Onda plana electromágnetica monocromática

En la relatividad general, el espacio-tiempo electromágnetico monocromático de la onda plana del es el análogo de las ondas planas monocromáticas sabidas de la teoría del maxwell. La definición exacta de la solución es un pedacito complicado, pero muy instructivo.

Cualquier solución exacta de la ecuación de campo de Einstein que modela un campo electromagnético debe considerar todos los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético sí mismo. Si no hay materia y ningunos campos no-gravitacionales presentes con excepción del campo electromagnético, éste significa que debemos el solucionar simultáneamente la ecuación de campo de Einstein y (espacio-tiempo, fuente-libres curvados) las ecuaciones de campo del maxwell .

En la teoría del maxwell del electromagnetismo, uno de los tipos más importantes de un campo electromagnético está ésos que representan la radiación electromágnetica . De éstos, los ejemplos más importantes son ondas planas electromágnetico, en las cuales la radiación tiene frentes de onda planares el moverse en una dirección específica a la velocidad de la luz. De éstos, el más básicos son las ondas planas monocromáticas, en las cuales solamente un componente de la frecuencia está presente. Éste es exacto el fenómeno que nuestra solución modelará en términos de relatividad general.

Definición de la solución

El tensor métrico de la solución exacta única que modela linear una onda plana electromágnetica polarizada con la amplitud

q

y el

\ omega

de la frecuencia se puede escribir, en términos de coordenadas de Rosen, en la forma el

l $\ infty < v, x, y < \ infty, - u_0 < u < u_0$

donde está la primera raíz el $\ el xi= \ el frac {u_0} {\ Omega}$ positiva, (a, 2a \ XI) del $C =0$ donde $a= \ el frac {q^2} {\ omega^2}$ . En esta carta, \ partial_v del $\ del partial_u es vectores coordinados nulos mientras que, \ partial_y$ del $\ del partial_x es vectores coordinados del spacelike . Aquí, el C del coseno de Mateo del (a, \ XI de b) es una función uniforme que soluciona la ecuación de Mateo del y también toma el C del valor (a, b, 0) =1 . A pesar de el nombre, esta función es el no periódico, y no puede ser escrito en términos de funciones sinusoidales o aún hipergeométricas. (Véase el Mateo funcionar para más sobre la función de coseno de Mateo.)$

En nuestra expresión para el métrico, observar ese $\, \, \ partial_v$ del partial_u son campos nulos del vector . Por lo tanto el $\ partial_u+ \ partial_v$ es un campo del vector de Timelike, mientras que $\ partial_u- \, \; del partial_u \, \; del partial_x \ partial_x$ son campos del vector de Spacelike.

Para definir el campo electromagnético, podemos tomar el potencial electromágnetico del cuatro-vector

$\ vec {A} = \ frac {\ raíz cuadrada {2} a \ internacional C \ ido (\ frac {u^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u \) derecho \, \ pecado del frac {q^2} {2 \ omega^2} (\ Omega u) \, du} {C \ ido (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u del frac {q^2} {2 \ omega^2} \ derechos)} \; \ partial_x$

Ahora tenemos la especificación completa de un modelo matemático formulado en relatividad general.

Isometries locales

Nuestro espacio-tiempo es modelado por un múltiple de Lorentzian que tenga algunas simetrías notables. A saber, nuestro espacio-tiempo admite a seis grupos de mentira dimensionales de uno mismo-isometries. Una álgebra de mentira dimensional seises de los consistes convenientes de la base de los campos de vector de la matanza A de un campo de vector genera a este grupo nulo,

del \ = \ partial_v

del vec {\ XI} _1 tres campos de vector del spacelike,

del \ vec {\ XI} _2 = \, \; del partial_x \ vec {\ XI} _3 = \, partial_y \; \ vec {\ XI} _4 = - y \, \ partial_x + x \, \

partial_y y dos campos de vector adicionales,

{\ XI} _6 = y \, \ + \ internacional \ frac {du} del partial_v {C \ se fue (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u del frac {q^2} {2 \ omega^2} \)} derecho \, \

partial_y Aquí, _2 \, del

\ del vec {\ XI} \, _3 \, del vec {\ XI} \ vec {\ XI} _4

genera el grupo euclidiano, actuando dentro de cada frente de onda planar, que justifica la onda plana del conocido para esta solución., _5 \, también del

\ del vec {\ XI} \ demostración del vec {\ XI} _6

que todas las direcciones del nontranverse son equivalentes. Esto corresponde al hecho bien conocido que en espacio-tiempo plano, dos ondas planas que chocan choca siempre el de frente cuando está representado en el marco apropiado de Lorentz.

Para la referencia futura observamos que actúan este seis grupos dimensionales de uno mismo-isometries el transitivo, de modo que nuestro espacio-tiempo sea el homogéneo. Sin embargo, es el no isotrópico, puesto que las direcciones transversales son distinguidas las no-transversales.

Una familia de observadores de inercia

El campo de marco = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {2}} \ = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {2}} \ (+ \ partial_v - \ del partial_u \ derecho)

del  de

\ vec dejados {e} + dejado (\ del partial_u \ partial_v del

\ del vec del l {e} _0 \ derecho) de

{e} _3 {C \ se fue (\, \, del frac {q^2} {\ omega^2} \, \, \ Omega u del frac {2q^2} {\ omega^2} \ derecho)} \

partial_y

representa el marco local de Lorentz del definido por una familia de los observadores de inercia antigiratorios del . Es decir,

$\ nabla_ {\} del vec {e} _0 \ vec {e} _0 = 0$ cuál significa que el integral curva Timelike unidad vector campo $e_0$ son timelike geodesia, y también

$\ nabla_ {\ vec {e} _0} \ vec {e} _1 = \ nabla_ {\ vec {e} _0} \ vec {e} _2 = \ nabla_ {\} del vec {e} _0 \ vec {e} _3 = 0$ cuál significa que los campos de vector de unidad de Spacelike $e_1, e_2, e_3$ son antigiratorios. (Son el transportado Fermi-Caminante.) Aquí, el $\ el vec {e} _0$ es un campo de vector de unidad del timelike, mientras que, _1 \, del $\ del vec {e} \, _2 \, del vec {e} \ vec {e} _3$ es campos de vector de unidad del spacelike.

Los marcos de inercia antigiratorios están tan cerca como podemos venir en spacetimes curvados a los marcos generalmente de Lorentz del sabidos de la relatividad especial, donde están simplemente cambios las transformaciones de Lorentz a partir de un marco de Lorentz a otro.

El campo electromagnético

Con respecto a nuestro marco, el campo electromagnético obtenido del potencial dado arriba es

\ el vec {B} = - q \, \ pecado (\ Omega u) \, \ vec {e} _3

Este campo electromagnético es una solución Fuente-libre de las ecuaciones de campo del maxwell en el espacio-tiempo curvado particular que es definido por el tensor métrico arriba. Es una solución de la falta de información del, y representa una onda plana electromágnetica sinusoidal transversal del con la amplitud

q

y el

\ omega

de la frecuencia, viajando en la dirección de

e_1

. Cuando nosotros
computar el

T^ del tensor de la Tensionar-energía {ab}

para el campo electromagnético dado,
computar el

G^ del tensor de Einstein {ab}

para el tensor métrico dado, encontramos que el

G^ de la ecuación de campo de Einstein {ab} = 8 \ pi \, T^ {ab}

es satisfied. Esto es lo que significamos diciendo que tenemos una solución exacta de Electrovacuum.

En términos de nuestro marco, tensionar-energía tensor resulta ser

$T^ {\ sombrero {} \ sombrero {k} de j} = \ frac {q^2 \ pecado (\} \, de Omega u)^2} {4 \ pi \ dejó \ comienzan {matriz} \ 1&1&0&0 \ \ 0&0&0&0 \ 1&1&0&0 \ \ 0&0&0&0 \ extremo {matriz} \$ derecho Notar que éste es exactamente la misma expresión que encontraríamos en electromagnetismo clásico (donde descuidamos los efectos gravitacionales de la energía de campo electromagnético) para el campo nulo dado arriba; la única diferencia es que ahora nuestro marco es una base (ortonormal) anholonomic del en un espacio-tiempo curvado, algo que una base del coordenada del en el espacio-tiempo plano del . (Véase los campos de marco .)

Movimiento relativo de los observadores

La carta de Rosen reputa el comoving con nuestra familia de observadores antigiratorios de inercia, porque, \, del v-u del

de los coordenadas, \, de x y

es todo constante a lo largo de cada línea del mundo, dada por una curva integral del

del campo de vector de unidad del timelike \ del = \ vec {e} _0

del vec {X}. Así, en la carta de Rosen, estos observadores pudieron aparecer ser inmóviles. Pero de hecho están en el movimiento relativo con respecto a uno otro. Para ver esto, debemos computar su tensor de la extensión con respecto al marco dado arriba. Esto resulta ser

{} \ sombrero {j} de i} = \ frac {\ Omega} {\ raíz cuadrada {2}} \, \ frac {C^ \ prima (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, del frac {q^2} {2 \ omega^2} \ Omega u)} {C (\, \ frac {q^2} {2 \ omega^2} del frac {q^2} {\ omega^2}, \} \, \ operatorname {diag} (0.1)

de Omega u) donde = \ frac {\ C parcial (a, \ XI del

C^ \ de la prima (a, \ XI de q) de q)}{\ parcial \ XI}

. Los componentes nonvanishing son idénticos, y son llanura cóncava en

-u_0 < u <

de u_0 desaparecer en

u=0

. Físicamente, esto significa que una pequeña “nube esférica” de nuestras libraciones de inercia del de los observadores momentáneamente en

u=0

y después comienza a derrumbarse, eventual que pasa con un otro en

u=u_0

. Si nos imaginamos las como formación de una nube tridimensional de las partículas de prueba uniformemente distribuidas, este derrumbamiento ocurre ortogonal a la dirección de la propagación de la onda. La nube no exhibe ninguÌn movimiento relativo en la dirección de la propagación, así que esto es un movimiento puramente transversal del .

Para $\ frac {q} {\ Omega} \ ll 1$ (la aproximación de la onda corta), nosotros tienen aproximadamente

$g_ {xx} \ aproximadamente \ lechuga romano (q u)^2$
$\ theta_ {22} \ aproximadamente - q \, \ tan (q u)$ Por ejemplo, con $q=1/2, \ omega=5$ , tenemos

El tensor de la curvatura de Riemann

En cambio, la descomposición del belio del tensor de la curvatura de Riemann, tomada con respecto el

\ a = \ vec {e} _0

del vec {X}, es la simplicidad sí mismo. El tensor de Electrogravitic, que representa directo los acclerations de marea del, es

E_ del {\ el sombrero {} \ sombrero {n} de m} = q^2 \, \ pecado (\ Omega u)^2 \, \ operatorname {diag} (0.1)

El tensor, que de Magnetogravitic representa directo el hacer girar-hace girar la fuerza en un giroscopio llevado por uno de nuestros observadores, es

B_ del {\ el sombrero {} \ sombrero {n} de m} = q^2 \, \ pecado (\ Omega u)^2 \, \ dejó \ comienza {matriz} \ 0&0&-1 \ 0&0&0 \ \ 0&1&0 \ extremo {matriz} \

derecho (El tensor de Topogravitic, que representa las curvaturas seccionales espaciales del, conviene con el tensor electrogravitic.)

Mirando detrás nuestro gráfico del tensor métrico, podemos ver que el tensor de marea produce las pequeñas aceleraciones relativas sinusoidales con el $\ omega$ del período, que son puramente transversales a la dirección de la propagación de la onda. El gravitacional neto del efecto durante muchos períodos es producir un ciclo de la extensión y del recollapse de nuestra familia de observadores nonspining de inercia. Esto se puede considerar el efecto de la curvatura del fondo del producida por la onda.

Este ciclo de la extensión y del recollapse es evocador de los modelos cosmológicos de extensión y recollapsing FRW, y ocurre por una razón similar: la presencia de nongravitational masa-energía. En los modelos de FRW, este masa-energía es debido a la masa de las párticulas de polvo; aquí, es debido a la energía del campo del campo electromagnético. Allí, el ciclo de la extensión-recollapse comienza y termina con una singularidad escalar fuerte de la curvatura; aquí, tenemos una singularidad mera (una circunstancia del coordenada que mucho Einstein y Rosen confusos en 1937). Además, aquí tenemos una pequeña modulación sinusoidal de la extensión y del recollapse.

Efectos ópticos

Un principio general referente a de los estados de las ondas planas usted no puede ver el tren de onda incorporar la estación, sino que usted puede verla salir de . Es decir, si usted mira con frentes de onda inminentes los objetos distantes, usted no verá ninguna distorsión óptica, sino que si usted da vuelta y mira con frentes de onda de salida el objeto del distanct, usted verá distorsiones ópticas. Específicamente, falta de información geodésico congruencia generado por nulo vector campo

\ vec {k} = \ vec {e} _0 + \ vec {e} _1

tiene vanishing óptico escalar, pero nulo geodésico congruencia generado por

\ vec {\ ana} = \ vec {e} _0 - \ vec {e} _1

tiene vanishing torcedura y esquileo escalar pero nonvanishing extensión escalar

\ theta = \ raíz cuadrado {2} \ Omega \, \ frac {C^ \ la prima \ se fueron (\, \ frac {q^2} {2 del frac {q^2} {\ omega^2} \ omega^2}, \ Omega u \ derechos)}{C \ se fue (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u del frac {q^2} {2 \ omega^2} \ derecho)}

Esto demuestra que al mirar con frentes de onda de salida del los objetos distantes, nuestros observadores antigiratorios de inercia verán su cambio evidente del tamaño exactamente la misma manera que la extensión de la congruencia geodésica del timelike sí mismo.

La carta de Brinkmann

Una forma para considerar rápidamente la plausibilidad de la aserción que

u=u_0

es una singularidad coordinada mera es recordar que nuestro espacio-tiempo es el homogéneo, de modo que todos los acontecimientos sean equivalentes. Para confirmar esto directo, y estudiar de una perspectiva distinta el movimiento relativo de nuestros observadores antigiratorios de inercia, podemos aplicar el

u coordinado del de la transformación \ - \ frac del v \ del rightarrow v rightarrow u {\ punto {r}} {2r} (x del  de x^2+y^2) \

del rightarrow x/r

y \ el rightarrow y/r

donde

(\ Omega u)^2

Esto trae la solución en su representación en términos de coordenadas de Brinkmann:

\ infty < u, v, x, y < \ infty

Puesto que puede ser demostrado que los nuevos coordenadas son Geodesically terminar, los coordenadas de Brinkmann definen una carta coordinada global . ¡En esta carta, podemos ver que ocurre una secuencia infinita del de ciclos idénticos de la extensión-recollapse del !

Cáusticos

En la carta de Brinkmann, nuestro campo de marco llega a ser algo complicado:

\; \; \; + \ frac {\ Omega} {2} \, \ frac {C^ \ la prima \ se fueron (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u del frac {q^2} {2 \ omega^2} \ derechos)}{C \ se fue (\ frac {q^2} {\ omega^2}, \, \ Omega u del frac {q^2} {2 \ omega^2} \ derecho)} \, \ dejó (x \, \ partial_x + y \, \ partial_y \ derecho)

y así sucesivamente. Naturalmente, si computamos el tensor de la extensión, tensor electrogravitic, y así sucesivamente, obtenemos exactamente las mismas respuestas que antes, pero expresado en los nuevos coordenadas.

La simplicidad del tensor métrico comparó a la complejidad del bastidor está pegando. El punto es que podemos visualizar más fácilmente los cáusticos formados por el movimiento relativo de nuestros observadores en la nueva carta. Las curvas integrales del $geodésico del campo de vector de la unidad del timelike \ del = \ vec {e} _0$ del vec {X} dan las líneas del mundo de nuestros observadores. En la carta de Rosen, éstos aparecen como líneas del coordenada de la vertical, desde entonces que la carta comoving.

Para entender cómo esta situación aparece en la carta de Brinkmann, notar que cuando el $\ omega$ es grande, nuestro timelike geodésico unidad vector campo se convierte aproximadamente

$\; \; + \ frac {x^2+y^2} {\ raíz cuadrada {2}} \, \ se fue (- q^2 \ pecado (\ Omega u)^2 + q^2 \ tan (q u)^2 \) derecho \ partial_v$ Suprimiendo el último período, tenemos

$\ vec {X} \ aproximadamente \ partial_t - q \ el tan () \, del u \ de la raíz cuadrada de q 2} {\ dejó (x \ partial_x + y \ partial_y \ derecho)$ Obtenemos inmediatamente una curva integral que exhiba ciclos sinusoidales de la extensión y del reconvergence. Ver la figura, en la cual el tiempo está funcionando verticalmente y utilizamos la simetría radial para suprimir una dimensión espacial. Esta figura demuestra porqué hay una singularidad coordinada en la carta de Rosen; los observadores deben pasar realmente por uno otro en los intervalos regulares, que es obviamente incompatible con la característica comoving, así que la carta analiza en estos lugares. Observar que esta figura sugiere incorrectamente que un observador sea el “centro de la atracción”, por decirlo así, pero de hecho que son todo totalmente equivalentes, debido al grupo grande de la simetría de este espacio-tiempo. Observar también que el movimiento relativo amplio sinusoidal de nuestros observadores es completamente constante con el comportamiento del tensor de la extensión (con respecto al campo de marco que corresponde a nuestra familia de observadores) que fue observado arriba.

Vale el observar de que estos puntos algo difíciles no confundieron ninguna menos una figura que el Albert Einstein en su papel 1937 en las ondas gravitacionales (escritas mucho antes la maquinaria matemática moderna usada aquí fue apreciada extensamente en la física).

Así, en la carta de Brinkmann, las líneas del mundo de nuestros observadores, en el caso de la onda corta, son las curvas periódicas que tienen la forma de sinusoidals con el período $2 \ pi/q$ , modulada por perturbaciones sinusoidales mucho más pequeñas en el $nulo \ partial_v$ y tener de la dirección un período mucho más corto, $2 \ pi \ omega$ . Los observadores se amplían periódico y recollapse transversal al directo de la propagación; este movimiento es modulado por pequeñas perturbaciones de la amplitud del período corto.

Resumen

Comparando nuestra solución exacta con la onda plana electromágnetica monocromática generalmente según lo tratado en la relatividad especial (es decir, como onda en el espacio-tiempo plano, descuidando los efectos gravitacionales de la energía del campo electromagnético), vemos que la nueva característica llamativa en relatividad general es los ciclos de la extensión y del derrumbamiento experimentados por nuestros observadores, a que en el suelo podemos poner a la curvatura del fondo del, a no ningunas medidas hechas durante breves periodos de tiempo y a distancias (en la orden de la longitud de onda de la radiación electromágnetica).

Ver también

La discusión pegajosa del grano, porque una cuenta del papel 1937 de Einstein y Rosen refirieron a arriba.

Zenithic

Henry Scudamore, 3rd Duke of Beaufort

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