En las matemáticas, un número trascendental es un el número complejo verdadero de o que no es el algebraico, es decir, no una solución de una ecuación polinómica diferente a cero, con los coeficientes racionales

Los ejemplos más prominentes de números trascendentales son '' π '' y el '' e '' . Solamente algunas clases de números trascendentales se saben, y probar que un número dado es trascendental puede ser extremadamente difícil.

Sin embargo, los números trascendentales no son raros: de hecho, el los números verdaderos y complejos de casi todo el es trascendental, puesto que los números algébricos son el contable, pero los sistemas de números verdaderos y complejos son el no numerable.

Historia

El Euler era probablemente la primera persona para definir números trascendentales en el sentido moderno. El " conocido; transcendentals" viene Leibniz en su papel 1682 donde él probó pecado del (x) no es una función algebraica x . El José Liouville primero probó la existencia de números trascendentales en 1844, y en 1851 dio los primeros ejemplos decimales tales como el Liouville constante $del$

l \ ^ del sum_ {k=1} \ 10^ infty {- k!} = 0.110001000000000000000001000 \ ldots

en cuál el dígito del th del n después de que la coma sea 1 si el n es un factorial (es decir, 1, 2, 6, 24, 120, 720,…. Liouville demostró que este número es lo que ahora llamamos un número de Liouville; esto esencialmente significa que puede ser aproximada particularmente bien por números racionales que Liouville demostró que todos los números de Liouville son trascendentales.

El Juan Heinrich Lamberto conjeturó que el e y el π del eran ambos números trascendentales, en su papel 1761 que probaba que el número '' π '' es el irracional. El primer número a ser trascendental probado sin específicamente ser construido para el propósito era el '' e '', al lado de Charles Hermite en el 1873 . En el 1874, el chantre de Jorge encontró la discusión mencionada sobre el establecimiento de la ubicuidad de números trascendentales.

En el 1882, el Fernando von Lindemann publicó una prueba que el número '' π '' es trascendental. Él primero demostró que el e a cualquier energía algebraica diferente a cero es trascendental, y desde el $e^\; \{i\; \backslash \; pi\}\; =\; -1$ es algebraico (véase la identidad de Euler), el $i\; \backslash \; pi$ y por lo tanto el $\backslash \; pi$ debe ser trascendental. Este acercamiento fue generalizado por el Karl Weierstrass al teorema de Lindemann-Weierstrass. La trascendencia del π del permitió la prueba de la imposibilidad de varias construcciones geométricas antiguas que implicaban el compás y la regla, incluyendo el más famoso, que ajustaba el círculo .

En 1900, el David Hilbert planteó una pregunta influyente sobre números trascendentales, problema de Hilbert séptimo: ¿Si el del número un es algebraico, pero es ni 0 ni 1, y el b del número es el irracional y el algebraico, es el un b del ^{de necesario trascendental? La respuesta afirmativa fue proporcionada en 1934 por el teorema de Gelfond-Schneider. Este trabajo fue extendido por el panadero de Alan en los años 60.}

Características

El sistema de números trascendentales es el uncountably infinito. La prueba es simple: Puesto que los polinomios con coeficientes del número entero son el contable, y puesto que cada tal polinomio tiene un número finito de los ceros, los números algébricos deben también ser el contable. Pero la discusión diagonal del chantre prueba que los números verdaderos (y por lo tanto también los números complejos) son no numerables; tan el sistema de todos los números trascendentales debe también ser no numerable.

Los números trascendentales nunca son el racional, pero algunos números irracionales no son trascendentales. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es irracional, pero es una solución del &minus polinómico del x ²; 2 = 0, así que él es el algebraico, no trascendental.

Cualquier función algebraica no-constante de una sola variable rinde un valor trascendental cuando está aplicada a una discusión trascendental. Así pues, por ejemplo, de saber que el π es trascendental, podemos deducir inmediatamente que los números tales como 5π, (&minus del π; 3)/√2, (&minus del √π; √3)⁸ y (π⁵ + 7)^1/7 son trascendentales también.

Sin embargo, una función algebraica de varias variables puede rendir un número algébrico cuando está aplicada a los números trascendentales si estos números no son la independiente algebraico. Por ejemplo, π y 1 − el π es ambo trascendental, pero π + (1 − el π) = 1 no está obviamente. Es desconocido si el π + el e, por ejemplo, es trascendentales, aunque por lo menos uno de π + del e y del e del π debe ser trascendental. Más generalmente, para cualquier de dos números trascendentales un y el b, por lo menos uno del + el b y el ab debe ser trascendental. Para ver esto, considerar el polinomio (&minus del x ; un ) (&minus del x ; b ) = &minus del x ²; ( + b ) x + ab . Si ( + b ) y el ab fuera ambo algebraico, después esto sería un polinomio con coeficientes algebraicos. Porque los números algébricos forman un campo algebraico cerrado, éste implicaría que las raíces del polinomio, del un y del b, deben ser algebraicas. Pero esto es una contradicción, y así debe ser el caso que por lo menos uno de los coeficientes es trascendental.

Cada número computable non- es también trascendental puesto que todos los números algébricos son computables.

Todos los números de Liouville son trascendentales; sin embargo, no todos los números trascendentales son números de Liouville. Cualquier número de Liouville debe tener términos ilimitados en su expresión de la fracción continua, y así que usar una discusión de cuenta una puede demostrar que existen los números trascendentales cuál no es Liouville. Usar la extensión explícita de la fracción continua del e, uno puede demostrar que el e no es un número de Liouville. El Kurt Mahler demostró en 1953 que el π no es también un número de Liouville. Se conjetura que todas las fracciones continuas infinitas con los términos limitados que no son eventual periódicos son trascendentales (las fracciones continuas periódicas corresponden eventual a los irrationals cuadráticos).

Números trascendentales y problemas abiertos sabidos

Aquí está una lista de algunos números sabidos para ser trascendental:
e ^a del

si el un es algebraico y diferente a cero (por el teorema de Lindemann-Weierstrass), y particularmente, e sí mismo.
π (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
e ^π, constante de Gelfond (por el teorema de Gelfond-Schneider).
a^b donde está algebraico (solamente el un un ≠ 0 o 1) y b de es algebraico pero no racional (por el teorema de Gelfond-Schneider), particularmente $2^\; \backslash raíz\; cuadrada\{2\}$, el Gelfond-Schneider constante.
pecado ( un ), lechuga romana ( un ) y tan ( un ), y su cosecante ( de lo contrario un ), sec ( un ) y choza ( un ), para cualquie diferente a cero del número algébrico un (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
ln ( un ) si el un es algebraico y no igual a 0 o a 1 (por el teorema de Lindemann-Weierstrass).
Γ (1/3), Γ (1/4), y Γ (1/6).
Ω, constante de Chaitin (puesto que es un número no-computable).
Prouhet-Thue-Morse constante
$\backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^\; \backslash \; infty\; 10^\; \{-\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; beta^\; \{\}\; \backslash \; rfloor\; de\; k\};$ donde está la función el $\backslash \; beta\; >\; 1$ y $\backslash \; beta\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; beta\; \backslash \; rfloor$ del piso.

Números para los cuales es desconocido si él es trascendental o no:
Sumas, productos, energías, etc. (a excepción del constante de Gelfond) del número '' π '' y del número '' e '' : π del + e, &minus del π del ; e, π del · e, π / e, π , e , e del del del ^{del π del e del del π del
el constante γ (que de Euler-Mascheroni incluso no se ha demostrado ser irracional)
constante del catalán, también no sabido para ser irracional
constante de Apéry, ζ del (3) (véase la función de zeta de Riemann ).}

Conjeturas:
Conjetura de Schanuel (puede haber sido probado por el Boris Zilber [HTTP //www.uk/ ~avb/micromathematics/2006/10/uniqueness-and-existence.html])

Bosquejo de la prueba que el e es trascendental

La primera prueba que el la base de los logaritmos naturales, '' e '', es fechas trascendentales a partir de 1873. Ahora seguiremos la estrategia David Hilbert (1862– 1943) quién dio una simplificación de la prueba original Charles Hermite . La idea es la siguiente:

Asumir, para el propósito de encontrar una contradicción, que el e es algebraico. Entonces existe un sistema finito del $c\_\; de\; los\; coeficientes\; del\; número\; entero\; \{0\},\; c\_\; \{1\},\; \backslash \; los\; ldots,\; c\_\; \{n\},$ que satisface la ecuación: e^ + \ cdots+c_ {n} del e^ del $c\_\; del$

l {0} +c_ {1} e+c_ {2} {2} {n} =0

y tales que $c\_0$ y $c\_n$ son ambos diferentes a cero.

Dependiendo del valor del n, especificamos un positivo suficientemente grande k del número entero (cubrir nuestras necesidades más adelante), y multiplicamos ambos lados de la ecuación antedicha por el _ del $\backslash \; del\; int^\; \{\backslash \; infty\}\; \{0\}$, donde el _ del $\backslash \; del\; int^\; de\; la\; notación\; \{b\}\; \{a\}$ será utilizado en esta prueba como taquigrafía para el integral: $del$

l \ _ del int^ {b} {a}: = \ int^ {b} _ {a} x^ {k} ^ {k+1} e^ {-} \, de x dx.

Hemos llegado la ecuación: $c\_\; del$

l {0} \ _ del int^ {\ infty} {0} +c_ {1} de e \ del int^ {\ infty} 0} del e^ {n} \ del int^ {\ infty} + \ cdots+c_ {n} del _ {_ {0} = 0

cuál se puede ahora escribir en la forma $P\_\; del$

l {1} +P_ {2} =0 \;

donde del

l =c_ {0} \ del int^ {\ infty} del $P\_\; \{1\}\; \_\; \{0\}\; +c\_\; \{1\}\; e\; \backslash \; e^\; del\; \_\; del\; int^\; \{\backslash \; infty\}\; \{1\}\; +c\_\; \{2\}\; \{2\}\; \backslash \; e^\; +\; \backslash \; cdots+c\_\; \{n\}\; del\; \_\; del\; int^\; \{\backslash \; infty\}\; \{2\}\; \{n\}\; \backslash \; =c\_\; del$ P\_\; \_\; del\; int^\; \{\backslash \; infty\}\; \{n\}$\{2\}\; \{1\}\; 1\}\; e^\; del\; \_\; de\; e\; \backslash \; del\; int^\; \{\{0\}\; +c\_\; \{2\}\; \{2\}\; \backslash \; e^\; +\; \backslash \; cdots+c\_\; \{n\}\; del\; \_\; del\; int^\; \{2\}\; 0\}\; \{\{n\}\; \backslash \; \_\; del\; int^\; \{n\}\; \{0\}$

El plan del ataque ahora es demostrar que para el k suficientemente grande, las relaciones antedichas son imposibles de satisfacer porque $del$

l \ frac {P_ {1}} {k!} es un número entero y un $\backslash \; un\; frac\; diferentes\; a\; cero\; \{P\_\; \{2\}\}\; \{k!\}$ no es.

El hecho ese $\backslash \; frac\; \{P\_\; \{1\}\}\; \{k!\}$ es resultados diferentes a cero de un número entero de la relación ¡

$\backslash \; int^\; \{\backslash \; infty\}\; \_\; \{0\}\; x^\; \{j\}\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; de\; x\; dx=j!$

cuál es válido para cualquier positivo j del número entero y se puede probar usar la integración por las piezas y la inducción matemática .

Para demostrar eso el $del$

l \ se fue|\ frac {P_ {2}} {k!}\ derecho|<1 para el suficientemente grande k

primero observamos eso el e^ del ^ del $x^\; \{k\}\; \{k+1\}\; \{-\; x\}$ es el producto del $^\; de\; las\; funciones\; \{k\}$ y del $(x-1)\; (x-2)\; \backslash \; del\; e^\; de\; los\; cdots\; (x-n)\; \{-\; x\}$. Usar los límites superiores para el $|x\; (x-1)\; (x-2)\; \backslash \; cdots\; (x-n)|$ y $|(x-1)\; (x-2)\; \backslash \; e^\; de\; los\; cdots\; (x-n)\; \{-\; x\}|$ en intervalo y empleando hecho

$\backslash \; lim\_\; \{k\; \backslash \; \backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{G^k\}\; \{k!\}=0$ para cada G del número verdadero es entonces suficiente acabar la prueba.

Una estrategia similar, diferente del acercamiento original de Lindemann, se puede utilizar para demostrar que el número '' π '' es trascendental. Además de la Gamma-función y algo estimaciones como en la prueba para el '' e '', los hechos sobre los polinomios simétricos desempeñan un papel vital en la prueba.

Para la información detallada referente a las pruebas de la trascendencia '' π '' y '' e '' ven las referencias y los acoplamientos externos.

Ver también

La teoría de la trascendencia, el estudio de preguntas se relacionó con los números trascendentales

.

Zenithic

Lemon (developer)

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