El concepto de un que normaliza constante se presenta en la teoría de las probabilidades y una variedad de otras áreas de las matemáticas .

Definición y ejemplos

En la teoría de las probabilidades, un que normaliza constante es un constante por el cual una función por todas partes no negativa debe ser multiplicada para que el área bajo su gráfico sea 1, es decir, hacerle una función de densidad de probabilidad o una función de masa de probabilidad . Por ejemplo, tenemos

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; dx=\; \backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash \; pi\; \backslash ,\},$

de modo que $del$

l \ e^ del varphi (x) = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {2 \ pi \,}} {- x^2/2}

es una función de densidad de probabilidad. Ésta es la densidad estándar de distribución normal. (el estándar, en este caso, significa que el valor previsto es 0 y la variación es 1.)

Semejantemente, $del$

l \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ frac {\ lambda^n} {n!}=e^ \ lambda,

y por lo tanto $f\; del$

l (n)= \ frac ^ del ^ noreste {\ lambda {- \ lambda}} {n!}

es una función de masa de probabilidad en el sistema de todos los números enteros no negativos. Ésta es la función de masa de probabilidad de la distribución de Poisson con &lambda del valor previsto;.

Observar que si la función de densidad de probabilidad es una función de varios parámetros, ser tan también su constante de normalización. La normalización parametrised constante para la distribución de Boltzmann desempeña un papel fundamental en los mecánicos estadísticos . En ese contexto, el constante de normalización se llama la función de partición .

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes dice que la medida de probabilidad posterior es proporcional al producto de la medida de probabilidad anterior y de la función de probabilidad . El proporcional a implica que uno debe multiplicarse o dividir por un constante de normalización para asignar la medida 1 al espacio entero, es decir, para conseguir una medida de probabilidad. En un caso discreto simple tenemos $P\; del$

l (H_0|D) = \ frac {P (D|H_0) P (H_0)}{P (D)}

donde está la probabilidad P (H₀) anterior que la hipótesis es verdad; P (D|H₀) es la probabilidad condicional de los datos dado que la hipótesis es verdad, pero dado que los datos están sabidos la es la probabilidad de la hipótesis (o de sus parámetros) dados los datos; P (H₀|D) es la probabilidad posterior que la hipótesis es verdad dada los datos. P (D) debe ser la probabilidad de presentar los datos, pero en sus los propios es difícil de calcular, así que una manera alternativa de describir esta relación está como una de la proporcionalidad: $P\; del$

l (H_0|D) \ sim P (D|H_0) P (H_0) .

Desde P (H|D) es una probabilidad, la suma sobre (mutuamente - hipótesis todo posibles de la exclusiva) debe ser 1, llevando a la conclusión eso $P\; del$

l (H_0|D) = \ frac {P (D|H_0) P (H_0)}{\ sum_i P (D|H_i) P (H_i)}.

En este caso, el recíproco del valor $P\; del$

l (D)= \ sum_i P (D|H_i) P () \; de H_i

es el que normaliza constante. Puede ser extendido contable de muchas hipótesis uncountably a muchos substituyendo la suma por un integral.

aplicaciones No-de probabilidad

Los polinomios de Legendre son caracterizados por la ortogonalidad con respecto a la medida uniforme en el intervalo 1, 1 y el hecho de que son normalizados de modo que su valor en 1 sea 1. El constante por cuál multiplica un polinomio para que su valor en 1 sea 1 es un constante de normalización.

Las funciones ortonormales se normalizan tales que, \, del f_i del $\backslash \; del\; langle\; del\; =\; \backslash ,\; \backslash \; delta\_\; \{i,\; j\}\; del\; f\_j\; \backslash \; del\; rangle$ con respecto a cierto producto interno < f,   g >.

El 1/&radic constante; 2 se utiliza para establecer el garrote y el sinh de las funciones hiperbólicas de las longitudes de los lados adyacentes y opuestos de un triángulo hiperbólico .