En el análisis funcional (una rama de las matemáticas ), un operador linear limitado es un linear L de la transformación entre el X de los espacios de vector de Normed y el Y para los cuales el cociente de la norma del L ( v ) a el del v es limitado por el mismo número, sobre todo el diferente a cero v de los vectores en el X . Es decir existe un cierto   del M ; >  0 tales que para todo el v en el X,

$\backslash |Lv\; \backslash |\_Y\; \backslash \; le\; M\; \backslash |v\; \backslash |\_X.\; \backslash ,$

El más pequeño tal M se llama el $de\; lanorma\; del\; operador\backslash |L\; \backslash |\_$ {de Op.

Un operador linear limitado no es necesario una función limitada ; estes 3ultimo requerirían que la norma del L ( v ) esté limitada para todo el v . Algo, un operador linear limitado es una función localmente haber limitado .

Limitan a un operador linear si y solamente si es el continuo.

Ejemplos

Se limita el

cualquier operador linear entre dos espacios normed finito-dimensionales, y tal operador puede ser visto como la multiplicación por una cierta matriz fija .

mucho integral transforma es operadores lineares limitados. Por ejemplo, si del
$K\; de\; :\; ¡b\; \backslash \; época\; d\; \backslash \; a\; \{\backslash \; mathbf\; R\}$
es continuo función, después operador $L,$ definido en espacio $C\; b$ de continuo función en $b$ dotado con uniforme norma y con valor en espacio $C\; d,$ con $L$ dado por fórmula

$(Lf)\; (y)=\; \backslash \; int\_\; \{a\}\; ^\; \{\}\; \backslash !\; de\; bK\; (x,\; y)\; f\; (x)\; \backslash ,\; se\; limita\; el\; dx,$
de . Este operador es de hecho el compacto. Los operadores compactos forman a clase importante de operadores limitados.

el del
del operador de Laplace $\backslash \; delta\; de\; :\; H^2\; (\{\backslash \; mathbf\; R\}\; ^n)\; \backslash \; a\; L^2\; (\{\backslash \; mathbf\; R\}$
de ^n) (su dominio es un espacio de Sobolev y toma valores en un espacio de las funciones integrables del cuadrado que se limita .

el operador de cambio en el '' l '' espacio de ² de todo el ordena ( x ₀, x ₁, x ₂…) de números verdaderos con
de se limita el $L\; de\; (x\_0,\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; puntos)\; =\; (0,\; x\_0,\; x\_1,\; x\_2,\; \backslash \; puntos)$
de . Su norma se considera fácilmente para ser 1.

Equivalencia del boundedness y de la continuidad

Según lo indicado en la introducción, se limita un L del operador linear entre el normed X de los espacios y el Y si y solamente si es operador linear continuo . La prueba está como sigue.

supone que el L está limitado. Entonces, porque todo el v de los vectores y el h en el X con el h diferente a cero tenemos del
$de\; \backslash |L\; (v\; +\; h)\; -\; L\; v\; \backslash |\; =\; \backslash |LH\; \backslash |\; \backslash \; le\; M\; \backslash |h\; \backslash |.\; el$
de que deja el $\backslash \; el\; mathit\; \{h\}$ va a cero demuestra que el L es continuo en el v .

inversamente, sigue de la continuidad en el vector cero que existe un $\backslash \; un\; delta\; >\; un\; 0$ tales que el $\backslash |\; LH\; -\; L\; (0)\; \backslash |\; \backslash \; le\; 1$ para todo el h de los vectores en el X con el $\backslash |h\; \backslash |\; \backslash \; le\; \backslash \; delta$. Así, para todo el $v$ diferente a cero en el X, uno tiene del
$de\; \backslash |Lv\; \backslash |\; =\; \backslash \; dejado\; \backslash \; Vert\; \{\backslash |v\; \backslash |\; \backslash \; sobre\; \backslash \; delta\}\; L\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; delta\; \{v\; \backslash \; sobre\; \backslash |v\; \backslash |\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho\; \backslash \; Vert\; =\; \{\backslash |v\; \backslash |\; \backslash \; sobre\; \backslash \}\; \backslash \; dejado\; \backslash \; Vert\; L\; \backslash \; dejado\; del\; delta\; (\backslash \; delta\; \{v\; \backslash \; sobre\; \backslash |v\; \backslash |\}\; \backslash \; derecho)\; \backslash \; derecho\; \backslash \; Vert\; \backslash \; le\; \{\backslash |v\; \backslash |\; \backslash \; sobre\; \backslash \}\; \backslash \; cdot\; 1\; del\; delta\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; \backslash \; del\; delta\}\; \backslash |v\; \backslash |.\; el$
de esto prueba que el L está limitado.

Linearidades y boundedness

Limitan a no cada operador linear entre los espacios normed. Dejar el X ser el espacio de todos los polinomios trigonométricos definido en π, con el $del\; de\; la\; norma\; \backslash |P\; \backslash |¡=\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; pi\}\; ^\}\; \backslash !\; \{\backslash \; pi|P\; (x)|\backslash ,\; dx.$ Definir el L del operador: El X que actúa tomando el derivado, del → del X traza tan un polinómico P a su &prime derivado del P ;. Entonces, para el $v=e^\; del\; \{en\; x\}$ con el n =1, 2,…., tenemos $\backslash |v\; \backslash |=2\; \backslash \; pi,$ mientras que $\backslash |L\; (v)\; \backslash |=2\; \backslash \; el\; pi\; n\; \backslash \; a\; \backslash \; infty$ como →∞ del n, así que este operador no se limita.

Resulta que esto no es un ejemplo singular, pero algo parte de una regla general. Limitan a cualquier operador linear definido en un espacio normed finito-dimensional. Sin embargo, dado cualquier espacio normed el X y el Y con el X infinito-dimensional y el Y el no ser el espacio cero, uno puede encontrar a un operador linear que no sea continuo del X al Y .

Que no limitan a un operador básico tal como el derivado (y otros) hace más duro estudiar. Si, sin embargo, uno define cuidadosamente el dominio y la gama del operador derivado, una puede demostrar que es operador cerrado . Los operadores cerrados son más generales que operadores limitados pero aún " well-behaved" en gran medida.

Otras características

La condición para el L que se limitará, a saber que existe un cierto M tal que para todo el $del\; del\; v\; \backslash |Lv\; \backslash |\; \backslash \; le\; M\; \backslash |v\; \backslash |,\; \backslash ,$ está exacto la condición para el L a ser Lipschitz continuo en 0 (y por lo tanto, por todas partes, porque el L es linear).

Un procedimiento común para definir a un operador linear limitado entre dos espacios de Banach dados está como sigue. Primero, definir a operador linear en un subconjunto denso de su dominio, tal que localmente está limitado. Entonces, extender a operador por continuidad a un dominio continuo del operador linear en general (véase la extensión linear continua ).

Espacios de vector topológicos

La condición del boundedness para los operadores lineares en espacios normed puede ser expuesta en forma modificada. Limitan si lleva cada sistema limitado un sistema limitado, y aquí se significan a un operador la condición más general del boundedness para los sistemas en un espacio de vector topológico (TVS): se limita un sistema si y solamente si es absorbido por cada vecindad de 0. Observar que las dos nociones del boundedness coinciden para los espacios de cuerpo localmente .

Esta formulación permite que uno defina a operadores limitados entre los espacios de vector topológicos generales pues un operador que lleve sistemas limitados los sistemas limitados. En este contexto, es todavía verdad que cada mapa continuo está limitado, no obstante el inverso falla; un operador limitado no necesita ser continuo. Claramente, esto también significa que el boundedness es no más equivalente a la continuidad de Lipschitz en este contexto.

Un inverso se sostiene cuando el dominio es pseudometrisable, un caso que incluya el Fréchet espacie para los espacios del LF asimientos inversos más débiles; cualesquiera limitaron el mapa linear de un espacio del LF son el secuencialmente continuo.

Ver también

norma del operador
Álgebra del operador
Teoría del operador

.

Zenithic

Al Dreares

Random links:

Asilo del resto, Georgia | Lamedura, Missouri | Romulus, Nueva York | Iglesia de todas las naciones (Jerusalén) | Concesión de la imagen de NAACP para el funcionamiento excepcional en una juventud/la serie o el Special de los niños