En las matemáticas, una norma de la matriz del es una extensión natural de la noción de una norma del vector a las matrices .

Características de la norma de la matriz

En qué sigue, K denotará el campo verdadero o los números complejos consideran el K^ del espacio {m \ épocas n} de todas las matrices con filas de m y de las columnas de n con las entradas en K.

Una norma de la matriz en el K^ {m \ épocas n} satisface todas las características de las normas del vector. Es decir, si \|A \| es la norma de la matriz A, entonces
del

\|A \|\ GE 0 con igualdad si y solamente si A=0
del

\|\ alfa A \|=|\ alfa| \|A \| para todo el \ alpha en K y todas las matrices A en el K^ {m \ épocas n}
del

\|A+B \| \ le \|A \|+ \|B \| para todas las matrices A y B en el K^ {m \ épocas n}.

Además, algunas normas de la matriz definidas en el n - por matrices del n (pero no todas tales normas) satisfacer uno o más de las condiciones siguientes que se relacionan con el hecho de que las matrices son más que apenas vectores:
del

\|AB \| \ le \|A \|\|B \|
\|A \|= \|A^* \| donde está la conjugación A^* transportan de A (o el transporta simplemente, para las matrices verdaderas)

Una norma de la matriz que satisface la primera característica adicional se llama una norma secundario-multiplicativa del . el determinado de todo el n - por matrices del n, junto con una norma tanmultiplicativa, está un ejemplo de una álgebra de Banach.

(En alguno reserva la norma de la matriz del de la terminología se utiliza solamente para esas normas que sean secundario-multiplicativas.)

Norma inducida

Si las normas del vector en el n del del m y del K del del K se dan (el K es campo los números complejos verdaderos de o, después uno define la norma inducida correspondiente o la norma del operador en el espacio del m - por matrices del n como los máximos siguientes: del \|A \|= \ máximo \ {\|Hacha \| : x \ en K^n \ mbox {con} \|x \|\ le 1 \} = del de \ máximo \ {\|Hacha \| : x \ en K^n \ mbox {con} \|x \| = 1 \} = del
de \ máximo \ haber ido \ {\ frac {\|Hacha \|} {\|x \|}: x \ en K^n \ el mbox {con} x \ ne 0 \ derecho \}.

Si el m = el n y uno utiliza la misma norma en el dominio y la gama, después la norma inducida del operador es una norma secundario-multiplicativa de la matriz.

Por ejemplo, la norma del operador que corresponde al '' p '' - la norma para los vectores es: el del

l \ se fue \| A \ derecho \| _p = \ máximo \ límite _ {x \} \ frac del ne 0 {\ se fue \| Un x \ derecho \| _p} {\ se fue \| x \ derecho \| _p}.

En el caso de p=1 y del p= \ infty, las normas se pueden computar como: el del

l \ se fue \| A \ derecho \| _1 = \ _ máximo \ de los límites {1 \ leq j \ leq n} \ ^m del _ de la suma {i=1} | a_ {ij} | el del

l \ se fue \| A \ derecho \| _ \ infty = \ _ máximo \ de los límites {1 \ leq i \ leq m} \ ^n del _ de la suma {j=1} | a_ {ij} | .

Éstos son diferentes del p - normas de Schatten para las matrices, que también se denotan generalmente por el \ se fue \| A \ derecho \| _p.

En el caso especial del p = 2 (la norma euclidiana ) y del m = el n (matrices cuadradas), la norma inducida de la matriz es la norma espectral del . La norma espectral de un A de la matriz es el valor singular más grande del A o de la raíz cuadrada del valor propio más grande Positivo-semidefinite A del A * de la matriz : el del \ se fue \| A \ derecho \| _2= \ raíz cuadrada {\ lambda_ {\ mbox {máximo}} (A^* A)} donde el A * denota la conjugación transportar del A .

Cualquier norma inducida satisface el del de la desigualdad \ se fue \| A \ derecho \| \ GE \ rho (A), donde ρ ( A ) es el radio espectral A . De hecho, resulta ese ρ ( A ) es el infimum de todas las normas inducidas del A .

Además, tenemos del
del
el \ lim_ {r \ rarr \} infty \|A^r \|= del ^ {1/r} \ rho (A).

" Entrywise" normas

Estas normas del vector tratan una matriz como un m \ un vector de las épocas n, y utilizan una de las normas familiares del vector.

Por ejemplo, usar el p - norma para los vectores, conseguimos: del

l \ Vert A \ Vert_ {p} = \ ^m grande (\ del sum_ {i=1} \ ^n del sum_ {j=1} |a_ {ij}|^p \) ^ grande {1/p}. \,

Nota: Las normas de Entrywise p no deben ser confundidas con normas inducidas de p.

Norma de Frobenius

El p = 2, éste se pide la norma de Frobenius del o la norma de Hilbert-Schmidt del, aunque el 3ultimo término es a menudo reservado para los operadores en el espacio de Hilbert . Esta norma se puede definir de varias maneras:

\|A \|_F^2= \ ^m del sum_ {i=1} \ ^n del sum_ {j=1} |a_ {ij}|^2= \ operatorname {rastro} (A^ \ ast {} A)= \ ^ del sum_ {i=1} {\ minuto \ {, \, n de m \}} \ sigma_ {i} ^2

donde el A * denota la conjugación transportar del A, &sigma del ; i son los valores singulares A, y se utiliza la función del rastro. La norma de Frobenius es muy similar a la norma euclidiana en el n del del K y viene de un producto interno en el espacio de todas las matrices.

La norma de Frobenius es submultiplicative y es muy útil para la álgebra linear numérica . Esta norma es a menudo más fácil de computar que normas inducidas.

Norma del rastro

La norma del rastro del se define como del \|A \|_ {tr}

\ operatorname {rastro} (\ raíz cuadrada {A^*A}) \ sum_ {i1} ^ {\ minuto \ {, \, n de m \}} \ sigma_ {i}.

Claramente, porque todo el A \ en K^ {m \ épocas n} tenemos \|A \|_ {} \ GE del tr \|A \|_ {F}.

Norma máxima

La norma máxima se define como \|A \|_ {máximo} = \ máximo \

Normas constantes

Un de la norma de la matriz \| \ cdot \|el _ {ab} en el K^ {m \ épocas n} se llama constante con un de la norma del vector \| \ cdot \|_ {a} en K^n y un de la norma del vector \| \ cdot \|_ {b} en K^m si: del \|Hacha \|_b \ leq \|A \|_ {del ab} \|x \|_a para todo el A \ en K^ {m \ épocas n}, x \ en K^n. Todas las normas inducidas son constantes por definición.

Equivalencia de normas

Para cuaesquiera dos normas del vector ||· ||α y ||· ||β, tenemos el r del

l \ se fue \|A \ derecho \|el _ \ la alfa \ el leq \ se fueron \|A \ derecho \|el _ \ beta \ el leq s \ se fueron \|A \ derecho \|_ \ alpha

para un cierto r de los números positivos y el s, para todo el A de las matrices en el K^ {m \ épocas n} . Es decir son las normas equivalentes del ; inducen la misma topología en el K^ {m \ épocas n} .

Por otra parte, cuando A \ en \ ^ del mathbb {R} {n \ épocas n} , entonces para cualquie norma del vector ||· ||, existe un único k del número positivo tales que el k||A|| es norma (submultiplicative) de la matriz de a.

Un de la norma de la matriz ||· ||p reputa el mínimo si existe ningún otro de la norma de la matriz ||· || satisfying de q ||· ||q≤ ||· ||p para todo el ||· ||q .

Ejemplos de la equivalencia de la norma

Para el A de la matriz \ en \ ^ del mathbb {R} {m \ épocas n} el siguiente 1 del del asimiento de las desigualdades, 2 :
del

\|A \|_2 \ le \|A \|_F \ le \ raíz cuadrada {de n} \|A \|_2
\|A \|_ {máximo} \ le \|A \|_2 \ le \ raíz cuadrada {del manganeso} \|A \|_ {máximo}
\ frac {1} {\ raíz cuadrada {n}} \|A \|_ \ infty \ le \|A \|_2 \ le \ raíz cuadrada {de m} \|A \|_ \ infty
\ frac {1} {\ raíz cuadrada {m}} \|A \|_1 \ le \|A \|_2 \ le \ raíz cuadrada {de n} \|A \|_1
\|A \|_2 \ le \ raíz cuadrada {\|A \|_1 \|A \|_ \} infty

.

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