Notación del vector - Enciclopedia España

Esta página es una descripción de las notaciones comunes usadas al trabajar con los vectores, que pueden ser el espacial o miembros más abstractos de los espacios de vector

La convención tipográfica común para representar un vector es tipo negrita vertical, según lo en el v para un vector nombrado el `v'. En cursivo, donde está inasequible o poco manejable el tipo negrita, los vectores se representan a menudo con las flechas o los arpones derecho-punteagudos sobre sus nombres, como en el $\ el vec {v}$ . Las notaciones de la taquigrafía incluyen los tildes y las líneas rectas puestos sobre o debajo del nombre de un vector.

Vectores rectangulares

Un vector rectangular es un vector del coordenada especificado por los componentes que definen un rectángulo (o la prisma rectangular en tres dimensiones, y formas similares en mayores dimensiones). El punto de partida y el punto terminal del vector mienten en los extremos contrarios del rectángulo (o prisma, etc.

Notación determinada pedida

Un vector rectangular en el

\ el mathbb {R} ^n

se puede especificar usar un pedido determinado de componentes, incluido en paréntesis o corchetes menores/mayores.

En un sentido general, un n - el dimensional v del vector se puede especificar en cualquiera de las formas siguientes:
$del \ mathbf {v} = (v_1, v_2, \ puntea, v_ {n - 1}, v_n)$
= \ langle v_1, v_2, \ puntea del $\ del mathbf {v}, el v_ {n - 1}, v_n \ rangle$

Donde v ₁, v ₂, …, del n del _{del v ; − 1}, n del _{del v son los componentes del v .}

Notación de matriz

Un vector rectangular en el

\ el mathbb {R} ^n

se puede también especificar como una fila o una matriz de la columna que contiene el sistema pedido de componentes. Un vector especificado como matriz de la fila se conoce como vector de fila ; uno especificado como matriz de columna se conoce como vector de la columna.

Una vez más un n - el $del vector \ el mathbf dimensionales {v}$ se pueden especificar en cualquiera de las formas siguientes usar matrices:

$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} v_1 y v_2 y \ cdots y v_ {n - 1} y v_n \ fin {} \ right$ de la matriz
$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} v_1 \ \ v_2 \ \ \ vdots \ \ v_ {n - 1} \ \ v_n \ fin {} \ right$ de la matriz

Donde v ₁, v ₂, …, del n del _{del v ; − 1}, n del _{del v son los componentes del v .}

Notación de la ingeniería

Un vector rectangular en

\ el mathbb {R} ^3

(o pocas dimensiones, tales como

\ mathbb {R} ^2

donde está cero el z del _{del v abajo) se puede especificar como la suma de los múltiplos escalares de los componentes del vector con los miembros de la base estándar en el $\ el mathbb {R} ^3$ . La base se representa con el $\ el mathbf de los vectores de unidad {\ sombrero {i}} = (1, 0, 0)$ , el $\ el mathbf {\ sombrero {j}} = (0, 1, 0)$ , y $\ mathbf {\ sombrero {k}} = (0, 0, 1)$ . Un tridimensional v del vector se puede especificar en la forma siguiente, usar la notación de la ingeniería:
$del \ mathbf {v} = v_x \ mathbf {\ sombrero {i}} + v_y \ mathbf {\ sombrero {j}} + v_z \ mathbf {\ sombrero {k}}$
Donde está los componentes el z del _{del y}, y del v del _{del x}, del v del _{del v del v .}

Vectores polares
Un vector polar es un vector en dos dimensiones especificadas como magnitud (o longitud) y una dirección (o ángulo). Es relacionado con una flecha en el sistema coordinado polar . La magnitud, representada típicamente como r, es la longitud del punto de partida del vector a su punto final. El ángulo, representado típicamente como θ (la theta griega del de la letra ), se mide como la compensación del horizontal (o de una línea colineal con el x - eje en la dirección positiva). El ángulo se reduce típicamente a la mentira dentro de la gama $0 \ le \ theta de < los radianes 2 \ pi$ o $0 \ le \ de la theta < de 360^ {\ circ}$ .
Notaciones pedidas del sistema y de matriz
Los vectores polares se pueden especificar usar la notación pedida de los pares (un subconjunto de notación determinada pedida usar solamente dos componentes) o la notación de matriz, como con vectores rectangulares. En estas formas, el primer componente del vector es el r (en vez del v ₁) y el segundo componente es el θ del (en vez del v ₂). Para distinguir vectores polares de vectores rectangulares, el ángulo se puede prefijar con el símbolo del ángulo, $\ angle$ . Un polar de dos dimensiones v del vector se puede representar como el siguiente un de los, usar pares pedidos o la notación de matriz:
$del \ mathbf {v} = (, \ ángulo \ theta de r)$
$\ mathbf {v} = \, \ ángulo \ theta \ rangle$ del langle r

$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} r y \ ángulo \ theta \ fin {} \ right$ de la matriz
$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} r \ \ \ ángulo \ theta \ fin {} \ right$ de la matriz
Donde está la magnitud el r, el θ del es el ángulo, y el símbolo del ángulo ( $\ angle$ ) es opcional.

Notación directa
Los vectores polares se pueden también especificar usar las ecuaciones autónomas simplificadas que definen el r y el θ del explícitamente. Esto puede ser poco manejable, pero es útil para evitar la confusión con vectores rectangulares de dos dimensiones que se presenta de usar la notación pedida de los pares o de matriz. Un vector de dos dimensiones cuya magnitud es 5 unidades y cuya dirección es los radianes del π /9 del (20°) se puede especificar usar cualquiera de las formas siguientes:

$r=5, \ \ theta= {\ pi \ sobre 9}$
$r=5, \ \ theta=20^ {\ circ}$

Vectores cilíndricos
Un vector cilíndrico es una extensión del concepto de vectores polares en tres dimensiones. Es relacionado con una flecha en el sistema coordinado cilíndrico . Un vector cilíndrico es especificado por una distancia en el xy - acepillar, un ángulo, y una distancia del xy - plano (una altura). La primera distancia, representada generalmente como el r o ρ (el rho griego del de la letra), es la magnitud de la proyección del vector sobre el xy - plano. El ángulo, representado generalmente como el θ del o φ (la phi griega del de la letra), se mide como la compensación de la línea colineal con el x - eje en la dirección positiva; el ángulo se reduce típicamente a la mentira dentro de la gama $0 \ le \ theta < 2 \ pi$ . La segunda distancia, representada generalmente como el h o z, es la distancia del xy - acepillar a la punto final del vector.
Notaciones pedidas del sistema y de matriz
Los vectores cilíndricos se especifican como vectores polares, donde está el segundo componente de la distancia concatenado como tercer componente a formar pidió los tríos (otra vez, un subconjunto de notación determinada pedida) y las matrices. El ángulo se puede prefijar con el símbolo del ángulo ( $\ angle$ ); la combinación de la distancia-ángulo-distancia distingue vectores cilíndricos en esta notación de vectores esféricos en la notación similar. Un cilíndrico tridimensional v del vector se puede representar como el siguiente un de los, usar el trío pedido o la notación de matriz:
$del \ mathbf {v} = (, \ ángulo \ theta, h)$ de r
$\ mathbf {v} = \, \ ángulo \ theta, h \ rangle$ del langle r

$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} r y \ ángulo \ theta y h \ fin {} \ right$ de la matriz
$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} r \ \ \ ángulo \ theta \ \ h \ fin {} \ right$ de la matriz
Donde está la magnitud el r de la proyección del v sobre el xy - acepillar, el θ del es el ángulo entre el positivo x - el eje y el v, y el h es la altura del xy - acepilla a la punto final del v . Una vez más el símbolo del ángulo ( $\ angle$ ) es opcional.

Notación directa
Un vector cilíndrico se puede también especificar directo, usar las ecuaciones autónomas simplificadas que que definen el r (o el ρ del ), el θ del (o el φ del ), y el h (o el z ). La consistencia debe ser utilizada al elegir los nombres para utilizar para las variables; el ρ del no se debe mezclar con el θ del y así sucesivamente. Un vector tridimensional, la magnitud cuya de proyección sobre el xy - plano son 5 unidades, cuyo ángulo del positivo x - eje es los radianes del π /9 del (20°), y cuya altura del xy - el plano es 3 unidades se puede especificar en un de los después de formas:
, \ \ del
$r=5, \ h=3$ del theta= {\ pi \ sobre 9}

$r=5, \ h=3$ \ \ theta=20^ {\ circ}
, $\ rho=5 del \ \, \ z=3$ del phi= {\ pi \ sobre 9}
$\ rho=5, \ z=3$ del
\ \ phi=20^ {\ circ}

Vectores esféricos
Un vector esférico es otro método para ampliar el concepto de vectores polares en tres dimensiones. Es relacionado con una flecha en el sistema coordinado esférico . Un vector esférico es especificado por una magnitud, un ángulo del acimut, y un ángulo del zenit. La magnitud se representa generalmente como ρ del . El ángulo del acimut, representado generalmente como θ del, es la compensación de la línea colineal con el x - eje en la dirección positiva. El ángulo del zenit, representado generalmente como φ del, es la compensación de la línea colineal con el z - eje en la dirección positiva. Ambos ángulos se reducen típicamente a la mentira dentro de la gama a partir de la cero (inclusivo) del π de 2 (exclusivo).
Notaciones pedidas del sistema y de matriz
Los vectores esféricos se especifican como los vectores polares, donde el ángulo del zenit se concatena como un tercer componente de la forma pidió los tríos y las matrices. Ángulos del acimut y del zenit pueden ser ambos prefijados con el símbolo del ángulo ( $\ angle$ ); el prefijo se debe utilizar constantemente para producir la combinación del distancia-ángulo-ángulo que distingue vectores esféricos los cilíndricos. Un esférico tridimensional v del vector se puede representar como el siguiente un de los, usar el trío pedido o la notación de matriz:
$del \ mathbf {v} = (\, \, \ ángulo \ phi del ángulo de rho \ de la theta)$
= \, \, \ ángulo \ phi \ rangle del ángulo del langle del $\ del mathbf {v} \ de rho \ de la theta \ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} \ rho y \ ángulo \ theta y \ ángulo \ phi \ fin {} \ right de la matriz$
$\ mathbf {v} = \ ido \ comienzan {matriz} \ rho \ \ \ ángulo \ theta \ \ \ ángulo \ phi \ fin {} \ right$ de la matriz
Donde está la magnitud el ρ del, el θ del es el ángulo del acimut, y el φ del es el ángulo del zenit.

Notación directa
Como vectores polares y cilíndricos, los vectores esféricos se pueden especificar usar ecuaciones autónomas simplificadas, en este caso para el ρ del, el θ del, y el φ del . Un vector tridimensional cuya magnitud es 5 unidades, cuyo ángulo del acimut es los radianes del π /9 del (20°), y cuyo es ángulo del zenit los radianes del π /4 del (45°) se puede especificar como:
$\ rho=5, \ \ theta= {\ pi \ sobre 9}, \ \ phi= {\ pi \ sobre 4}$ del

$\ rho=5, \ \ theta=20^ {\ circ}, \ \ phi=45^ {\ circ}$ del

Operaciones
En cualquier espacio de vector dado, las operaciones de la adición de vector y la multiplicación escalar se definen. Los espacios de vector de Normed también definen una operación conocida como la norma (o determinación de la magnitud). Los espacios del producto interno también definen una operación conocida como el producto interno. En el $\ el mathbb {R} ^n$ , el producto interno se conoce como el producto de punto . En el $\ el mathbb {R} ^3$ y el $\ el mathbb {R} ^7$ , una operación adicional conocida como el producto cruzado también se define.
Adición de vector
La adición de vector se representa con el signo más usado como operador entre dos vectores. La suma del u de dos vectores y del v sería representada como: + \ mathbf {v} del $\ del mathbf del l {u}$ Multiplicación escalar
La multiplicación escalar se representa de las mismas maneras que la multiplicación algebraica. Un escalar al lado de un vector (cualquiera o que pueda estar entre paréntesis) implica la multiplicación escalar. Los dos operadores comunes, un punto y una cruz girada, son también aceptables (aunque la cruz girada casi nunca se utiliza), pero arriesgan la confusión con los productos de punto y los productos cruzados, que funcionan encendido dos vectores. El producto de un escalar c con un v del vector se puede representar en un de los después de maneras: $c del \ mathbf {v}$
$c \ cdot \ mathbf {v}$
$c \ épocas \ mathbf {v}$
Substracción del vector y división escalar
Usar las características algebraicas de la substracción y de la división, junto con la multiplicación escalar, es también posible “resta” dos vectores y “dividir” un vector por un escalar. La substracción del vector es realizada agregando el múltiplo escalar de −1 con el segundo operando del vector al primer operando del vector. Esto se puede representar por el uso del signo de menos como operador. La diferencia entre el u de dos vectores y el v se puede representar en cualquiera de las maneras siguientes:
$del \ mathbf {u} + - \ mathbf {v}$
- \ mathbf {v} del $\ del mathbf {u} La división escalar es realizada multiplicando el operando del vector con lo contrario numérico del operando escalar. Esto se puede representar por el uso de la barra de fracción o de los signos de división como operadores. El cociente de un v del vector y de un escalar c se puede representar en un de los después de formas: {1 \ sobre} \ mathbf {v} de c$
$del {\ mathbf {} \ sobre de v c}$
$del {\ mathbf {} \ div c de v}$

Norma
La norma de un vector se representa con las barras dobles en ambos lados del vector. La norma de un v del vector se puede representar como:

$\|\ mathbf {de v} \|$
La norma también se representa a veces con las solas barras, como $|\ mathbf {v}|$ , pero éste se puede confundir con el valor absoluto (que es un tipo de norma).

Producto interno
El producto interno (también conocido como el producto escalar, para no ser confundido con la multiplicación escalar) de dos vectores se representa como par pedido incluido en corchetes menores/mayores. El producto interno del u de dos vectores y del v sería representado como:

$\ langle \ mathbf {u}, \ mathbf {} \ rangle$ de v

Producto de punto
En el $\ el mathbb {R} ^n$ , el producto interno también se conoce como el producto de punto . Además de la notación estándar del producto interno, la notación del producto de punto (usar el punto como operador) puede también ser utilizada (y es más común). El producto de punto del u de dos vectores y del v se puede representar como:

$\ mathbf {} \ cdot \ mathbf {v}$ de u

Producto cruzado
El producto cruzado de dos vectores (en el $\ el mathbb {R} ^3$ o el $\ el mathbb {R} ^7$ ) se representa usar la cruz girada como operador. El producto cruzado del u de dos vectores y del v sería representado como: $del l \ mathbf {u} \ épocas \ mathbf {v}$ .
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