En las matemáticas, en un espacio finito-dimensional del producto interno, un operador del uno mismo-adjoint del es uno que es su propio adjoint, o, equivalente, uno cuya matriz es el hermitiano, donde está una una matriz hermitiana que es igual a su propia conjugación transporta . Al lado finito-dimensional espectral tales operadores del teorema tienen una base ortonormal en la cual el operador pueda ser representado como matriz diagonal con las entradas en los números verdaderos en este artículo, nosotros consideran las generalizaciones de este concepto a los operadores en los espacios de Hilbert de la dimensión arbitraria.

Utilizan a los operadores del Uno mismo-adjoint en el análisis funcional y los mecánicos de Quantum . En mecánicos de quántum su importancia miente en el hecho que en el Dirac - la formulación de Von Neumann de los mecánicos de quántum, los Observables físicos tal como posición, el ímpetu, el ímpetu angular y la vuelta son representados por los operadores del uno mismo-adjoint en un espacio de Hilbert. De significación particular está el hamiltoniano

$H\; \backslash \; PSI\; =\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{2\}\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; PSI\; +\; V\; \backslash \; PSI$ de m

cuál como observable corresponde a la energía total de una partícula del total m en un potencial verdadero V del campo. Los operadores diferenciados son una clase importante de operadores ilimitados.

La estructura de los operadores del uno mismo-adjoint en los espacios de Hilbert dimensionales infinitos esencialmente se asemeja a el caso dimensional finito, es decir, los operadores es adjoint del uno mismo si y solamente si son unitario equivalente a los operadores con valores reales de la multiplicación. Con modificaciones convenientes, este resultado se puede ampliar a los operadores posiblemente ilimitados en espacios dimensionales infinitos. Puesto que limitan a un operador de adjoint por todas partes definido del uno mismo necesario, las necesidades una estén más atentas a la edición del dominio en el caso ilimitado. Esto se explica abajo más detalladamente

Operadores simétricos

Un parcial-definido A del operador linear en un H del espacio de Hilbert se llama simétrico del si y solamente si el $del\; de\; \backslash \; el\; hacha\; del\; langle\; \backslash \; =\; \backslash \; lang\; x\; \backslash \; mediados\; de\; mediados\; de\; y\; \backslash \; del\; rangle\; Ay\; \backslash \; sonaron$ para todo el x de los elementos y el y en el dominio del A . Más generalmente, un parcial-definido A del operador linear de un topológico E del espacio de vector en su ^{&lowast continuo del E del espacio dual ;} reputa el simétrico si el $del\; \backslash \; el\; hacha\; del\; langle\; \backslash \; =\; \backslash \; lang\; x\; \backslash \; mediados\; de\; mediados\; de\; y\; \backslash \; del\; rangle\; Ay\; \backslash \; sonaron$ para todo el x de los elementos y el y en el dominio del A . Este uso es bastante estándar en la literatura del análisis funcional.

Por el teorema de Hellinger-Toeplitz, un operador por todas partes definido simétrico del es limitado .

Llaman los operadores simétricos limitados también el hermitiano.

La definición anterior conviene con la que está para las matrices dadas en la introducción a este artículo, si tomamos mientras que el H el n del ^{del C del espacio de Hilbert con el producto de punto estándar e interpretamos una matriz cuadrada como operador linear en este espacio de Hilbert. Es sin embargo mucho tan más general que hay los espacios de Hilbert infinito-dimensionales importantes.}

El espectro de cualquier operador simétrico limitado es verdadero; particularmente todos sus valores propios son verdaderos, aunque un operador simétrico pueda no tener ninguna valores propia.

Una versión general del teorema espectral que también se aplica a los operadores simétricos limitados se indica abajo. Si el sistema de los valores propios para un operador simétrico es no vacío, y los valores propios son nondegenerate, después sigue de la definición que los vectores propios que corresponden a los valores propios distintos son ortogonales. El contrario a qué se demanda a veces en libros de textos introductorios de la física, es posible que los operadores simétricos no tengan ningún valor propio en absoluto (aunque el espectro de cualquier operador de adjoint del uno mismo es no vacío). El ejemplo abajo ilustra el caso especial cuando un operador simétrico (ilimitado) tiene un sistema de los vectores propios que constituyen una base del espacio de Hilbert. El A del operador abajo se puede considerar para tener lo contrario del acuerdo, significando que el correspondiente f del A de la ecuación diferencial = el g es solucionado por un cierto integral, por lo tanto el acuerdo, el G del operador. El compacto G del operador simétrico entonces tiene una familia contable de vectores propios que sean completos en el $L^2$. Iguales se pueden entonces decir para el A . Considerar el espacio de Hilbert complejo L² y el el operador diferenciado $del$

l A = - \ frac {d^2} {dx^2}

definido en el subespacio consistir en todo el infinitamente complejo-valorado diferenciable funciona el f encendido con las condiciones de límite: $f\; (0)\; del$

l = f (1) = 0 \ patio

Entonces la integración por las piezas demuestra que el A es simétrico. Sus funciones propias son los sinusoids f_n del $del$

l (x) = \ pecado (n \ pi x) \ n= 1.2, \ ldots del patio

con el verdadero n ²π² de los valores propios; la ortogonalidad bien conocida de las funciones del seno sigue como consecuencia de la característica de ser simétrica.

Consideramos generalizaciones de este operador abajo.

Operadores del Uno mismo-adjoint

Dado un denso definido A del operador linear en el H, se define su A del adjoint * como sigue:
El dominio del A * consiste en el x de los vectores en el H tales que $y\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; langle\; x\; \backslash \; mediados\; de\; del$

l del
A y \ rangle el

l (que es un mapa linear denso definido del ) es un funcional linear continuo. Por continuidad y la densidad del dominio del A, extiende a un funcional linear continuo único en todo el H .

por el teorema de la representación de Riesz para los functionals lineares, si el x está en el dominio del A *, hay un único z del vector en el H tales que del
el $de\; \backslash \; el\; langle\; x\; \backslash \; mediados\; de\; A\; y\; \backslash \; =\; \backslash \; langle\; z\; \backslash \; mediados\; de\; y\; \backslash \; rangle\; \backslash \; patio\; \backslash \; forall\; y\; del\; rangle\; \backslash \; en\; \backslash$
del operatorname {dom} A este z del vector se define para ser el A * x . Puede ser demostrado que la dependencia del z del x es linear.

Notar que es la densidad del dominio del operador, junto con la pieza de la unicidad de la representación de Riesz, que se asegura que el operador de adjoint esté bien definido.

Un resultado del tipo de Hellinger-Toeplitz dice que limitan a un operador que tiene un adjoint limitado. Por lo tanto el adjoint de un operador ilimitado es necesario ilimitado.

Interpretación geométrica

Hay una manera geométrica útil de mirar el adjoint de un A del operador en el H como sigue: consideramos la tabla G ( A ) del A definido cerca = \ {del $\backslash \; del\; operatorname\; del$

l {G} (a) (\ XI, A \ XI): \ XI \ en \ operatorname {dom} (a) \} \ subseteq H \ oplus H. Dejar J ser el de trazado simpléctico $H\; \backslash \; oplus\; H\; \backslash \; rightarrow\; H\; \backslash \; oplus\; H$ del

l

dado cerca $del$

l \ operatorname {J}: (\ XI, \) \ mapsto del eta (, \ XI - \ del eta).

Entonces el gráfico del A * es el complemento ortogonal de JG ( A ): $del$

l \ operatorname {G} (A^*) = (\ operatorname {} de J \ operatorname {G} (a)) ^ \ perp

\ {

(x, y) \ en H \ el oplus H: \ langle (x, y)|(-, \ XI) A \ XI \ rangle = 0 \; \; \ forall \ XI \ en \ operatorname {dom} (a) \}

Un denso definido A del operador es simétrico si y solamente si $A\; \backslash \; subseteq\; A^*.$ del de

donde el $A\; de\; la\; notación\; del\; subconjunto\; \backslash \; el\; subseteq\; A^*$ se entiende para significar el $G\; (A)\; \backslash \; el\; subseteq\; G\; (A^*).$ un A del operador es el uno mismo-adjoint si y solamente si $A=A^*$; es decir, si y solamente si $G\; (A)=G\; (A^*).$

Ejemplo . Considerar al espacio de Hilbert complejo L² ( R ), y a operador que multiplica una función dada por el x : $A\; f\; del$

l (x) = xf (x)

El dominio del A es el espacio de todas las funciones de L² para las cuales el derecho-mano-lado sea cuadrado-integrable. El A es operador simétrico sin ningunos valores propios y funciones propias. De hecho resulta que el operador es uno mismo-adjoint, como sigue de la teoría contorneada abajo.

Pues veremos más adelante, los operadores del uno mismo-adjoint tienen características espectrales muy importantes; son de hecho operadores de la multiplicación en espacios de medida generales.

Teorema espectral

El parcialmente definido A, B de los operadores en el H, K de los espacios de Hilbert es el unitario equivalente si y solamente si hay un U del operador unitario : K del → del H tales que
el U del

traza el Bijectively del A de los dom sobre el B de los dom,
$B\; U\; \backslash \; XI\; del$

=, A \ XI de U \ patio \ XI \ en \ operatorname {dom} A.

Definen a un operador de la multiplicación como sigue: Dejar el $(,\; \backslash \; MU\; de\; X,\; \backslash \; de\; la\; sigma)$ sea un espacio de medida contable aditivo y el f una función mensurable con valores reales en el X . Un T del operador de la forma $del$

l \ PSI (x) = f (x) \ PSI (x) \ patio

es de quién dominio el espacio del ψ para el cual el lado derecho antedicho está en el L ² se llama un operador de la multiplicación. Cualquier operador de la multiplicación es operador del uno mismo-adjoint de a (definida denso). Cualquier operador del uno mismo-adjoint es unitario equivalente a un operador de la multiplicación.

Esta versión del teorema espectral para los operadores del uno mismo-adjoint se puede probar por la reducción al teorema espectral para los operadores unitarios. Esta reducción utiliza el Cayley transforma para los operadores del uno mismo-adjoint que se defina en la sección siguiente. Puede ser que observemos que si T es multiplicación por f, después el espectro de T es apenas la gama esencial de F.

Cálculo funcional de Borel

Dado la representación del T como operador de la multiplicación, es fácil caracterizar el cálculo funcional de Borel del : Si el h es una función con valores reales limitada de Borel en el R, después el h ( T ) es el operador de la multiplicación al lado del $h\; \backslash \; circ\; f$ de la composición. Para que esto esté bien definido, debemos demostrar que es la operación única en las funciones con valores reales limitadas de Borel que satisfacen un número de condiciones.

Resolución de la identidad

Ha sido acostumbrado introducir la notación siguiente $del$

l \ _T del operatorname {E} (\ lambda) = \ 1} _ del mathbf {{(- \, infty \ lambda]} (t)

donde 1} _ del $\backslash \; del\; mathbf\; \{\{(-\; \backslash ,\; infty\; \backslash \; lambda]\}$ denota la función que es idénticamente 1 en el $del\; intervalo\; (-\; \backslash ,\; infty\; \backslash \; lambda]$. La familia del T (λ) de E _{de los operadores de proyección se llama resolución del de la identidad para el T . Por otra parte, la representación integral de Stieltjes siguiente para el T puede ser probada:}

$T\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{+\; \backslash \}\; infty\; \backslash \; lambda\; d\; \backslash \; \_T\; del\; operatorname\; \{E\}\; (\backslash \; lambda).$

La definición del integral del operador arriba se puede reducir a el que de un escalar valoró el integral de Stieltjes usar la topología débil del operador. En tratamientos más modernos sin embargo, esta representación se evita generalmente, puesto que la mayoría de los problemas técnicos se pueden ocupar por del cálculo funcional.

Formulación en la literatura de la física

En la física, particularmente en mecánicos de quántum, el teorema espectral se expresa en una manera que combine el teorema espectral como se declaró anteriormente y el cálculo funcional de Borel usar la notación de Dirac como sigue:

Si el H es hermitiano (el nombre para el uno mismo-adjoint en la literatura de la física) y el f es una función de Borel,

$f\; (H)=\; \backslash \; internacional\; dE\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; Psi\_\; \{\}\; \backslash \; rangle\; f\; de\; E\; (E)\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\_\; \{E\}\; \backslash \; mediados\; de$

con

$H\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; Psi\_\; \{E\}\; \backslash \; rangle\; =\; E\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; Psi\_\; \{\}\; \backslash \; rangle\; de\; E$

donde el integral funciona con encima el espectro entero del H . La notación sugiere que el H diagonalized por el E de Ψ _{de los valores propios. Tal notación es puramente el formal. Uno puede ver la semejanza entre la notación de Dirac y la sección anterior. La resolución de la identidad (a veces llamada las medidas valoradas proyección) se asemeja formalmente al $de\; las\; proyecciones\; rank-1\; |\; \backslash \; Psi\_\; \{\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\_\; \{E\}\; de\; E\; |$. En la notación de Dirac, las medidas (descriptivas) se describen vía los valores propios y el Eigenstates, ambos objetos puramente formales. Pues uno esperaría, éste no sobrevive el paso a la resolución de la identidad. En la 3ultima formulación, las medidas se describen usar la medida espectral de $|\; \backslash \; PSI\; \backslash \; rangle$, si el sistema se prepara en $|\; \backslash \; PSI\; \backslash \; rangle$ antes de la medida. Alternativo, si uno quisiera preservar la noción de eigenstates y hacerla rigurosa, algo que simplemente formal, uno puede substituir el espacio de estado por un espacio de Hilbert aparejado conveniente .}

Si el f =1, el teorema se refiere como resolución de la unidad:

$I\; =\; \backslash \; internacional\; dE\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; Psi\_\; \{\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; langle\; \backslash \; Psi\_\; \{E\}\; \backslash \; mediados\; de\; E$

En el =H-i \ Gamma del $H\_\; del\; caso\; \{\backslash \; EFF\; del\; mathit\}\; está\; la\; suma\; de\; unhermitianoH\; y\; (véase\; la\; matriz\; Sesgar-Hermitiana\; )\; de\; un$ sesgar-Hermitiano\; del\; operador\; -\; i\; \backslash \; Gamma$,\; uno\; define\; el\; sistema\; de\; la\; base\; del\; biorthogonal$ H^*\_\; del$$

l {\ EFF del mathit} \ ^* mediados de \ de Psi_ {E} \ rangle = ^* \ rangle de E^* \ mediados de \ de Psi_ {E}

y escribir el teorema espectral como:

$f\; (H\_\; \{\backslash \; EFF\; del\; mathit\})\; =\; \backslash \; internacional\; dE\; \backslash \; mediados\; de\; \backslash \; Psi\_\; \{\}\; \backslash \; rangle\; f\; de\; E\; (E)\; \backslash \; langle\; \backslash \; ^*\; de\; Psi\_\; \{E\}\; \backslash \; mediados\; de$

(Véase el Feshbach-Fano el repartir del método de para el contexto en donde tales operadores aparecen en la teoría de dispersión ).

Extensiones de operadores simétricos

considera también:

l [[extensiones de operadores simétricos]]

La pregunta siguiente se presenta en varios contextos: ¿si un A del operador en el H del espacio de Hilbert es simétrico, cuándo tiene extensiones del uno mismo-adjoint? Una respuesta es proporcionada por el Cayley del transforma de un operador del uno mismo-adjoint y de los índices de la deficiencia. (Debemos observar aquí que está a menudo de la conveniencia técnica a tratar de los operadores cerrados en el caso simétrico, el requisito del closedness no plantea ningún obstáculo, puesto que se sabe que todos los operadores simétricos son el cerradizo. Suponer que el A es operador simétrico. Entonces hay a operador linear parcialmente definido único

$\backslash \; operatorname\; \{W\}\; (a)\; \backslash \; dos\; puntos\; \backslash \; operatorname\; \{funcionó\}\; ()\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; operatorname\; \{funcionó\}\; (A-i)$ de A+i

tales que $del$

l \ operatorname {W} (a) (hacha + IX) = hacha - IX \ patio x \ en \ operatorname {dom} (a).

Aquí, el funcionó y los dom del denotan la gama y el dominio, respectivamente. W ( A ) es el isométrico en su dominio. Por otra parte, la gama de 1  −  W ( A ) es el denso en el H .

Inversamente, dado cualquie parcialmente definido U del operador que sea isométrico en su dominio (que no sea necesario cerrado) y tales que 1  −  El U es denso, hay el operador (único) S ( U ) de a $del$

l \ operatorname {S} (u) \ dos puntos \ operatorname {funcionó} (1 - U) \ rightarrow \ operatorname {funcionó} (1+U)

tales que $del$

l \ operatorname {S} (u) (x - Ux) = i (x + U x) \ patio x \ en \ operatorname {dom} (u).

El operador S ( U ) es definido denso y simétrico.

Los mappings W y S son lo contrario de uno a.

El W de trazado se llama el Cayley transforma . Asocia un isometry parcialmente definido a cualquier operador denso-definido simétrico. Observar que los mappings W y S son el monótono: Esto significa que si el B es un operador simétrico que que extiende el denso definido A del operador simétrico, después W ( B ) amplía W ( A ), y semejantemente para el S. Una condición necesaria y suficiente para el A ser uno mismo-adjoint es que su Cayley transforma W ( A ) sea unitario.

Esto inmediatamente nos da una condición necesaria y suficiente para el A tener una extensión del uno mismo-adjoint, como sigue:

Teorema . Una condición necesaria y suficiente para el A tener una extensión del adjoint del uno mismo es que W ( A ) tiene una extensión unitaria.

Un isométrico parcialmente definido V del operador en un H del espacio de Hilbert tiene una extensión isométrica única al encierro de la norma de dom ( V ). Llaman un operador isométrico parcialmente definido con dominio cerrado un isometry parcial.

Dado un isometry parcial V, los índices de la deficiencia del del V se definen como la dimensión de los complementos ortogonales del dominio y de la gama: $del$

l n_+(V) = \ \ {dévil} \ operatorname {dom} (V)^ {\ perp} del operatorname n_- del $del$

l (V) = \ \ {dévil} \ operatorname {funcionó} (V)^ {\ perp} del operatorname

Teorema . Un isometry parcial V tiene una extensión unitaria si y solamente si los índices de la deficiencia son idénticos. Por otra parte, el V tiene una extensión unitaria única del si y solamente si los ambos índices de la deficiencia son cero.

Vemos que hay un bijection entre las extensiones simétricas de un operador y las extensiones isométricas de su Cayley transforman. Un operador que tiene una extensión única del uno mismo-adjoint reputa del a uno mismo-adjoint esencialmente. Tales operadores tienen un cálculo funcional de Borel bien definido. Los operadores simétricos que no son esencialmente uno mismo-adjoint pueden todavía tener una extensión canónica del uno mismo-adjoint . Tal es el caso para los operadores simétricos no negativos del (o más generalmente, los operadores que se limitan abajo). Estos operadores tienen siempre una extensión canónico definida de Friedrichs y para estos operadores podemos definir un cálculo funcional canónico. Limitan a muchos operadores que ocurren en análisis abajo (por ejemplo la negativa del operador de Laplacian ), así que la aplicación el adjointness esencial para estos operadores son menos críticos.

Extensiones del adjoint del uno mismo en mecánicos de quántum

En mecánicos de quántum, los observables corresponden a los operadores del uno mismo-adjoint. Por el teorema de la piedra, los operadores del uno mismo-adjoint son exacto los generadores infinitesimales de grupos unitarios de operadores de la evolución del tiempo. Sin embargo, muchos problemas físicos se formulan como ecuación de la tiempo-evolución que implica a los operadores diferenciados para quienes el hamiltoniano es solamente simétrico. En tales casos, cualquiera el hamiltoniano es esencialmente uno mismo-adjoint, en este caso el problema físico tiene soluciones únicas o una intenta encontrar extensiones del uno mismo-adjoint de la correspondencia hamiltoniana a diversos tipos de condiciones de límite o de condiciones en el infinito.

Fórmulas de Von Neumann

Suponer que el A es simétrico; cualquier extensión simétrica del A es una restricción del A *; De hecho si el B es simétrico el $A\; \backslash \; subseteq\; B\; del$

l \ implica B \ el subseteq B^* \ subseteq A^*

Teorema . Suponer que el A es operador simétrico denso definido. Dejar $del$

l N_+ = \ ^ del operatorname {funcionó} (A+i) {\ perp} $N\_-\; del$

l = \ ^ del operatorname {funcionó} (A-i) {\ perp}

Entonces = \ operatorname {ker} (A^*-i) del $del$

l N_+ = \ operatorname {ker} (A^*+i) de N_- del $del$

l

y

$\backslash \; operatorname\; \{dom\}\; (A^*)\; =\; \backslash \; overline\; \{\backslash \}\; \backslash \; oplus\; N\_+\; \backslash \; oplus\; N\_-$ del operatorname {dom} (a)

donde está ortogonal la descomposición concerniente al producto interno del gráfico de dom ( A *): $del$

l \ langle \ XI | \ = \ langle \ XI del eta \ del rangle_ \ del mathrm {gráfico} | \ + \ langle A^* \ XI del eta \ del rangle | A^* \ eta \ rangle.

Éstos se refieren como fórmulas de von Neumann en la referencia de Akhiezer y de Glazman.

Ejemplos

Primero consideramos a operador diferenciado $D\; del$

l : \ phi \ mapsto \ frac {1} {} \ phi de i

definido en el espacio de C^∞ complejo-valorado funciona en cerca 0 vanishing y 1. D son operador simétrico como puede ser demostrado por la integración por las piezas . El N ₊, _{&minus de los espacios del N ;} son dados respectivamente por las soluciones distribucionales a la ecuación u del $del$

l = i u \ patio u del $del$

l = - i u \ patio

cuáles están en el L ². Uno puede demostrar que cada uno de estos espacios de solución es de 1 dimensión, generado por las funciones IX del ^{− del e del → del IX} y del x del ^{del e del → del x respectivamente. Esto demuestra que el D no es esencialmente adjoint del uno mismo, pero tiene extensiones del uno mismo-adjoint. Estas extensiones del uno mismo-adjoint parametrized por el espacio de mappings unitarios ¡}

$N\_\; \{+\}\; \backslash \; rightarrow\; N\_\; \{-\}\; \backslash ,\; \backslash !$

cuál en este caso sucede ser el T del círculo de unidad.

Este ejemplo simple ilustra un hecho general sobre extensiones del uno mismo-adjoint del simétrico P de los operadores diferenciados en un abierto M del sistema. Los mapas unitarios entre los espacios del valor propio los determinan $N\_\; \backslash \; P.\; del$

l = \ {u \ en L^2 (M): = \ P. i u de P_ {\ operatorname {dist}} u \}

donde está la extensión el P _dist distribucional del P .

Damos después el ejemplo de operadores diferenciados con coeficientes constantes que dejan = \ sum_ \ c_ alfa \ x^ \ alfa alfa del $P\; del$

l (\ vec {x})

ser un polinomio en el n del ^{del R con los coeficientes verdaderos del, adonde las gamas del α sobre a (finita) fijan de los multi-índices . Así ¡}

$\backslash \; alfa\; =,\; (\backslash \; alpha\_1\; \backslash \; alpha\_2,\; \backslash \; ldots,\; \backslash )\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; alpha\_n$

y x^ \ alfa = x_1^ del $del$

l {\ alpha_1} x_2^ {\ alpha_2} \ x_n^ de los cdots {\ alpha_n}.

También utilizamos la notación $D^\; del$

l \ = \ frac {1} de la alfa {

del i^ Teoría espectral de la multiplicidad

La representación de la multiplicación de un operador del uno mismo-adjoint, aunque extremadamente útil, no es una representación canónica. Esto sugiere que no sea fácil extraer de esta representación un criterio para determinar cuando el A de los operadores del uno mismo-adjoint y el B son unitario equivalente. La representación granulosa más fina que ahora discutimos implica multiplicidad espectral. Este círculo de resultados se llama el Hahn - teoría del de Hellinger de la multiplicidad espectral .

Primero definimos la multiplicidad uniforme del :

Definición . Un A del operador del uno mismo-adjoint tiene uniforme n de la multiplicidad donde está tal el n que 1 ω del ≤ del n del ≤ si y solamente si el A es unitario equivalente al f de M _{del operador de la multiplicación al lado del f (λ) de la función = λ encendido $L^2\_\; del$}

l {\ MU} (\ mathbb {R}, \ _n del mathbf {H}) = \ {\ PSI: \ mathbb {} \ _n del rightarrow de R \ del mathbf {H}: \ PSI \ mbox {mensurable y} \ int_ {\ del mathbb {R}} \|\ PSI (t) \|^2d \ MU (t) < \ infty \}

donde está un espacio el n del _{del H de Hilbert del n de la dimensión. El dominio del f} de M _{consiste en el ψ vector-valorado de las funciones en el R tales que $\backslash \; int\_\; del$}

l {\ mathbb {R}} |\ lambda|^2 \ \| \ PSI (\ lambda) \|^2 \, d \ MU (\ lambda) < \ infty.

Contable el añadido no negativo mide el μ, el ν es el mutuamente singular si y solamente si encendido los apoyan desunir los sistemas de Borel. Dejar el A ser un operador del uno mismo-adjoint en un separable H del espacio del Hilbert. Entonces hay una secuencia del ω de medidas finitas contable aditivas en el R (algo cuyo puede estar idénticamente 0) $del$

l \ {\ mu_ \ ana \} _ {1 \ leq \ ana \ leq \ Omega}

tal que las medidas son en parejas el singular y el A es unitario equivalente al operador de la multiplicación al lado del f (λ) de la función = λ encendido $del$

l \ bigoplus_ {1 \ leq \ ana \ leq \ Omega} L^2_ {\ mu_ \ ana} (\ mathbb {R}, \ _ \ ana del mathbf {H}).

Esta representación es única en el sentido siguiente: Para cualquier dos tales representaciones del mismo A, las medidas correspondientes son equivalentes en el sentido que tienen los mismos sistemas de la medida 0.

El teorema espectral de la multiplicidad se puede reformular usar la lengua de los integrales directos de los espacios de Hilbert:

Teorema . Cualquier operador del uno mismo-adjoint en un espacio de Hilbert separable es unitario equivalente a la multiplicación al lado del λ del → del λ de la función encendido $del$

l \ ^ del int_ \ del mathbb {R} \ oplus H_x d \ MU (x).

La clase de equivalencia de la medida de μ (o equivalente sus sistemas de la medida 0) es únicamente resueltos y la familia mensurable { x del _{del H } el x} del _{se determina casi por todas partes con respecto a μ.}

Ejemplo: estructura del Laplacian

El Laplacian en el n is del del R el operador $del$

l \ delta = \ ^n del sum_ {i=1} \ partial_ {x_i} ^2.

Según lo comentado arriba, el Laplacian diagonalized por el Fourier transforma. Es realmente más natural considerar el negativo del Laplacian - Δ puesto que como operador es no negativo; (véase a operador elíptico ). Si el n =1, - Δ tiene mult uniforme =2 del de la multiplicidad, si no - el Δ tiene =ω uniforme del mult de la multiplicidad. Morover, el mult del del μ _{de la medida es medida de Borel en ∞ del ).}

Espectro puro del punto

Un A del operador del uno mismo-adjoint en el H tiene espectro puro del punto si y solamente si el H tiene vectores propios que consisten en ortonormales del ∈ un I del i del _{de la base { i} del _{del e } para el A . El hamiltoniano para el oscilador armónico tiene un potencial cuadrático V, de que es - \ delta del $del$}

l + |x|^2 \ patio

Este hamiltoniano tiene espectro puro del punto; esto es típico para el Hamiltonians del estado encuadernado en mecánicos de quántum. Como fue precisado en un ejemplo anterior, una suficiente condición que un operador simétrico ilimitado tiene vectores propios que formen una base del espacio de Hilbert es que tiene lo contrario compacto.

Ver también

Operador compacto en el espacio de Hilbert
Justificación teórica y experimental para la ecuación de Schrödinger

.

Zenithic

Rivera Transform Fault

Random links:

Winston, Missouri | Vanesa-Mae | Glenbrook | Toxoide | Esposa de dios de Amun