Un número triangular es la suma de los números naturales n a partir de la 1 al n . Los números triangulares son supuestos porque describen números de objetos que se puedan arreglar en un triángulo. El número triangular del th del n es dado por el $del$

T_n= \ ^n del sum_ {k=1} k = 1+2+3+ \ dotsb + (n-2) + (n-1) +n = \ frac {2} = \ frac {n^2+n} {2} de n (n+1)} {= {n+1 \ eligen 2}.

Según las indicaciones del término de derecha de esta fórmula, cada número triangular es un coeficiente binomial : el th del n triangular es el número de pares distintos que se seleccionarán del n + los objetos 1. En esta forma soluciona el “problema del apretón de manos” de contar el número de apretones de manos si cada persona en un cuarto sacude las manos una vez con uno a persona.

La secuencia de números triangulares para el   del n ; =  1,   2,   3… es: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55 del ,…

Relaciones a otros números figurados

Los números triangulares tienen una gran variedad de relaciones a otros números figurados .

Lo más simplemente posible, la suma de dos números triangulares consecutivos es un número cuadrado . Algebraico, $T\_n\; del$

l + = \ dejado (\ + \ frac {n} {2} de T_ {n-1} del frac {n^2} {2} \ derecho) + \ (\ frac {\ (n-1 \ derecho) ^2 dejado} {2} + dejado \ frac {n-1} {2} \ derecho) = \ 2} + dejado (\ del frac \ frac {n} {2} {n^2} {\ derecho) + \ dejado (\ - \ frac {n} {2} del frac {n^2} {2} \ derecho) = n^2.

Alternativo, el mismo hecho se puede demostrar gráficamente:

Otras características

Cada incluso número perfecto es triangular, y no se sabe ningunos números perfectos impares, por lo tanto todos los números perfectos sabidos son triangulares.

En la base 10, la raíz de Digitaces de un número triangular es siempre 1, 3, 6 o 9. por lo tanto cada número triangular es cualquier divisibles por tres o tiene un resto de 1 cuando es dividido por nueve:

del
3× 2,
10 de

= 9× 1+1,
15 = 3× 5,
21 = 3× 7,
28 = 9× 3+1,
…

Lo contrario de la declaración antedicha es, sin embargo, no siempre verdad. Por ejemplo, la raíz digital de 12, que no es un número triangular, es 3 y divisible por tres.

La suma Reciprocals de todos los números triangulares es: ¡$del$

l \! \ \ ^ del ^ del sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ encima} = 2 \ sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ encima {n^2 + n}} = 2

Esto puede ser demostrada usando la suma básica de un que telescopa la serie : ¡$del$

l \! \ \ ^ del sum_ {n=1} {\ infty} {1 \ encima {n (n+1)}} = 1

Dos otras fórmulas interesantes con respecto a números triangulares son: $T\_\; del$

l {a+b} = T_ {a} + T_ {b} + ab

y $T\_\; del$

l {ab} = T_ {a} T_ {b} + T_ {a-1} T_ {b-1},

que puede ser establecido fácilmente o mirando patrones de punto (véase arriba) o con una cierta álgebra simple.

En 1796, el alemán Carl Friedrich Gauss del matemático y del científico descubrió que cada número entero positivo es representable como suma a lo más de tres números triangulares, escribiendo en su diario sus palabras famosas, " ¡Heureka! num= Δ + Δ + Δ." Observar que este teorema no implica que los números triangulares son diferentes (como en el caso de 20=10+10), ni que una solución con tres números triangulares diferentes a cero debe existir. Éste es un caso especial del teorema poligonal del número de Fermat.

Pruebas para los números triangulares

Uno puede probar eficientemente si un positivo x del número entero es un número triangular computando = \ frac del $n\; del$

l {\ raíz cuadrada {8x+1} - 1} {2}.

Si el n es un número entero, después el x es el número triangular del th del n . Si el n no es un número entero, después el x no es triangular.

Zenithic

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