Prepara del − 1 del p de la forma 2^{, donde está un número el p primero, se saben mientras que el Mersenne prepara mientras que prepara de la forma $2^\; \{2^n\}\; +\; 1$ se saben mientras que el Fermat prepara el p de los números primeros de donde 2 está también primero el p + 1 se sabe pues el Sophie Germán prepara que la lista siguiente es de otros tipos especiales de números primeros que vengan de fórmulas: style=" del
El Wieferich prepara
El Wilson prepara
El Pared-Sun-Sun prepara
El Wolstenholme prepara
El único prepara
El Newman-Caña-Williams prepara (NSW prepara),
El Smarandache-Wellin prepara
El Wagstaff prepara y
El Supersingular prepara}