En las matemáticas, los números verdaderos se pueden describir informal como números que se puedan dar por una representación decimal infinito, tal como 2. Los números verdaderos incluyen los números racionales tal como 42 y − 23/129, y los números irracionales tal como π y la raíz cuadrada de 2, y se puede representar como puntos a lo largo de una línea de número infinitamente larga .

Una definición más rigurosa de los números verdaderos era uno de los progresos más importantes de las matemáticas del siglo XIX . El hoy funcionando de las definiciones populares incluye las clases de la equivalencia de las secuencias de Cauchy de números racionales, cortes de Dedekind una versión más sofisticada del " representation" decimal;, y una definición axiomática de los números verdaderos como el de Arquímedes completo único pidió el campo del .

Los números verdaderos del conocido se presentaron para distinguirlos de qué entonces fue llamada el los números imaginarios (y ahora los números complejos .

Características básicas

Un número verdadero puede ser el racional o el irracional; algebraico o trascendental; y positivo, negativo, o cero.

Cantidades continuas de la medida de los números verdaderos. Pueden en teoría ser expresadas por las representaciones decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma; éstos se representan a menudo en la misma forma que 324.823211247… Los puntos de suspensión (tres puntos) indican que todavía habría más dígitos a venir.

Más formalmente, los números verdaderos tienen las dos características básicas de ser un campo pedido, y del tener el menos característica del límite superior . El primer dice que los números verdaderos abarcan un campo, con la adición y la multiplicación así como la división por los números diferentes a cero, que pueden ser el total pedido en una línea de número de una manera compatible con la adición y la multiplicación. El segundo dice que si un sistema no vacío de números verdaderos tiene un límite superior, después tiene un menos límite superior . Estos dos juntos definen los números verdaderos totalmente, y permiten que sus otras características sean deducidas. Por ejemplo, podemos probar de estas características que cada polinomio del grado impar con coeficientes verdaderos tiene una raíz verdadera, y que si usted agrega la raíz cuadrada del − 1 a los números verdaderos, obteniendo los números complejos el resultado es el algebraico cerrado.

Aplicaciones

Las medidas en las ciencias físicas se conciben casi siempre como de aproximaciones a los números verdaderos. Mientras que los números usados con este fin son generalmente las fracciones decimales que representan los números racionales, escribiéndolos en términos decimales sugiere que son una aproximación a un número verdadero subyacente teórico.

Un número verdadero reputa el computable del si existe un algoritmo que rinda sus dígitos. Porque hay solamente el contable muchos algoritmos, pero un número no numerable de reals, la mayoría de los números verdaderos no son computables. Algunos constructivists aceptan la existencia solamente de esos reals que sean computables. El sistema de los números definibles es más amplio, pero aún solamente contable.

Las computadoras pueden aproximar solamente la mayoría de los números verdaderos. Lo más comúnmente posible, pueden representar cierto subconjunto de los números racionales exactamente, vía números de la coma flotante o números de punto fijo, y estos números racionales se utilizan como aproximación para otros valores verdaderos próximos. La aritmética Arbitrary-precision es un método para representar los números racionales arbitrarios, limitados solamente por la memoria disponible, pero más comunmente uno utiliza un número fijo de los pedacitos de la precisión determinados por el tamaño de los registros del procesador. Además de estos valores racionales, los sistemas de la álgebra de la computadora pueden tratar muchos números irracionales (contables) exactamente almacenando una descripción algebraica (tal como " raíz cuadrada (2)") algo que su aproximación racional. Observar que algunos lenguajes de programación utilizan el " real" para describir su tipo de datos numérico principal, tal como AppleScript .

Los matemáticos utilizan el R del símbolo (o alternativo, $\backslash \; Bbb\; \{R\}$, el " de la letra; " R ; en la pizarra en negrilla, ℝ de Unicode) para representar el determinado de todos los números verdaderos. El n del ^{del R de la notación refiere a un n - espacio dimensional con coordenadas verdaderos; por ejemplo, un valor del R 3 consiste en tres números verdaderos y especifica una localización en espacio de 3 dimensiones.}

En las matemáticas, verdaderas se utiliza como adjetivo, significando que el campo subyacente es el campo de números verdaderos. Por ejemplo matriz verdadera, verdadero polinómico del y álgebra de mentira verdadera . Como sustantivo, el término se utiliza casi terminantemente en la referencia a los números verdaderos, ellos mismos (e., el " sistema de todo el reals").

Historia

Las fracciones vulgares habían sido utilizadas por los egipcios alrededor 1000 A. ; el " védico ; Sulba Sutras " (" regla de chords" en el sánscrito), el 600 A. del CA, incluye qué puede ser el primer “uso” de los números irracionales ., los matemáticos griegos llevados por el Pythagoras realizaron la necesidad de los números irracionales particularmente la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos .

En el los décimo octavos diecinueveavo siglos de y allí eran mucho trabajo sobre el irracional y el Lamberto de los números trascendentales que (1761) dio la primera prueba estropeada que el π no puede ser racional, Legendre (1794) terminó la prueba, y demostró que el π no es la raíz cuadrada de un número racional. Ruffini (1799) y Abel (1842) ambas pruebas construidas del teorema de Abel-Ruffini: que el general quintic o ecuaciones más altas no se puede solucionar por una fórmula general que implica solamente operaciones y raíces aritméticas.

Técnicas desarrolladas de Évariste Galois 1832) (para determinar si una ecuación dada se podría solucionar por los radicales que dieron lugar al campo de la teoría de Galois . El José Liouville (1840) demostró que ni el e ni el e ² puede ser una raíz de una ecuación cuadrático del número entero, y existencia entonces establecida de números trascendentales, la prueba que era desplazada posteriormente por Jorge Cantor (1873). El Charles Hermite (1873) primero probó que el '' e '' es trascendental, y Fernando von Lindemann (1882), demostrado que el π es trascendental. La prueba de Lindemann fue simplificada mucho por Weierstrass (1885), aún más por el David Hilbert (1893), y finalmente ha sido hecha elemental por el Hurwitz y el Paul Albert Gordan .

El desarrollo del cálculo en los 1700s utilizó el sistema entero de números verdaderos sin la definición de ellos limpio. La primera definición rigurosa fue dada por el chantre de Jorge en el 1871 . En 1874 él demostró que el sistema de todos los números verdaderos es el uncountably infinito pero el sistema de todos los números algébricos es el contable infinito. El contrario a la creencia muy frecuente, su método no era su discusión diagonal famoso, que él publicó en 1891.

Definición

considera también: Construcción los números verdaderos

Construcción de los números racionales

Los números verdaderos se pueden construir como terminación de los números racionales de una manera tal que una secuencia definida por una extensión decimal o binaria tenga gusto {3, 3.1415,…} converge a un número verdadero único. Para los detalles y otras construcciones de números verdaderos, ver la construcción de los números verdaderos .

Acercamiento axiomático

Dejar el R denotar el determinado de todos los números verdaderos. Entonces:
El R del sistema es un campo, significando que la adición y la multiplicación están definidas y tienen las características generalmente.
El R del campo es pedido, significando que hay un ≥ de la orden del total tales que, para todo el x de los números verdaderos, el y y el z : si x del y del ≥ del x entonces + y del ≥ del z + z ;
si ≥ 0 del x y ≥ xy 0 del del ≥ 0 del y entonces.
La orden es el Dedekind-completo, es decir, cada no vacío S del subconjunto del R con un límite superior en el R tiene un menos límite superior (también llamado supremum) en el R .

La característica pasada es qué distingue los reals de los números racionales . Por ejemplo, el sistema de números racionales con el cuadrado menos de 2 tiene un límite superior racional (e.5) solamente ningún racional menos límite superior, porque la raíz cuadrada de 2 no es racional.

Los números verdaderos son especificados únicamente por las características antedichas. Más exacto, dado cualquier Dedekind-completo R ₁ de dos campos pedidos y el R ₂, existe un isomorfismo único del campo del R ₁ a el R ₂, permitiendo que pensemos en ellos como esencialmente el mismo objeto matemático.

Para otra axiomatización del R, ver la axiomatización de Tarski de los reals .

Características

Lo completo

La razón principal de introducir los reals es que los reals contienen todos los límites . Más técnico, los reals son el completo (en el sentido de los espacios métricos o de los espacios uniformes que es un diverso sentido que lo completo de Dedekind de la orden en la sección anterior). Esto significa el siguiente:

Una secuencia ( n del _{del x ) de números verdaderos se llama una secuencia de Cauchy si para cualquier ε  >  0 allí existe un N del número entero (posiblemente dependiendo de ε) tales que la distancia | n}   del _{del x ; −   m} del _{del x | es menos que el ε para todo el n y el m que es ambo mayor que el N . Es decir una secuencia es una secuencia de Cauchy si sigue habiendo su n} del _{del x de los elementos eventual viene y arbitrariamente cerca de uno a.}

Un de la secuencia ( n del _{del x ) converge al x del límite si para cualquier ε  >  0 allí existe un N del número entero (posiblemente dependiendo de ε) tales que la distancia | n}   del _{del x ; −   x | es menos que ε a condición de que el n es mayor que el N . Es decir una secuencia tiene x del límite si siguen habiendo sus elementos eventual vienen y arbitrariamente cerca del x .}

Es fácil ver que cada secuencia convergente es una secuencia de Cauchy. Un hecho importante sobre los números verdaderos es que el inverso es también verdad: el del

l cada secuencia de Cauchy de números verdaderos es convergente.

Es decir, los reals son completos.

Observar que los números racionales no son completos. Por ejemplo, la secuencia (1, 1.41421,…) es Cauchy pero no converge a un número racional. (En los números verdaderos, en cambio, converge a la raíz cuadrada de 2.)

La existencia de límites de secuencias de Cauchy es qué hace el trabajo del cálculo y es de gran uso práctico. La prueba numérica estándar para determinar si una secuencia tiene un límite es probar si es una secuencia de Cauchy, pues el límite no se sabe típicamente por adelantado.

Por ejemplo, la serie estándar de la función exponencial

$\backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^x\; =\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^\; \{\backslash \}\; infty\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n!\}$

convergen a un número verdadero porque para cada x las sumas

$\backslash \; sum\_\; \{n=N\}\; ^\; \{\}\; \backslash \; frac\; \{x^n\}\; \{n\; de\; M!\}$

puede ser hecho arbitrariamente pequeño eligiendo el N suficientemente grande. Esto prueba que la secuencia es Cauchy, así que sabemos que converge la secuencia incluso si el límite no se sabe por adelantado.

" El field" pedido completo;

Los números verdaderos se describen a menudo como " el field" pedido completo;, una frase que se puede interpretar de varias maneras.

Primero, una orden puede ser el enrejado-completo. Es fácil ver que ningún campo pedido puede ser enrejado-completo, porque no puede hacer ningún elemento más grande (dar cualquie z,   del elemento del z ; +  1 es más grande), así que éste no es el sentido se significa que.

Además, una orden puede ser el Dedekind-completo, según lo definido en los axiomas de la sección. El resultado de la unicidad en el extremo de esa sección justifica el usar del " de la palabra; the" en el " de la frase; terminar el field" pedido; cuando éste es el sentido del " complete" se significa eso. Este sentido de lo completo es el más estrechamente vinculado a la construcción de los reals de los cortes de Dedekind, esa construcción empieza desde entonces con un campo pedido (los números racionales) y después forma la Dedekind-terminación de ella de una manera estándar.

Estas dos nociones de lo completo no hacen caso de la estructura del campo. Sin embargo, un pidió a grupo que (en este caso, el grupo aditivo del campo) define una estructura del uniforme, y las estructuras uniformes tienen una noción de lo completo (topología) ; la descripción en lo completo de la sección antedicho es un caso especial. (Referimos a la noción de lo completo en espacios uniformes algo que la noción relacionada y más conocida para los espacios métricos puesto que la definición del espacio métrico confía en ya tener una caracterización de los números verdaderos.) No es verdad que el R es el campo pedido uniformemente completo del solamente, pero es el campo de Arquímedes del único uniformemente completo del, y de hecho uno oye a menudo el " de la frase; terminar el field" de Arquímedes; en vez de " terminar el field" pedido;. Puesto que puede ser probado que cualquier campo de Arquímedes uniformemente completo debe también ser Dedekind-completo (y viceversa, por supuesto), éste justifica usar " the" en el " de la frase; el field" de Arquímedes completo;. Este sentido de lo completo es el más estrechamente vinculado a la construcción de los reals de las secuencias de Cauchy (la construcción realizada adentro por completo en este artículo), puesto que comienza con un campo de Arquímedes (los números racionales) y las formas la terminación uniforme de él de una manera estándar.

Pero el uso original del " de la frase; terminar el field" de Arquímedes; estaba por el David Hilbert, que significó algo más inmóvil por él. Él significó que los números verdaderos forman el campo de Arquímedes más grande del del sentido que cada otro campo de Arquímedes es un subcampo del R . Así el R es " complete" en el sentido que nada más futuro se puede agregar a él sin la fabricación le no más de un campo de Arquímedes. Este sentido de lo completo es el más estrechamente vinculado a la construcción de los reals de los números surrealistas desde entonces que la construcción comienza con una clase apropiada que contenga cada campo pedido (los surreals) y después seleccione de él el subcampo de Arquímedes más grande.

Características avanzadas

Los reals son el no numerable; es decir, hay terminantemente números más verdaderos que los números naturales aunque ambos sistemas son el infinito. De hecho, la cardinalidad de los iguales de los reals que del sistema de los subconjuntos de los números naturales, y de la discusión diagonal del chantre indica que la cardinalidad del 3ultimo sistema es terminantemente más grande que la cardinalidad del N . Puesto que solamente un sistema contable de números verdaderos puede ser el algebraico, el casi todos los números verdaderos de es el trascendental. La no existencia de un subconjunto de los reals con cardinalidad terminantemente entre el de los números enteros y de los reals se conoce como la hipótesis de la serie continua. La hipótesis de la serie continua puede ni ser probada ni ser refutada; es la independiente de los axiomas de la teoría determinada .

Los números verdaderos forman un espacio métrico : la distancia entre el x y el y se define para ser el valor absoluto |   del x ; −   y |. En virtud de ser un pidió total fijado, él también llevan una topología de la orden; la topología que se presenta del métrico y la que está que se presenta de la orden son idénticas. Los reals son un espacio métrico separable Contractible (por lo tanto conectado el y simplemente conectado), de la dimensión 1, y son el por todas partes denso. Los números verdaderos son el localmente compacto pero no el compacto. Hay las varias características que los especifican únicamente; por ejemplo, las topologías todo ilimitadas, conectadas, y separables de la orden son necesario el homeomórfico a los reals.

Cada número verdadero no negativo tiene una raíz cuadrada en el R, y ningún número negativo hace. Esto demuestra que la orden en el R es determinada por su estructura algebraica. También, cada polinomio del grado impar admite por lo menos una raíz: estas dos características hacen el R el ejemplo primero de un campo cerrado verdadero . Probar esto es la primera mitad de una prueba del teorema fundamental de la álgebra .

Los reals llevan una medida canónica, la medida de Lebesgue, que es la medida de Haar en su estructura como un grupo topológico normalizó tales que el intervalo de unidad tiene medida 1.

El axioma del supremum de los reals refiere a los subconjuntos de los reals y es por lo tanto una declaración lógica second-order. No es posible caracterizar los reals con la lógica de primer orden solamente: el teorema de Löwenheim-Skolem implica que existe un subconjunto denso contable de los números verdaderos que satisfacen exactamente las mismas oraciones en la primera lógica de la orden que el verdadero se numera. ¡El sistema de Hyperreal numera satisface las mismas primeras oraciones de la orden que el R . Campos pedidos que satisfacen las mismas oraciones de primer orden que el R se llama los modelos no estándar del R . Esto es qué hace el trabajo del análisis no estándar ; probando una declaración de primer orden en un cierto modelo no estándar (cuál puede ser más fácil que probándola en el R ), sabemos que la misma declaración debe también ser verdad del R .

Generalizaciones y extensiones

Los números verdaderos se pueden generalizar y ampliar en varias diversas direcciones:
Los números complejos que contienen soluciones a todas las ecuaciones polinómicas y por lo tanto que son un campo algebraico cerrado desemejante de los números verdaderos. Sin embargo, los números complejos no son un campo pedido .
El sistema de numeración verdadera extendido Affinely agrega dos elementos +∞ y − ∞. Es un espacio del acuerdo. Es no más un campo, no incluso un grupo aditivo; todavía tiene una orden del total; por otra parte, es un enrejado completo .
La línea descriptiva verdadera agrega solamente un ∞ del valor. Es también un espacio compacto. Una vez más es no más un campo, no incluso un grupo aditivo. Sin embargo, permite la división de un elemento diferente a cero por cero.
La línea verdadera larga $\backslash \; aleph\_1^*\; de\; las\; gomas\; de\; junto\; copias\; +\; \backslash \; aleph\_1$ de la línea verdadera más un monopunto (aquí el $\backslash \; aleph\_1^*$ denota ordenar invertida del $\backslash \; aleph\_1$) para crear un sistema pedido que es " locally" a los números verdaderos, pero de alguna manera más de largo idéntico; por ejemplo, hay una encajadura orden-que preserva del $\backslash \; aleph\_1$ en la línea verdadera larga pero no en los números verdaderos. La línea verdadera larga es el sistema pedido más grande que es completo y localmente de Arquímedes. Como con los dos ejemplos anteriores, este sistema es no más un grupo del campo o del añadido.
Los campos pedidos que amplían los reals son los números de Hyperreal y los números surrealistas ambos ellos contienen el infinitesimal y números infinitamente grandes y no son así el de Arquímedes.
Los operadores del Uno mismo-adjoint en un espacio de Hilbert (por ejemplo, matrices complejas cuadradas del uno mismo-adjoint) generalizan los reals en muchos aspectos: pueden ser pedidos (ordenado sin embargo no no total), ellos son completa, todos sus valores propios son verdaderos y forman una álgebra asociativa verdadero. los operadores Positivo-definidos corresponden a los reals positivos y los operadores normales corresponden a los números complejos.

" Reals" en teoría determinada

En la teoría determinada, la teoría determinada descriptiva el espacio de Baire se utiliza específicamente como sustituto para los números verdaderos puesto que estes 3ultimo tienen algunas características topológicas (conexión) que sean una inconveniencia técnica. Los elementos del espacio de Baire se refieren como " reals".

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