En las matemáticas, un número racional es un número que se puede expresar como cociente de dos números enteros que los números racionales del No-número entero de (comúnmente llamados fracciona ) se escriben generalmente como la fracción vulgar $a/b$, donde no está el el b cero. el un se llama el numerador, y el b el denominador .

Cada número racional se puede escribir en infinitamente muchas formas, tales como $3/6=2/4=1/2$, pero reputa en la forma más simple cuando el un y el b no tienen ningún divisor común excepto 1 (es decir, son el coprimero). Cada número racional diferente a cero tiene exactamente una forma más simple de este tipo con un denominador positivo. Una fracción en esta forma más simple reputa una fracción irreducible, o una fracción en redujo la forma .

La extensión decimal de un número racional es el eventual periódico (en el caso de una extensión finita los ceros que la siguen implícito forma la parte periódica). Igual es verdad para cualquier otra base integral sobre una, y es también verdad cuando los números racionales se consideran ser los números de P-adic algo que los números verdaderos inversamente, si la extensión de un número para una base es periódica, él son periódicos para todas las bases y el número es racional. Un número verdadero que no es un número racional se llama un número irracional .

El determinado de todos los números racionales, que constituye un campo, es $\backslash \; el\; mathbb\; denotados\; \{Q\}$. Usar la notación del Fijar-constructor, el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$ se define como = \ a la izquierda \ {\ frac {m} {n} del $\backslash \; del\; mathbb\; del\; \{Q\}:\; m\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; n\; \backslash \; en\; \backslash \; mathbb\; \{Z\},\; n\; \backslash \; ne\; 0\; \backslash derecho\backslash \},$ donde el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Z\}$ denota el sistema de números enteros.

El racional del término

En el mundo matemático, el racional del adjetivo significa a menudo que el campo subyacente considerado es el $del\; campo\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$ de números racionales. Por ejemplo, un número entero racional es un número entero algebraico que es también un número racional, que es decir, un número entero ordinario, y una matriz racional es una matriz cuyos coeficientes son números racionales. El polinomio racional generalmente, y lo más correctamente posible, significa un polinomio con los coeficientes racionales, también llamados un “polinomio sobre los números racionales”. Sin embargo, la función racional hace medio del no que el campo subyacente es los números racionales, y una curva algebraica racional es el no a la curva algebraica con coeficientes racionales.

Aritmético

Fracción (matemáticas) #Arithmetic con las fracciones

Dos números racionales $a/b$ y $c/d$ son igual si y solamente si $ad\; de\; =\; bc$.

Dos fracciones son como sigue $del\; \backslash \; el\; frac\; agregados\; \{a\}\; \{b\}\; +\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{ad+bc\}\; \{BD\}\; del\; frac\; \{c\}\; \{d\}.$ Regla para multiplicación es

$\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{CA\}\; \{BD\}\; del\; cdot\; de\; a\}\; \{b\; \backslash \; del\; frac\; \{c\}\; \{d\}.$

El añadido y lo contrario multiplicativos existen en el $del\; de\; los\; números\; racionales\; -\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; frac\; \{-\; a\}\; \{b\}\; =\; \backslash \; el\; frac\; \{a\}\; \{-\; b\}\; \backslash patio\backslash \; mbox\; \{y\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; ido\; (\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; a\; \backslash \; neq\; 0.$ de b} {a Él sigue que cociente de dos fracción es dado por

$\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{anuncio\}\; del\; div\; de\; a\}\; \{b\; \backslash \; del\; frac\; \{c\}\; \{d\}\; \{a.$

Fracciones egipcias de

considera también:

egipcio de la fracción Cualquier número racional positivo se puede expresar como suma de los reciprocals distintos de números enteros positivos, tales como = \ frac {1} del $\backslash \; del\; frac\; del\; 7\}\; \{5\}\; \{\{2\}\; +\; \backslash \; 6\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; frac\; \{1\}\; \{\{21\}.$

Para cualquier número racional positivo, hay infinitamente mucho diferente tales representaciones, llamadas egipcio fracciona ', como él fue utilizado por los egipcios antiguos . Los egipcios también tenían una diversa notación para las fracciones de las diadas

Construcción formal

Podemos construir matemáticamente los números racionales mientras que la equivalencia clasifica de los pares pedidos de $de\; los\; números\; enteros\; \backslash \; dejó\; (a,\; b\; \backslash \; derecho)$, con $b$ no igual a cero. Podemos definir la adición y la multiplicación de estos pares con las reglas siguientes: el $del\; \backslash \; salió\; (a,\; b\; \backslash \; derecho)\; de\; +\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (c,\; d\; \backslash \; derecho)\; =\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; (anuncio\; +\; a.,\; BD\; \backslash \; derecho)$ del$$
de \ se fue (a, b \ derecho) \ las épocas \ salió (c, d \ derecho) de = \ a la izquierda (CA, BD \ derecho) y si ≠ 0, división de c por el $\backslash \; el\; frac\; del\; \{\backslash \; se\; fue\; (a,\; b\; \backslash \; derechos)\}\; \{\backslash \; se\; fue\; (c,\; d\; \backslash \; derechos)\}\; =\; \backslash \; se\; fue\; (anuncio,\; a.$

La intuición es ese $\backslash \; dejó\; (a,\; b\; \backslash \; derecho)\; los\; soportes\; de$ para el número denotado por el $\backslash \; el\; tfrac\; \{a\}\; \{b\}\; de\; la\; fracción.$ Para ajustarse a nuestra expectativa que el $\backslash \; el\; tfrac\; \{2\}\; \{4\}$ y $\backslash \; el\; tfrac\; \{1\}\; \{2\}$ denotan el mismo número, definimos un $\backslash \; sim$ de la relación de equivalencia en estos pares con la regla siguiente:

$\backslash \; se\; fue\; (a,\; b\; \backslash )\; derecho\; \backslash \; sim\; \backslash \; se\; fue\; (c,\; d\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; anuncio\; del\; mbox\; \{si\; y\; solamente\; si\}\; =\; bc$

Esta relación de equivalencia es una relación de la congruencia: es compatible con la adición y la multiplicación definidas arriba, y podemos definir el Q para ser el fijado cociente de ~, es decir identificamos dos pares ( un, b ) y (el c, el d ) si son equivalentes en el sentido antedicho. (Esta construcción se puede realizar en cualquier dominio integral : ver el campo de las fracciones .)

Nosotros puede también definir total orden en Q por escribiendo

Los números enteros se pueden considerar para ser números racionales por el que encaja que trace el $p\; \backslash ,$ a, \, del $1)$ donde el $\backslash ,$ denota la clase de equivalencia que tiene $(a,\; b)\; \backslash ,$ como miembro.

Características

El $del\; sistema\; \backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$, junto con las operaciones de la adición y de la multiplicación demostradas arriba, forma un campo, el campo de las fracciones del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Z\}$ de los números enteros .

Los números racionales son el campo más pequeño con el característico cero: cada otro campo de la característica cero contiene una copia del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$. Los números racionales son por lo tanto el campo primero para la característica cero.

El encierro algebraico del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$, es decir el campo de las raíces de polinomios racionales, es los números algébricos

El sistema de todos los números racionales es el contable. Puesto que el sistema de todos los números verdaderos es no numerable, decimos que el casi todos los números verdaderos de es irracional, en el sentido de la medida de Lebesgue, es decir el sistema de números racionales es un sistema nulo .

Los números racionales son un pidieron denso para fijar: entre cualquier dos números racionales, sienta otro, de hecho infinitamente muchos otros. Cualquier pidió total para fijar que es contable, denso (en el sentido antedicho), y no tiene ningún lo menos o el elemento más grande es la orden isomorfo a los números racionales.

Números verdaderos y características topológicas de los números racionales

Los números racionales son un subconjunto denso de los números verdaderos: cada número verdadero tiene números racionales arbitrariamente cerca de él. Una característica relacionada es que los números racionales son los únicos números con extensiones finitas como fracciones continuas regulares .

En virtud de su orden, los números racionales llevan una topología de la orden. Los números racionales también llevan una topología del subespacio. Los números racionales forman un espacio métrico usando el métrico d ( x,     del y ); =  |    del x ; −   &thinsp del y ; |, y esto rinde una tercera topología en el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$. Las tres topologías coinciden y dan vuelta a los números racionales en un campo topológico . Los números racionales son un ejemplo importante de un espacio que no sea el localmente compacto. Los números racionales se caracterizan topológico como el espacio metrizable contable único sin los puntos aislados El espacio es también el total desconectado. Los números racionales no forman un espacio métrico completo ; los números verdaderos son la terminación del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Q\}$.

p - números adic

Además del métrico del valor absoluto mencionado anteriormente, hay otras métricas que dan vuelta al $\backslash \; al\; mathbb\; \{Q\}$ en un campo topológico:

Dejar $p$ ser un número primero y para cualquier número entero diferente a cero $a$ dejó el $|a|\_p\; =\; p^\; \{-\; n\}$, donde está la energía $p^n$ más alta de $p$ que divide $a$;

Además escribir el $|0|\_p\; =\; 0$. Para cualquier $\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}$ del número racional, fijamos el $\backslash \; nos\; fuimos|\backslash \; frac\; \{a\}\; \{b\}\; \backslash \; derecho|\_p\; =\; \backslash$

l frac .

Zenithic

Ivar Brogger

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