El Negro-Scholes del término refiere a tres conceptos estrechamente vinculados:
El modelo Negro-Scholes es un modelo matemático del mercado para una equidad, en la cual el precio de equidad es un proceso estocástico .
El PDE Negro-Scholes es una ecuación diferencial parcial que (en el modelo) debe ser satisfecho por el precio de un derivado en la equidad.
La fórmula Negra-Scholes es el resultado obtenido aplicando el PDE Negro-Scholes al europeo puesto y las opciones de llamada.

El Roberto C. Merton era el primer para publicar un papel que ampliaba nuestra comprensión matemática del modelo de la tasación de las opciones y acuñó el " del término; Negro-Scholes" opciones que tasan el modelo, realzando el trabajo que fue publicado por el Fischer negro y el Myron Scholes . El papel primero fue publicado en el 1973 . La fundación para su investigación confió en el trabajo desarrollado por los eruditos tales como Louis Bachelier, A. James Boness, Sheen T. Thorp, y Paul Samuelson . La penetración fundamental de Negro-Scholes es que la opción está tasada implícito si se negocia la acción.

Merton y Scholes recibieron el Premio Nobel 1997 Del en la economía para esto y relacionaron el trabajo. Sin embargo inelegible para el premio debido a su muerte en 1995, negro fue mencionado como contribuidor por la academia sueca.

El precio del t del _{del S del instrumento subyacente sigue un movimiento browniano geométrico con el $constante\; \backslash \; MU$ de la deriva y el $de\; la\; volatilidad\; \backslash \; la\; sigma$: = \ MU S_t \, despegue + \ sigma S_t \, dW_t del dS_t del $de\; \backslash ,$ Es posible a la venta del cortocircuito la acción subyacente.
No hay oportunidades del arbitraje .
El comercio en la acción es continuo.
No hay costes de la transacción o los impuestos
Todas las seguridades son perfectamente divisibles (el e. es posible comprar 1/100o de una parte).
Es posible pedir prestado y prestar efectivo a un tipo Risk-free de interés constante.
La acción no paga un dividendo (véase abajo para que las extensiones manejen pagos de dividendo).}

El antedichos llevan a la fórmula siguiente para el precio de una opción de llamada europea con el K del precio de ejercicio en una acción que negocia actual en el S, es decir, la derecha del precio de comprar una parte de la acción en el K del precio después de años del T . El tipo de interés constante es el r, y la volatilidad común constante es $\backslash \; la\; sigma$.

$C\; (S,\; T)\; =\; S\; \backslash \; phi\; (d\_1)\; -\; Ke^\; \{-\; rT\}\; \backslash \; phi\; (d\_2)\; \backslash ,$ donde = \ frac {\ ln (S/K) + (R+ \ sigma^2/2) T} {\ sigma \ raíz cuadrada {T}} del $del$

l d_1 = \ frac del $del$

l d_2 {\ ln (S/K) + (r - \ sigma^2/2) T} {\ sigma \ raíz cuadrada {T}} = d_1 - \ sigma \ raíz cuadrada {T}.

Aquí el $\backslash \; Phi$ es la función de distribución acumulativa estándar del normal .

El precio de una opción puesta se puede computar de esto por el Poner-llama la paridad y la simplifica a

$P\; (S,\; T)\; =\; Ke^\; \{-\}\; \backslash \; phi\; (-\; d\_2)\; -\; S\; \backslash \; phi\; del\; rT\; (-\; d\_1).\; \backslash ,$

El los Griegos bajo modelo Negro-Scholes se calcula abajo:

Extensiones del modelo

El modelo antedicho se puede extender fácilmente para tener tarifas y volatilidades no-constantes (pero deterministas). El modelo se puede también utilizar para valorar opciones europeas en los instrumentos que pagan dividendos. En este caso, las soluciones de la forma cerrada están disponibles si el dividendo es una proporción sabida del precio de las acciones. Las opciones americanas y las opciones en la acción que paga un dividendo de efectivo sabido (en un futúro próximo, más realista que un dividendo proporcional) son más difíciles de valorar, y una opción de las técnicas de la solución están disponibles (por ejemplo los enrejados y las rejillas).

Instrumentos que pagan dividendos continuos de la producción

Que las opciones en índices (tales como el FTSE donde cada uno de 100 compañías constitutivas puede pagar un dividendo dos veces al año y tan allí es un pago casi cada día laboral), es razonable hagan la asunción de simplificaión que los dividendos están pagados continuamente, y que la cantidad del dividendo es proporcional al nivel del índice.

El pago de dividendo pagó durante el plazo '' t '' + '' despegue '' entonces se modela como qS_t del $del$

l \, despegue

para un cierto constante q (la producción de dividendo ).

Bajo esta formulación el precio arbitraje-libre implicado por el modelo Negro-Scholes se puede expresar para ser $C\; (S\_0\; del$

l, T) = e^ {- rT} (F \ phi (d_1) - K \ phi (d_2)) \,

donde ahora

$F\; =\; S\_0\; e^\; \{(r\; -\; q)\}\; \backslash ,\; de\; T$

es el precio delantero modificado que ocurre en el d ₁ de los términos y el d ₂: = \ frac {\ ln (F/K) + (\ sigma^2/2) T} {\ sigma \ raíz cuadrada {T}} del $del$

l d_1 $del$

l d_2 = d_1 - \ sigma \ raíz cuadrada {T}.

La misma fórmula se utiliza exactamente para tasar opciones en tarifas de divisas, salvo que ahora el q desempeña el papel del tipo de interés risk-free extranjero y el S es el tipo de cambio de punto. Éste es el Garman-Kohlhagen modelo (1983).

Instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos

Es también posible extender el marco Negro-Scholes a las opciones en los instrumentos que pagan dividendos proporcionales discretos. Esto es útil cuando la opción se pega en una sola acción.

Un modelo típico es asumir que un $\backslash \; delta$ de la proporción del precio de las acciones está pagado en el predeterminado t ₁ de las épocas, t ₂,…. El precio de la acción entonces se modela como ^ S_t = S_0 del $del$

l (1 - \ delta) {e^ de n (t)} {+ \ sigma W_t} del ut

donde está el número el n ( t ) de dividendos que han sido pagados por el t del tiempo.

El precio de una opción de llamada en tal acción está otra vez $C\; (S\_0\; del$

l, T) = e^ {- rT} (F \ phi (d_1) - K \ phi (d_2)) \,

donde ahora

$F\; =\; S\_0\; (1\; -\; \backslash \; delta)\; ^\; \{n\; (T)\}\; e^\; \{\}\; \backslash ,\; del\; rT$

es el precio delantero para el dividendo que paga la acción.

Negro-Scholes en la práctica

La sonrisa de la volatilidad

considera también:

la sonrisa de la volatilidad

Todos los parámetros en el modelo con excepción de la volatilidad - el tiempo a la madurez, a la huelga, a la tarifa risk-free, y al precio subyacente actual - son inequívoco observable. Además, bajo circunstancias normales el valor teórico de la opción es una función de aumento monotónica de la volatilidad. Esto significa que hay una relación una por entre el precio de opción y la volatilidad. Computando la volatilidad implicada para las opciones negociadas con diversas huelgas y madurez, podemos probar el modelo Negro-Scholes. Si el modelo Negro-Scholes llevado a cabo, entonces la volatilidad implicada para una acción particular sería igual para todas las huelgas y madurez. En la práctica, la superficie (el gráfico tridimensional de la volatilidad de la volatilidad implicada contra huelga y madurez) no es plana. La forma típica de la curva implicada de la volatilidad para una madurez dada depende del instrumento subyacente. Las equidades tienden a haber sesgado curvas: la volatilidad implicada es más alta para las huelgas bajas, y baja levemente para las altas huelgas. Las monedas tienden a tener curvas más simétricas, con el En--dinero más bajo implicado de la volatilidad, y volatilidades más altas en ambas alas. Las materias tienen a menudo el comportamiento reverso a las equidades, con una volatilidad implicada más alta para huelgas más altas.

A pesar de la existencia de la sonrisa de la volatilidad (y de la violación de el resto de asunciones del modelo Negro-Scholes), el Negro-Scholes PDE y la fórmula Negra-Scholes todavía se utilizan extensivamente en la práctica. Un acercamiento típico es mirar la superficie de la volatilidad como hecho sobre el mercado, y utiliza una volatilidad implicada de él en un modelo Negro-Scholes de la valuación. Esto se ha descrito como usar " el número incorrecto en la fórmula incorrecta para conseguir el price" correcto; 1999. Este acercamiento también da los valores usables para los cocientes del seto (los Griegos).

Incluso cuando se utilizan modelos más avanzados, los comerciantes prefieren pensar en términos de volatilidad mientras que permite que evalúen y que comparen opciones de diversa madurez, huelgas, y así sucesivamente.

Valoración de opciones en enlace

Negro-Scholes no puede ser aplicado directo a las seguridades en enlace debido a el problema de la tirar-a-igualdad . Pues el enlace alcanza su fecha de madurez, todos los precios implicaron con el enlace se saben, de tal modo disminuyendo su volatilidad, y el modelo Negro-Scholes simple no refleja este proceso. Una gran cantidad de extensiones a Negro-Scholes, comenzando con el modelo del negro, se han utilizado para ocuparse de este fenómeno.

Curva del tipo de interés

En la práctica, los tipos de interés no son constantes - varían por el tenor, dando una curva del tipo de interés que se pueda interpolar para escoger una tarifa apropiada para utilizar en la fórmula Negra-Scholes. Otra consideración es que los tipos de interés varían en un cierto plazo. Esta volatilidad puede hacer una contribución significativa al precio, especialmente de opciones long-dated.

Tarifa de la acción corta

No está libre de tomar a un la posición de la acción corta . Semejantemente, puede ser posible prestar hacia fuera una posición de la acción larga para un pequeño honorario. En cualquier caso, esto se puede tratar como dividendo continuo para los propósitos de una valuación Negra-Scholes.

Derivación de la fórmula

Derivación elemental

Dejar el S ₀ ser el pago corriente de la acción y del subyacentes S el precio cuando la opción se madura en el T del tiempo. Entonces el S ₀ se sabe, pero el S es una variable al azar . Asumir eso

$X\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; ln\; (S/S\_0)\; \backslash ,$

es una variable al azar normal con el uT del $del\; medio\; y\; el$ \backslash \; sigma^2\; T$de\; la\; variación\; .\; Sigue\; que\; es\; el\; medio\; del\; S$

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; se\; fue\; S\; \backslash \; derecho\; =\; S\_0\; e^\; \{\}\; \backslash ,\; delcuarto\; de\; galón$

para un cierto constante q (independiente del T ). Ahora una discusión simple del ninguno-arbitraje demuestra que es el valor futuro teórico de un derivado que paga una parte de la acción en el T del tiempo, y tan con el S de la rentabilidad,

$S\_0\; e^\; \{\}\; \backslash ,\; del\; rT$

donde está el tipo el r de interés risk-free. Esto sugiere el hacer del q de la identificación = el r con el fin de derivados de la tasación. Definir el valor teórico de un derivado como el valor actual de la rentabilidad prevista en este sentido. Para una opción de llamada con el K del precio de ejercicio esta expectativa descontada (usar las probabilidades riesgo-neutrales ) está

$C\; (S\_0,\; T)\; =\; e^\; \{-\}\; del\; rT\; \backslash \; el\; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; se\; fue\; \backslash \; máximo\; (S\; -\; K,\; 0)\; \backslash \; derecho.\; \backslash ,$

La derivación de la fórmula para el C es facilitada por el lema siguiente : Dejar el Z ser una variable al azar estándar del normal y dejar el b ser un amplió el número verdadero . Definir

$Z^+(b)\; =\; \backslash \; comienzan\; \{casos\}\; Z\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; Z>b\; \backslash \; \backslash \; -\; \backslash \; infty\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\; no\}\; \backslash \; extremo\; \{casos\}.$

Si el un es un número verdadero positivo, entonces

$\backslash \; mathbb\; \{E\}\; \backslash \; se\; fue\; =\; e^\; \{a^2/2\}\; \backslash \; phi\; (-\; b\; +\; a)$

donde está la función el $\backslash \; Phi$ de distribución acumulativa normal estándar . En el b del caso especial = − ∞, tenemos el $del$

l \ el mathbb {E} \ se fueron = el e^ {a^2/2}.

Ahora dejar = \ frac {X - uT} {\ sigma \ raíz cuadrada {T}} del $del$

l Z

y utilizar el corolario al lema para verificar la declaración sobre alrededor el medio del S . Definir

$S^+\; =\; \backslash \; comienzan\; \{casos\}\; S\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; S>K\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\; no\}\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

$X^+\; =\; \backslash \; ln\; (S^+/S\_0)\; \backslash ,$

y observar eso $del$

l \ frac {X^+ - uT} {\ sigma \ raíz cuadrada {T}} = Z^+(b)

para un cierto b . Definir

$K^+\; =\; \backslash \; comienzan\; \{casos\}\; K\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\}\; S>K\; \backslash \; \backslash \; 0\; y\; \backslash \; mbox\; \{si\; no\}\; \backslash \; extremo\; \{casos\}$

y observar eso $del$

l \ máximo (S - K, 0) = S^+ - K^+. \,

El resto del cálculo es directo.

Aunque la derivación elemental lleve al resultado correcto, es incompleta pues no puede explicar, porqué la fórmula refiere al tipo de interés riskfree mientras que una tasa de rendimiento más alta se espera de inversiones aventuradas. Esta limitación se puede superar usar la medida de probabilidad riesgo-neutral, pero el concepto de riesgo-neutralidad y de la teoría relacionada está lejos de elemental.

PDE basó la derivación

En esta sección derivamos la ecuación diferencial parcial (PDE) en el corazón del modelo Negro-Scholes vía una discusión de la delta-protección del ninguno-arbitraje o; para más en la lógica subyacente, ver la discusión en la tasación racional .

La presentación dada aquí es el informal y no nos preocupamos de la validez de la mudanza entre despegue del que significa un pequeño incremento a tiempo y despegue del como derivado .

El PDE Negro-Scholes

Según las asunciones modelo arriba, asumimos que el que es la base de (típicamente la acción) sigue un movimiento browniano geométrico . Es decir, = \ MU S_t \, despegue + \ sigma S_t \, dW_t del dS_t del $del$

l \,

donde está browniano el t del _{del W .}

Ahora dejar el V ser una cierta clase de opción en el S - el V es matemáticamente una función del S y del t . El V ( S, t ) es el valor de la opción en el t del tiempo si el precio de la acción subyacente en el t del tiempo es el S . El valor de la opción que la opción madura se sabe en ese entonces. Para determinar su valor en un rato anterior necesitamos saber el valor se desarrolla mientras que vamos al revés a tiempo. Por el lema de Itō para dos variables tenemos

$dV\; =\; \backslash \; ido\; (\backslash \; MU\; S\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \; S\; parcial\}\; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; sigma^2\; S^2\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; V\}\; \{\backslash \; S^2\; parcial\}\; \backslash \; derecho)\; despegue\; +\; \backslash \; sigma\; S\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; S\; dW.$

Ahora considerar una estrategia comercial debajo cuál lleva a cabo una opción y negocia continuamente en el común para sostener − ∂ V /∂ Partes del S . En el t del tiempo, el valor de estas tenencias estará $\backslash \; pi\; =\; V\; -\; S\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; del$

l {\ S parcial}.

La composición de esta lista, llamada el delta-cerca la lista de, variará de tiempo-paso al tiempo-paso. Dejar el R denotar el beneficio o la pérdida acumulado de seguir esta estrategia. Entonces durante el plazo '' t '' + '' despegue '', el beneficio o la pérdida instantáneo es

$el\; Dr.\; =\; dV\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \}\; parcial\; \backslash ,\; de\; S\; dS.$

Substituyendo en las ecuaciones arriba conseguimos el Dr. = \ del $del$

l (\ frac {\ V parcial} {\ t parcial} + \ frac {1} {2} \ sigma^2 S^2 \ frac {\ partial^2 V} {\ S^2 parcial} \ derecho) despegue dejado.

Esta ecuación no contiene ningún término del dW del . Es decir, es enteramente sin riesgo (el delta neutral). Así, dado que no hay arbitraje, la tasa de rendimiento en esta lista debe ser igual a la tasa de rendimiento en cualquier otro instrumento sin riesgo. Ahora si se asume que la tasa de rendimiento risk-free es el r que debemos tener durante el plazo '' t '' + '' despegue '' $r\; \backslash \; pi\; del$

l \, despegue = el Dr. = \ (\ frac {\ V parcial} {\ t parcial} + \ frac {1} {2} \ sigma^2 S^2 \ frac {\ partial^2 V} {\ S^2 parcial} \ derecho) despegue dejado.

Si ahora substituimos adentro para el $\backslash \; pi$ y la divisoria a través por despegue del obtenemos el PDE Negro-Scholes :

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \; t\; parcial\}\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; sigma^2\; S^2\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; V\}\; \{\backslash \; S^2\; parcial\}\; +\; rS\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; V\; parcial\}\; \{\backslash \; S\; parcial\}\; -\; rv\; =\; 0.$

Ésta es la ley de la evolución del valor de la opción. Con las asunciones del modelo Negro-Scholes, esta ecuación se sostiene siempre que el V tenga dos derivados con respecto al S y uno con respecto al t .

Otras derivaciones del PDE

Sobre nosotros utilizamos el método del arbitraje - tasación libre (" " de la delta-protección ;) para derivar los precios de una opción de gobierno de PDE dados el modelo Negro-Scholes. Es también posible utilizar una discusión de la riesgo-neutralidad . Este 3ultimo método da el precio como la expectativa de la rentabilidad de la opción bajo medida de probabilidad particular, llamada el la medida Riesgo-neutral, que diferencia de la medida del mundo real.

Solución del PDE Negro-Scholes

Ahora demostramos cómo conseguir del PDE Negro-Scholes general a una valuación específica para una opción. Considerar como ejemplo el precio Negro-Scholes de una opción de llamada en una acción que negocia actual en el S del precio. La opción tiene un precio de ejercicio, o precio de huelga, del K, es decir la derecha de comprar una parte en el K del precio, en los años del T en el futuro. El tipo de interés constante es el r y la volatilidad común constante es $\backslash \; la\; sigma$. Ahora, para una opción de llamada el PDE antedicho tiene condiciones de límite $V\; del$

l (0, t) = 0 \, para todo el t $V\; del$

l (S, t) \ sim S \, como $S\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\; \backslash ,$ $V\; del$

l (S, T) = \ máximo (S - K, 0). \,

La condición pasada da el valor de la opción en ese entonces que la opción madura. La solución del PDE da el valor de la opción en cualquier hora anterior. Para solucionar el PDE transformamos la ecuación en una ecuación de la difusión que se pueda solucionar usar métodos estándar. Con este fin introducimos la transformación cambiar-de-variable = \ ln del $del$

l x (S/K) + (r - \ sigma^2/2) (T - t) \, $\backslash \; tau\; =\; T\; -\; t\; \backslash ,\; del$

l $del$

l u = Ve^ {r (T - t)}. \,

Entonces el PDE Negro-Scholes se convierte en una ecuación de la difusión

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; \{\backslash \; parcial\; \backslash \; tau\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; sigma^2\}\; \{2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\; u\}\; \{\backslash \; x^2\; parcial\}.$

El $terminalV\; de\; la\; condición\; (S,\; T)\; =\; \backslash \; (S\; -\; K,\; 0)$ máximo ahora se convierte en una condición inicial $u\; (x,\; 0)\; del$

l = u_0 (x) \ K equivalente \ máxima (e^x - 1. \,

Usar el método estándar para solucionar una ecuación de la difusión tenemos = \ frac {1} {\ sigma \ raíz cuadrada {2 \ pi \ tau}} \ e^ u_0 (y) del ^ del int_ {- \ infty} {\ infty} del $u\; (,\; \backslash \; tau\; del$

l de x) {- (x - y)^2/(2 \ sigma^2 \ tau)}\, dy.

Después de una cierta álgebra obtenemos

$u\; (,\; \backslash \; tau\; de\; x)\; =\; Ke^\; \{x\}\; sigma^2\; \backslash \; tau/2\; \backslash \; phi\; +\; \backslash \; (d\_1)\; -\; K\; \backslash \; phi\; (d\_2)$

donde = \ frac {x + \ sigma^2 \ tau} del $del$

l d_1 {\ sigma \ raíz cuadrada {\ tau}} = \ frac {x} {\ sigma \ raíz cuadrada {\ tau}} del $del$

l d_2

y el $\backslash \; Phi$ es la función de distribución acumulativa estándar del normal .

Substituyendo para el u, el x, y el $\backslash \; tau$, obtenemos el valor de una opción de llamada en términos de parámetros Negros-Scholes:

$V\; (S,\; t)\; =\; S\; \backslash \; phi\; (d\_1)\; -\; Ke^\; \{-\; r\; (T\; -\; t)\}\; \backslash \; phi\; (d\_2)\; \backslash ,$

donde = \ frac {\ ln (S/K) + (R+ \ sigma^2/2) (T - t)} {\ sigma \ raíz cuadrada {T - t}} del $del$

l d_1 $del$

l d_2 = d_1 - \ sigma \ raíz cuadrada {T - t}.

La fórmula para el precio de una opción puesta sigue de esto vía Poner-llama la paridad .

Observaciones en la notación

Advierten el lector de la notación contraria que aparece en este artículo. Así el S de la letra se utiliza como:

l (1) un constante que denota el pago corriente del
común (2) un verdadero variable que denota el precio en un
arbitrario del tiempo (3) una variable al azar que denota el precio en el
de la madurez (4) un proceso estocástico que denota el precio en un rato arbitrario

También se utiliza en el significado de (4) con un rato de denotación suscrito, pero aquí el subíndice es simplemente una mnemónica.

En los derivados parciales, las letras en los numeradores y los denominadores están, por supuesto, las variables verdaderas, y los derivados parciales ellos mismos son, inicialmente, funciones verdaderas de variables verdaderas. Pero después de la substitución de un proceso estocástico para una de las discusiones se convierten en procesos estocásticos.

El PDE Negro-Scholes es, inicialmente, una declaración sobre el S del proceso estocástico, pero cuando el S se reinterpreta como variable verdadera, se convierte en un PDE ordinario. Es solamente entonces que podemos preguntar por su solución.

El u del parámetro que aparece en el modelo del discreto-dividendo y la derivación elemental no es igual que el $\backslash \; MU$ del parámetro que aparece a otra parte en el artículo. Para la relación entre ellos ver el movimiento browniano geométrico .

Ver también

Modelo negro, una variante del modelo Negro-Scholes de la tasación de la opción.
Las opciones binomiales modelan, que es un método numérico discreto para los precios de opción calculadores.
Modelo de la opción de Monte Carlo, usar la simulación en la valuación de opciones con las características complicadas.
Matemáticas financieras, que contiene una lista de artículos relacionados.
Ecuación del calor, a la cual el PDE Negro-Scholes puede ser transformado.
Análisis verdadero de las opciones
Bajíos negros, un pedazo financiero del arte

.

Zenithic

Paskahousu

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