La paradoja de Russell: Una cuestión fácil; el $x\; \backslash \; no\; \backslash \; en\; x$ no es una fórmula estratificada, así que la existencia del $\backslash \; \{x\; \backslash \; mediados\; de\; x\; \backslash \; no\; \backslash \; en\; x\; \backslash \}\; de$ no es afirmada por ningún caso de la comprensión del . Quine construyó probablemente el N-F con esta paradoja más suprema de mente.

la paradoja del chantre del número cardinal más grande explota el uso del teorema del chantre al sistema universal . El teorema del chantre dice (dado el ZFC ) que el $P\; determinado\; de\; laenergía(A)$ de cualquier sistema $A$ es más grande que $A$ (no puede haber inyección (mapa uno por) del $P\; (A)$ en $A$). ¡Ahora por supuesto hay una inyección del $P\; (V)$ en $V$, si $V$ es el sistema universal! La resolución requiere que observemos ese no tiene ningún sentido en la teoría de tipos: el tipo de $P\; (A)$ es uno más alto que el tipo de $A$. La versión correctamente mecanografiada (que es un teorema en la teoría de los tipos por esencialmente las mismas razones que la forma original del teorema del chantre trabaja en el ZF ) es , donde $P\_1\; (A)$ es el sistema de subconjuntos de un elemento de $A$. El caso específico de este teorema que nos interese es : hay pocos sistemas de un elemento que sistemas (y tan pocos sistemas de un elemento que objetos generales, si estamos en NFU). El " obvious" El $x\; \backslash \; el\; mapsto\; \backslash \; \{x\; \backslash \}$ de Bijection del universo a los sistemas de un elemento no es un sistema; no es un sistema porque su definición es unstratified. Observar que en todos los modelos sabidos de NFU es el caso que ; La opción del permite que uno no sólo pruebe que haya urelements pero que hay muchos cardenales entre el $|P\; (V)|$ y $|V|$.

Ahora introducimos algunas nociones útiles. Un sistema $A$ que satisface el $intuitivo\; atrayente|A|\; =\; |P\_1\; (A)|$ reputa el cantorian: un sistema cantorian satisface la forma generalmente del teorema del chantre. Sistema $A$ que satisface futuro condición que $(x\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; \{x\; \backslash \})\; \backslash \; lceil\; A$, la restricción del mapa del Singleton al A, no sólo es el sistema cantorian pero el fuerte cantorian.

El la paradoja de Burali-Forti del número ordinal más grande va como sigue. Definimos (después de la teoría determinada ingenua ) los ordinales mientras que la equivalencia clasifica Well-orderings bajo semejanza . Hay una bien-petición natural obvia en los ordinales puesto que bien-está pidiendo él pertenece a un $ordinal\; \backslash \; Omega$. Es directo probar (por la inducción Transfinite ) que el tipo de orden de la orden natural en los ordinales menos que un $ordinal\; dado\; \backslash \; alpha$ es el $\backslash \; alpha$ sí mismo. Pero esto significa que el $\backslash \; Omega$ es el tipo de orden del < \ Omega del $de\; los\; ordinales\; y\; así\; que\; es\; terminantemente\; menos\; que\; el\; tipo\; de\; orden\; de\; todos\; los\; ordinales\; --\; ¡pero\; este\; 3ultimo\; es,\; por\; definición,\; el$ \backslash \; Omega$sí\; mismo!$

La solución a la paradoja en el N-F (U) comienza con la observación que el tipo de orden de la orden natural en los ordinales menos que el $\backslash \; alpha$ es de un tipo más alto que el $\backslash \; alpha$. Por lo tanto un tipo del nivel pidió los pares es dos, y el Kuratowski generalmente pidió los pares, cuatro, tipos más arriba que el tipo de sus discusiones. Para cualquier tipo de orden $\backslash \; alpha$, podemos definir un tipo de orden tipo del $\backslash \; alpha$ uno más arriba: si el $W\; \backslash \; en\; \backslash \; alpha$, entonces $T\; (\backslash \; alfa)$ es el tipo de orden del = \ {del $W^\; de\; la\; orden\; \{\backslash \; iota\}\; (\backslash \; \{x\; \backslash \},\; \backslash \; \{y\; \backslash \})\; \backslash \; mediados\; de\; xWy\; \backslash \}$. La trivialidad de la operación de T es solamente que parece; es fácil demostrar que T es terminantemente una operación monótona (orden que preserva) en los ordinales.

Podemos ahora exponer el lema en forma modificada en orden mecanografiamos adentro una manera estratificada: el tipo de orden de la orden natural en < \ alpha del del

Algunos han afirmado que este resultado demuestra que ningún modelo del N-F (U) es " standard", puesto que los ordinales en ningún modelo de NFU no son externamente well-ordered. No tomamos una posición respecto a esto, sino que observamos que es también un teorema de NFU que cualquier modelo del sistema de NFU no-bien-ha pedido el " ordinals" ; NFU no concluye que el V del universo es un modelo de NFU, a pesar de el V que es un sistema, porque la relación de la calidad de miembro no es una relación del sistema.

Para otro desarrollo de las matemáticas en el NFU, con una comparación al desarrollo iguales en el ZFC, ver la puesta en práctica de las matemáticas en la teoría determinada .

La teoría determinada de la primera edición 1940 lógica matemática N-F casado del de s de Quine de 'a las clases apropiadas de la teoría determinada NBG, e incluido un esquema del axioma de la comprensión sin restricción para las clases apropiadas. Barkley Rosser probó que la teoría determinada de Quine estaba conforme a la paradoja de Burali-Forti. La prueba de Rosser hace el no va a través para N-F (U). En 1950, el Hao Wang demostró cómo enmendar los axiomas de Quine para evitar este problema, y Quine incluyera la axiomatización resultante en el 1951 segundos y la edición final de la lógica matemática del .

Modelos de NFU

El dominio del modelo de NFU será el $V\_\; espeso\; no\; estándar\; \{\backslash \; alfa\}$. La relación de la calidad de miembro del modelo de NFU será
$x\; del$

\ in_ {NFU} y \ equiv_ {def} j (x) \ en y \ la cuña y \ en V_ {j (\ alfa) +1}.

Ahora probamos que éste es realmente un modelo de NFU. Dejar el $\backslash \; phi$ ser una fórmula estratificada en la lengua de NFU. Elegir una asignación de tipos a todas las variables en la fórmula que atestigua el hecho de que es estratificada. Elegir un N del número natural mayor que todos los tipos asignados a las variables por esta estratificación.

Ampliar el $\backslash \; phi$ de la fórmula en un $\backslash \; phi\_1$ de la fórmula en la lengua del modelo no estándar de la teoría determinada de Zermelo con el j del automorfismo usar la definición de la calidad de miembro en el modelo de NFU. El uso de cualquier energía del j a ambos lados de una declaración de la ecuación o de la calidad de miembro preserva su valor de verdad porque el j es un automorfismo. Hacer tal uso a cada fórmula atómica en el $\backslash \; phi\_1$ de una manera tal que cada tipo asignado variable i del x ocurra con exactamente usos de $N-i$ del j . Éste es gracias posibles a la forma de las declaraciones atómicas de la calidad de miembro derivadas de declaraciones de la calidad de miembro de NFU, y a la fórmula que es estratificada. Cada uno cuantificó el $de\; la\; oración\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; en\; V\_\; \{\backslash \; alfa\}.\; \backslash \; PSI\; (j^\; \{N-i\}\; (x)))$ se puede convertir al $de\; la\; forma\; (\backslash \; forall\; x\; \backslash \; en\; el\; j^\; \{N-i\}\; (V\_\; \{\backslash \; alfa\}).\; \backslash \; PSI\; (x))$ (y semejantemente para los cuantificadores existenciales . Realizar esta transformación por todas partes y obtener un $\backslash \; phi\_2$ de la fórmula en el cual el j nunca se aplique a una variable encuadernada.

Elegir cualquier variable libre y en el $\backslash \; tipo\; asignado\; phi$ i . Aplicar el $j^\; \{adentro\}$ uniformemente a la fórmula entera para obtener un $\backslash \; phi\_3$ de la fórmula en el cual el y aparezca sin ningún uso del j . Ahora el $\backslash \; \{y\; \backslash \; en\; V\_\; \{\backslash \; alfa\}\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; phi\_3\; \backslash \}$ existe (porque el j aparece aplicado solamente a las variables y a los constantes libres), pertenece al $V\_\; \{\backslash \; alpha+1\}$, y contiene exactamente eso el y que satisfagan la fórmula original $\backslash \; phi$ en el modelo de NFU. el $j\; (\backslash \; \{y\; \backslash \; en\; V\_\; \{\backslash \; alfa\}\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; phi\_3\; \backslash \})$ tiene esta extensión en el modelo de NFU (el uso del j corrige para la diversa definición de la calidad de miembro en el modelo de NFU). Esto establece que el estratificó asimientos de la comprensión en el modelo de NFU.

Para ver que los asimientos débiles de Extensionality del son directos: cada elemento no vacío del $V\_\; \{j\; (\backslash \; alfa)\; +1\}$ hereda una extensión única del modelo no estándar, el sistema vacío hereda su extensión generalmente también, y el resto de los objetos son urelements.

La idea básica es que el j del automorfismo cifra el " set" de la energía; $V\_\; \{\backslash \; alpha+1\}$ de nuestro " universe" $V\_\; \{\backslash \; alfa\}$ en su $V\_\; externamente\; isomorfo\; de\; la\; copia\; \{j\; (\backslash \; alfa)\; +1\}$ dentro de nuestro " universe." Los objetos restantes que no cifran los subconjuntos del universo se tratan como Urelements

Si el $\backslash \; alpha$ es un n del número natural, conseguimos un modelo de NFU que demande que el universo es finito (es externamente infinito, por supuesto). Si el $\backslash \; alpha$ es infinito y la opción se sostiene en el modelo no estándar ZFC, obtenemos un modelo de NFU + infinito del + la opción del .

Autosuficiencia de fundaciones matemáticas en NFU

Que las razones filosóficas, es importante observen que no es necesario trabajar en el ZFC o ningún sistema relacionado para realizar esta prueba. Una discusión común contra el uso de NFU como fundación para las matemáticas es que nuestras razones de la confiar en ella tienen que hacer con nuestra intuición que el ZFC está correcto. Demandamos que es suficiente aceptar la prueba (de hecho TSTU). Contorneamos el acercamiento: tomar el tipo teoría TSTU (que permite urelements en cada tipo positivo) como nuestro metatheory y considerar la teoría de los modelos del sistema de TSTU en TSTU (estos modelos serán secuencias de los sistemas $T\_i$ (todos los mismos mecanografían adentro el metatheory) con embeddings de cada $P\; (T\_i)$ en $P\_1\; (T\_\; \{i+1\})\; los\; embeddings\; de\; lacodificaciónde$ de la energía fijada de $T\_i$ en el
$T\_\; \{i+1\}$ de una manera del tipo-respeto). Dado una encajadura de $T\_0$ en $T\_1$ (que identifica elementos del " bajo; type" con los subconjuntos del tipo bajo), uno puede definir embeddings de cada " type" en su sucesor de una manera natural. Esto se puede generalizar al $T\_\; transfinite\; de\; las\; secuencias\; \{\backslash \; alfa\}$ con cuidado.

Observar que la construcción de tales secuencias de sistemas es limitada por el tamaño del tipo en el cual se están construyendo; esto evita que TSTU pruebe su propia consistencia (TSTU + el infinito del pueden probar la consistencia de TSTU; para probar la consistencia del infinito uno del de TSTU+ necesita un tipo que contiene un sistema del $\backslash \; del\; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}$ de la cardinalidad, que no se puede demostrar para existir en el infinito del de TSTU+ sin asunciones más fuertes). Ahora los mismos resultados de la teoría modelo se pueden utilizar para construir un modelo de NFU y para verificar que es un modelo de NFU más o menos de la misma manera, con el $T\_\; \{\backslash \; alfa\}$ que es utilizado en lugar del $V\_\; \{\backslash \; alfa\}$ en la construcción generalmente. El movimiento final es observar que puesto que NFU es constante, podemos caer el uso de absoluto mecanografiamos adentro nuestro metatheory, atando el metatheory con correa de TSTU a NFU.

Hechos sobre el j del automorfismo

De hecho, el j es cifrado por una función en el modelo de NFU. La función en el modelo no estándar que envía el singleton de cualquier elemento del $V\_\; \{j\; (\backslash \; la\; alfa)\}$ a su único elemento, se convierte en en NFU una función que envía cada singleton { x }, donde está cualquier objeto el x en el universo, al j ( x ). Llamar este de la función Endo y dejarlo tener las características siguientes: El Endo es una inyección del sistema de singletons en el sistema de sistemas, con la característica ese Endo ({el x }) = {el Endo ({el y }) | x del ∈ del y } para cada x del sistema. Esta función puede definir un tipo " del nivel; membership" relación en el universo, una que reproduce la relación de la calidad de miembro del modelo no estándar original.

Axiomas fuertes del infinito

Uno puede agregar a los axiomas fuertes de esta teoría baja del familiar del infinito del contexto ZFC, tal como " sale a cardenal inaccesible, " pero es más natural considerar aserciones sobre sistemas cantorian y fuerte cantorian. Tales aserciones no sólo traen en ser los cardenales grandes de las clases generalmente, pero consolidan la teoría en sus propios términos.

El más débil de los principios fuertes generalmente es:
axioma de Rosser del del

contar . El sistema de números naturales es un sistema fuerte cantorian.

Para ver cómo los números naturales se definen en NFU, ver la definición Fijar-teórica de los números naturales . La forma original de este axioma dado por Rosser era " el sistema { m |1≤ el n del ≤ del m } tiene members" del n ;, para cada " del n del número natural;. Esta aserción intuitivo obvia es unstratified: cuál es demostrable en NFU es " el sistema { m |1≤ el n del ≤ del m } tiene $T^2\; (members"\; de\; n)$; (donde la operación del T en cardenales es definida por el $T\; (|A|)\; =\; |P\_1\; (A)|$; esto levanta el tipo de un cardenal por uno). Para cualquie número cardinal (números naturales incluyendo) para afirmar el $T\; (|A|)\; =\; |A|$ es equivalente a afirmar que el A de los sistemas de esa cardinalidad es cantorian (por un abuso generalmente de la lengua, referimos a los cardenales tales como " cardinals" cantorian;). Es directo demostrar que la aserción que cada número natural es cantorian es equivalente a la aserción que el sistema de todos los números naturales es fuerte cantorian.

El que cuenta es constante con NFU, pero aumentos su fuerza de la consistencia perceptiblemente; no, como uno esperaría, en el área de la aritmética, pero en una teoría determinada más alta. NFU + el infinito del prueba que existe cada $\backslash \; beth\_n$, pero no que existe el $\backslash \; el\; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}$; NFU + el que cuenta (fácilmente) prueba el infinito del, y prueba más lejos la existencia del $\backslash \; del\; beth\_\; \{\backslash \; beth\_n\}$ para cada n, pero no la existencia del $\backslash \; del\; beth\_\; \{\backslash \; beth\_\; \{\backslash \; Omega\}\}$. (Véase los números de Beth.

El que cuenta implica inmediatamente que uno no necesita asignar tipos a las variables restringidas al sistema $N$ de números naturales con objeto de la estratificación; es un teorema que la energía determinado de un sistema fuerte cantorian es fuerte cantorian, así que es no necesario adicional asignar tipos a las variables restringidas a cualquier sistema iterado de la energía de los números naturales, o a los sistemas familiares tales como el sistema de números verdaderos, el sistema de funciones de reals a los reals, y así sucesivamente. La fuerza fijar-teórica del que cuenta es menos importante en la práctica que la conveniencia no de tener que anotar las variables sabidas para tener valores del número natural (o clases relacionadas de valores) con los soportes del singleton, o para aplicar la operación del T para conseguir definiciones estratificadas del sistema.

El que cuenta implica el infinito del ; cada uno de los axiomas debajo de necesidades de ser colindado a NFU + infinito del para conseguir el efecto de variantes fuertes del infinito del ; El Ali Enayat ha investigado la fuerza de algunos de estos axiomas en modelos de NFU + " el universo es finite".

Un modelo de la clase construida arriba satisface el que cuenta apenas en caso que el j del automorfismo fija todos los números naturales en el modelo no estándar subyacente de la teoría determinada de Zermelo.

El axioma fuerte siguiente que consideramos es
axioma del del

la separación fuerte cantorian : Para cualquie fuerte cantorian A del sistema y cualquie $\backslash \; phi$ de la fórmula (estratificado no no necesario!) el sistema { A del ∈ del x |el φ} existe.

Las consecuencias inmediatas incluyen la inducción matemática para las condiciones unstratified (que no es una consecuencia del que cuenta ; muchos pero no todos los casos unstratified de la inducción en los números naturales siguen del que cuenta ).

Este axioma es asombrosamente fuerte. El trabajo inédito Roberto Solovay demuestra que la fuerza de la consistencia de la teoría NFU* = NFU + que cuenta + la separación de Cantorian del es fuerte igual que la de la teoría determinada + del reemplazo de Zermelo del del $\backslash \; Sigma\_2$.

Este axioma se sostiene en un modelo de la clase construida arriba (con la opción del ) si los ordinales que son fijados por el j y dominan solamente los ordinales fijados por el j en el modelo no estándar subyacente de la teoría determinada de Zermelo son estándar, y el sistema de la energía de cualquier ordinal en el modelo es también estándar. Esta condición es suficiente pero no necesaria.

Está después
el axioma del del

Cantorian fija : Cada sistema cantorian es fuerte cantorian.

Esta aserción muy simple y atractiva es extremadamente fuerte. Solovay ha demostrado la equivalencia exacta de la fuerza de la consistencia de la teoría NFUA = NFU + infinito del + los sistemas de Cantorian del con el ZFC + un esquema que afirmaba la existencia de un n - cardenal de Mahlo para cada concreto n del número natural. Ali Enayat ha demostrado que la teoría de las clases de equivalencia cantorian de relaciones extensional fundamentadas (cuál da un cuadro natural de un segmento inicial de la jerarquía acumulativa ZFC ) interpreta la extensión ZFC con el n - cardenales de Mahlo directo. Una técnica de la permutación se puede aplicar a un modelo de esta teoría para dar un modelo en el cual los sistemas hereditario fuerte cantorian con la relación generalmente de la calidad de miembro modelen la extensión fuerte ZFC .

Este axioma se sostiene en un modelo de la clase construida arriba (con la opción del ) apenas en caso que los ordinales fijaron por el j en el modelo no estándar subyacente ZFC son un segmento inicial (de la clase apropiada) de los ordinales del modelo.

Después considerar
axioma del del

la separación de Cantorian: Para el sistema cantorian A y cualquie $\backslash \; phi$ de la fórmula (estratificado no no necesario!) el sistema { A del ∈ del x |el φ} existe.

Esto combina el efecto de los dos axiomas precedentes y es realmente incluso más fuerte (exacto cómo no se sabe). La inducción matemática Unstratified permite probar que haya el n - cardenales de Mahlo para cada n, dados el Cantorian fija, que da una extensión ZFC que es incluso más fuerte que el anterior, que afirma solamente que hay el n - Mahlos para cada número natural concreto (que se va abrir la posibilidad de contraejemplos no estándar).

Este axioma se sostendrá en un modelo de la clase descrita arriba si cada ordinal fijado por el j es estándar, y cada energía determinado de un ordinal fijado por el j está también el estándar en el modelo subyacente ZFC . Una vez más esta condición es suficiente pero no necesaria.

Un ordinal reputa el cantorian si es fijado por el T, y el fuerte cantorian si domina solamente ordinales cantorian (éste implica que es sí mismo cantorian). En los modelos de la clase construida arriba, los ordinales cantorian de NFU corresponden a los ordinales fijados por el j (no son los mismos objetos porque diversas definiciones de números ordinales se utilizan en las dos teorías).

El igual en fuerza a los sistemas de Cantorian del es
axioma del del

los ordinales grandes : Para cada $ordinal\; noncantorian\; \backslash \; alpha$, hay un n del número natural tales que < \ alpha del $T^n\; (\backslash \; Omega).$

Recordar que el $\backslash \; Omega$ es el tipo de orden de la orden natural en todos los ordinales. Esto implica solamente los sistemas de Cantorian del si tenemos opción del (pero está en ese nivel de fuerza de la consistencia en todo caso). Es notable que uno puede incluso definir el $T^n\; (\backslash \; Omega)$: éste es el término $s\_n$ del th del n de cualquier secuencia finita del s de los ordinales del n de la longitud tales que $s\_0\; =\; \backslash \; Omega$, $s\_\; \{i+1\}\; =\; T\; (s\_i)$ para cada apropiado i . Esta definición es totalmente unstratified. La unicidad del $T^n\; (\backslash \; Omega)$ puede ser probada que (para esos el n para el cual existe) y una cantidad determinada de razonamiento common-sense sobre esta noción puede ser realizado, bastantes para demostrar que el que los ordinales grandes implican el Cantorian fija en presencia de la opción del . A pesar de la declaración formal nudosa de este axioma, es una asunción muy natural, ascendiendo a hacer la acción del T en los ordinales tan simple como sea posible.

Un modelo de la clase construida arriba satisfará los ordinales grandes del, si los ordinales movidos por el j son exactamente los ordinales que dominan un cierto $j^\; \{-\; i\}\; (\backslash \; alfa)$ en el modelo no estándar subyacente ZFC .
axioma del del

los pequeños ordinales : Para cualquie φ de la fórmula, hay un A del sistema tales que los elementos del A que son fuerte ordinales de Cantorian son exactamente los ordinales fuerte cantorian tales que φ.

Solovay ha demostrado la equivalencia exacta en la fuerza de la consistencia de NFUB = NFU + infinito del + los sistemas de Cantorian del + ordinales del los pequeños con la teoría determinada de Morse-Kelley más la aserción que el ordinal apropiado de la clase (la clase de todos los ordinales) es un acuerdo cardinal débil. ¡Esto es muy fuerte de hecho! Por otra parte, NFUB-, que es NFUB con los sistemas de Cantorian del omitidos, se ve fácilmente para tener la misma fuerza que NFUB.

Un modelo de la clase construida arriba satisfará este axioma si cada colección de ordinales fijados por el j es la intersección de un cierto sistema de ordinales con los ordinales fijados por el j, en el modelo no estándar subyacente de ZFC.

Incluso más fuerte es la teoría NFUM = NFU + infinito del + los ordinales grandes del + ordinales del los pequeños. Esto es equivalente a la teoría determinada de Morse-Kelley con un predicado en las clases que sea un ultrafiltro nonprincipal κ-completo en el κ apropiado del ordinal de la clase; en efecto, éste es teoría determinada + " de Morse-Kelley; ¡el ordinal apropiado de la clase es un " mensurable del cardenal ;!

Los detalles técnicos aquí no son la cuestión principal, que es que (en el contexto de NFU) las aserciones razonables y naturales resultan ser equivalentes en energía a los axiomas muy fuertes del infinito en el contexto ZFC . Este hecho se relaciona con la correlación entre la existencia de modelos de NFU, antedicho descrita y la satisfacción de estos axiomas, y de la existencia de modelos ZFC con los automorfismos que tienen características especiales.

Ver también

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