En la álgebra linear, el análisis funcional y las áreas relacionadas de las matemáticas, una norma es una función que asigna una longitud positiva del o el tamaño del a todos los vectores en un espacio de vector, con excepción del vector cero. Un seminorm (o el pseudonorm ) por una parte se permite asignar la longitud cero a algunos vectores diferentes a cero.

Un ejemplo simple es el de 2 dimensiones R 2 del espacio euclidiano equipado de la norma euclidiana . Elementos en este espacio de vector (e., (3, 7)) se dibujan generalmente como flechas en un sistema coordinado de 2 dimensiones de cartesiano que comienza en el origen (0, 0). La norma euclidiana asigna a cada vector la longitud de su flecha. Debido a esto, la norma euclidiana se conoce a menudo como la magnitud .

Un espacio de vector con una norma se llama un espacio de vector de Normed . Semejantemente, un espacio de vector con un seminorm se llama un espacio de vector seminormed .

Definición

Dado un V del espacio de vector sobre un F del subcampo de los números complejos tal como el complejo se numera o el los números racionales verdaderos de o un seminorm del en el V de es un p de la función : R DEL → DEL V ; p ( x ) del → del x con las características siguientes:

Para todo el un en el F y todo el u y el v en el V, p ( un v de ) = | un | p ( v ), (homogeneidad positiva del o capacidad de conversión a escala positiva del )

  • p ( u ) del ≤ del p ( u + v ) + p ( v ) (desigualdad del triángulo o subaditividad ).

    Una consecuencia simple de estos dos axiomas, homogeneidad positiva y la desigualdad del triángulo, es el p ( 0 ) = 0 y así el ≥ 0 (positividad del p ( v ) del del ).

    Una norma es un seminorm del con el adicional p ( v ) = 0 del de la característica si y solamente si el v es el vector (determinación positiva cero del ).

    Una norma se denota generalmente || v ||, y a veces | v |, en vez del p ( v ).

    Aunque cada espacio de vector seminormed (e., con el seminorm trivial en la sección de los ejemplos abajo), no puede normed. Cada V del espacio de vector con el p ( v ) del seminorm induce un normed V/W del espacio, llamado el espacio de cociente, donde está el subespacio el W del V que consiste en todo el v de los vectores en el V con el p ( v ) = 0. La norma inducida en el V/W se da cerca || W + v || = el p ( v ) y está claramente bien definido.

    Un espacio de vector topológico se llama el normable ( seminormable) si la topología del espacio se puede inducir por una norma (seminorm).

    Ejemplos

    Todas las normas son seminorms.
    El seminorm trivial del, con el p ( x ) = 0 para todo el x en el V .
    El valor absoluto es una norma en los números verdaderos .
    Cada linear f de la forma en un espacio de vector define un seminorm por el → del x | f ( x )|.
  • Norma euclidiana

    En el n , la noción intuitiva del del R de la longitud del x del vector = '' x '' 2,…, el '' n '' de '' x '' es capturado por el del de la fórmula \|\ mathbf {de x} \| : = \ raíz cuadrada {x_1^2 + \ cdots + x_n^2}. Esto da la distancia ordinaria del origen al x, una consecuencia del punto del teorema pitagórico . La norma euclidiana es en gran medida la norma más de uso general en el n del del R, pero hay otras normas en este espacio de vector como será demostrado abajo.

    En el n del del C la norma más común es del \|\ mathbf {de z} \| :

    = \ raíz cuadrada Norma del taxi o norma de Manhattan

    Geometría principal del taxi del artículo del

    \|x \|_1: = \ ^ del sum_ {i=1} {n} |x_i|. El nombre se relaciona con la distancia que un taxi tiene que conducir en una rejilla rectangular de la calle para conseguir del origen al x del punto.

    El sistema de los vectores cuya 1 norma es un constante dado forma la superficie de un polytope de la cruz.

    p - norma

    Dejar el p ≥1 ser un número verdadero. del \|x \|_p: = \ dejado (\ ^n del sum_ {i=1} |x_i|^p \) ^ \ frac correctos {1} {p}. Observar que para el p = 1 nosotros consiguen la norma del taxi y para el p = 2 nosotros consigan la norma euclidiana. Ver también espacio de
    '' del '' p '' '' L.

    Norma del infinito o norma del máximo

    Norma máxima principal del artículo del

    \|x \|_ \ infty: = \ máximo \ ido (|x_1|, \ ldots,|x_n| \ derecho).

    El sistema de los vectores cuya ∞-norma es un constante dado forma la superficie de un Hypercube .

    Norma cero

    En el aprendizaje de máquina y la literatura de la optimización, uno encuentra a menudo referencia a la norma cero. La norma cero del x se define como el \ lim_ {p \ del rightarrow 0} \|x \|_p^p, donde \|x \|_p es el p - norma definida arriba. Si definimos \ \ stackrel de 0^0 {\ mathrm {def}} {=} \ 0 entonces podemos escribir la norma cero como ^n x_i^0 del \ del sum_ {i=1}. Sigue que la norma cero del x es simplemente el número de elementos diferentes a cero del x . A pesar de su nombre, la norma cero es el no a la norma verdadera; particularmente, no es homogénea positivo. Tal norma se puede definir sobre campos arbitrarios (además de los campos de números complejos). En el contexto de la teoría de información, se llama a menudo la distancia de Hamming en el caso GF (2) campo de 2 elementos de .

    Otras normas

    Otras normas en el n
    del del R pueden ser construidas combinando el antedicho; por ejemplo del \|x \| : = 2|x_1| + \ raíz cuadrada {3|x_2|^2 + \ máximo (|x_3|, 2|x_4|) ^2} es una norma en el R 4.

    Para cualquier norma y cualquier linear A de la transformación bijective podemos definir una nueva norma del x, igual al del \|Hacha \|.o, con el A una rotación por 45° y un escalamiento conveniente, éste cambia la norma del taxi en la norma máxima.o, cada A aplicado a la norma del taxi, hasta la inversión y el intercambio de hachas, da una diversa bola de unidad: un paralelogramo de una forma, de un tamaño y de una orientación particulares. En 3D esto es similar pero diferente para la 1 norma (octaedros y la norma máxima (prismas con la base del paralelogramo).

    Todas las fórmulas antedichas también rinden normas en el n del del C sin la modificación.

    Caso dimensional infinito

    La generalización de las normas antedichas a un número infinito de componentes lleva a los espacios de
    '' del '' p '' '' L con el del de las normas \|x \|= \ dejado del _p (\ sum_ {i \ en \ mathbb N}|x_i|^p \) correcto del ^ {\ frac1p} respectivamente \|f \|= \ dejado del _ {p, X} (\ int_X|f (x)|^p \, \ dx del mathrm \) ^ correcto {\ frac1p} (para el complejo-valorado de las secuencias x respectivamente funciona el f definido en X \ subconjunto \ el mathbb R), que puede ser generalizada más a fondo (véase la medida de Haar).

    Cualquier producto interno induce de una manera natural el de la norma \|x \| : = \ raíz cuadrada {\ langle x, x \ rangle}.

    Otros ejemplos de los espacios de vector normed dimensionales infinitos se pueden encontrar en el artículo del espacio de Banach .

    Características

    El concepto del círculo de unidad (el sistema de todos los vectores de la norma 1) es diferente en diversas normas: para la 1 norma el círculo de unidad en el R 2 es un romboide, porque la norma 2 (norma euclidiana) es el círculo bien conocido de la unidad, mientras que para la norma del infinito es un cuadrado . Para cualquier p - norma es un Superellipse (con las hachas congruentes). Ver la ilustración de acompañamiento.

    En términos de espacio de vector, el seminorm define una topología en el espacio, y esto es una topología de Hausdorff exacto cuando el seminorm puede distinguir entre los vectores distintos, que es otra vez equivalente al seminorm que es una norma.

    Dos normas ||•||α y ||•||β en un V del espacio de vector se llaman el equivalente si existen el positivo C de los números verdaderos y el D tales que el C del \|x \|_ \ alfa \ leq \|x \|_ \ beta \ leq D \|x \|_ \ alpha para todo el x en el V . En un espacio de vector finito-dimensional todas las normas son equivalentes. Por ejemplo, los l_1, los l_2, y las normas son todas del l_ \ infty equivalentes en el \ el mathbb {R} ^n: del \|x \|_2 \ le \|x \|_1 \ le \ raíz cuadrada {de n} \|x \| del
    de _2 \|x \|_ \ infty \ le \|x \|_2 \ le \ raíz cuadrada {de n} \|x \| _ \ infty \|x \|_ \ infty \ le \|x \|_1 \ le n \|x \|_ \ infty

    Las normas equivalentes definen las mismas nociones de la continuidad y la convergencia y para muchos propósitos no necesita ser distinguida. Para ser más exacto la estructura uniforme definida por normas equivalentes en el espacio de vector es el uniformemente isomorfo.

    Cada (semi) - norma es una función sublineal, que implica que cada norma es una función convexa . Consecuentemente, encontrar un grado óptimo global de una función objetiva norma-basada es a menudo manejable.

    Dado una familia finita del i del del p de los seminorms en un espacio de vector el p del de la suma (x): = \ p_i del ^n del sum_ {i=0} (x) está otra vez un seminorm.

    Para cualquier p de la norma en un V del espacio de vector, tenemos eso para todo el V del ∈ del u y del v : ≥ del
    p ( v del
    del ± del u ) | − p ( v ) de p ( u ) |

    Para las normas lp, tenemos del |x^ \ y superior|\ le \| x \|_p \|y \|+ \ frac {1} {q} =1 del _q \ del qquad \ del frac {1} {p} Un caso especial de la característica antedicha es la desigualdad de Cauchy-Schwarz: etiquetas, y la plantilla abajo.

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