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Objeto del número natural

En la teoría de la categoría, un que el objeto (nno) del número natural es un objeto dotado con una estructura recurrente similar a los números naturales más exacto, en un E de la categoría con un objeto terminal (alternativamente, un Topos ), un N del nno se da cerca:

un global z del elemento : 1 N del →, y

un s de la flecha : N, DEL → DEL N

tales que para cualquie A del objeto del E, global q del elemento: 1 A del →, y f de la flecha: El A del → del A, allí existe un único u de la flecha: A del → del N tales que: z del ○ del u del

= q, y

s del ○ del u = u del ○ del f .

Es decir el triángulo y el cuadrado en el diagrama siguiente conmutan.

style=" del

El par ( q, f ) a veces se llama los datos de la repetición del para el u, dados bajo la forma de definición recurrente : u ( z ) del ⊢ del

=

del q u ( y del ⊢ del N del E del ∈ del y del s ) = f ( u ( y ))

Nnos es definido hasta el isomorfismo del . Cada nno es un objeto inicial de la categoría de los diagramas de la forma

style=" del

Si el u de la flecha según lo definido arriba tiene que existir simplemente, la unicidad del es decir no se requiere, después el N se llama un nno débil del . Si una categoría cerrada cartesiana tiene nnos débiles, después cada parte de ella también tiene un nno débil. Nnos en CCCs o el topoi se define a veces de la manera equivalente siguiente (debido al Lawvere ): para cada par del g de las flechas: B del → del A y f : B del → del B, hay un único h : B del → del A del × del N tales que los cuadrados en el diagrama siguiente conmutan.

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Esta misma construcción define nnos débiles en las categorías cartesianas que no son cerradas cartesiano.

Nnos se puede utilizar para los modelos no estándar del tipo teoría en una manera análoga a los modelos no estándar del análisis. Tales categorías (o el topoi) tienden a tener " infinitamente many" números naturales no estándar. (Como siempre, hay maneras simples de conseguir nnos no estándar; por ejemplo, si z = s z, en este caso la categoría o el E de los topos es trivial.)

El Freyd demostró esa forma del z y del s un diagrama de Coproduct para los nnos; ¡también! N del _{: El → 1 del N es un Coequalizer del s y 1 el N , es decir, cada par de elementos globales del N está conectado por medio del s ; además, este par de hechos caracteriza todos los nnos.}

Ver también

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