Un del número verdadero un es definible de primer orden del en la lengua de la teoría determinada, sin los parámetros, si hay un φ del de la fórmula en la lengua de la teoría determinada, con una variable libre, tales que el un es el número verdadero único tales que φ del (a) se sostiene (en el universo de Von Neumann V).
Los propósitos de este artículo, tales reals serán pedidos simplemente los números definibles . Esto no se debe entender para ser terminología estándar.
Observar que esta definición no se puede expresar en la lengua de la teoría determinada sí mismo.
Hechos generales
Asumiendo forman un sistema, la forma definible de los números un campo que contiene todos los números verdaderos familiares tales como 0, 1, π, e, etcétera. Particularmente, este campo contiene todos los números nombrados en el artículo de los constantes matemáticos, y todos los números algébricos (y por lo tanto todos los números racionales . Sin embargo, la mayoría de los números verdaderos no son definibles: el determinado de todos los números definibles es el contable infinito (porque es el sistema de todas las fórmulas lógicas) mientras que el sistema de números verdaderos es el uncountably infinito (véase la discusión diagonal del chantre). Consecuentemente, el la mayoría de los números verdaderos de no tiene ninguna descripción (en el mismo sentido del " most" como “la mayoría de números verdaderos no ser racional ").
El campo de números definibles no es el completo; existen las secuencias convergentes de números definibles cuyo límite no sea definible (puesto que cada número verdadero es el límite de una secuencia de números racionales). Sin embargo, si la secuencia sí mismo es definible en el sentido que podemos especificar una sola fórmula para todos sus términos, después su límite será necesario un número definible.
Mientras que cada número computable es definible, el inverso no es verdad: las representaciones numéricas del problema que para, constantes de Chaitin, el sistema de la verdad de primera aritmética de la orden, y el 0# son ejemplos de los números que son definibles pero no computables. Se saben muchos otros tales números.
Uno puede también hablar de los números complejos complejos de los números definible que son definidos únicamente por una fórmula lógica. Un número complejo es definible si y solamente si su parte real y su parte imaginaria son definibles. Los números complejos definibles también forman un campo si forman un sistema.
El concepto relacionado de " standard" los números, que se pueden definir solamente dentro de un tiempo y de un espacio finitos, se utilizan para motivar la teoría determinada interna axiomático, y proporcionan una formulación realizable para el el número infinitesimal ilimitado de y. Las definiciones de la línea hiperactivo-verdadera dentro del análisis no estándar (el tema que se ocupa de tales números) incluyen de forma aplastante el sistema generalmente, no numerable de números verdaderos como subconjunto.
La noción no agota el " inequívoco described" números
No cada número que diríamos informal nos hemos descrito inequívoco, es definible en el sentido antedicho. Por ejemplo, si podemos enumerar todos tales números definibles por los números de Gödel de sus fórmulas de definición entonces podemos utilizar la discusión diagonal del chantre para encontrar un verdadero particular que no es definible de primer orden en la misma lengua.
Otras nociones del definability
La noción del definability tratada en este artículo se ha elegido sobre todo para la determinación, no considerando que es más útil o interesante que otras nociones. Aquí tratamos algunos otros: