Orbifold - Enciclopedia España

En la topología y la teoría de grupo geométrica, un orbifold (para el " órbita-manifold") es una generalización de un múltiple . Es un espacio topológico (llamado el el espacio subyacente ) con una estructura del orbifold (véase abajo). El espacio subyacente localmente parece el espacio de cociente de a Espacio euclidiano bajo acción linear de un grupo finito . En las matemáticas las definiciones del orbifold se han dado varias veces: por Satake en el contexto Automorphic forma en los años 50 bajo el nombre el V-múltiple del ; por el Thurston en el contexto de la geometría de los múltiples 3 en los años 70 cuando él acuñó el orbifold conocido del, después de un voto de sus estudiantes; y por Haefliger en los años 80 en el contexto programa de s de Gromov de 'sobre el CAT (k) espacia bajo el nombre el orbihedra del . La definición de Thurston será descrita aquí: es la más ampliamente utilizada y es aplicable en todos los casos. Matemáticamente, los orbifolds se presentaron primero mientras que las superficies con los puntos singulares mucho antes fueron definidos formalmente. Uno de los primeros ejemplos clásicos se presentó en la teoría de las formas modulares con la acción del modular SL (2, Z ) del grupo en el plano de la mitad superior : una versión del teorema de Riemann-Roch se sostiene después de que el cociente sea comprimido por la adición de dos puntos del cambio de signo del orbifold. En teoría multíple 3, la teoría de los fibrations del círculo, iniciada por el Seifert, se puede expresar en términos de orbifolds de 2 dimensiones. En la teoría de grupo geométrica, el post- Gromov, los grupos discretos se ha estudiado en términos de características locales de la curvatura del orbihedra y de sus espacios de la cubierta.

En la teoría de la secuencia, el " de la palabra; orbifold" hace un significado levemente diverso, discutir detalladamente abajo. En la teoría de campo conformal, una parte matemática de la teoría de la secuencia, es de uso frecuente para referir a la teoría atada al subalgebra del punto fijo de una álgebra de la cima bajo acción de un grupo finito de automorfismos.

El ejemplo principal de ser la base del espacio es un espacio de cociente de un múltiple bajo acción discontinua correctamente de un grupo posiblemente infinito Diffeomorphisms con los subgrupos finitos de la isotropía particularmente que éste se aplica a cualquier acción de un grupo finito ; así un múltiple con el límite lleva un natural estructura del orbifold, puesto que es el cociente de su doble por una acción del Z ₂. El espacio de cociente de un múltiple por una acción apropiada lisa del S ¹ lleva semejantemente la estructura de un orbifold.

La estructura de Orbifold da una estratificación natural por los múltiples abiertos en su espacio subyacente, donde un estrato corresponde a un sistema de puntos singulares del mismo tipo.

Debe ser observado que un espacio topológico puede llevar muchos diferentes estructuras del orbifold. Por ejemplo, considerar el O del orbifold asociado a a descomponer en factores el espacio de la esfera 2 a lo largo de una rotación por el _ del $\ del pi^ {} {}$ ; es homeomórfico a la esfera 2, pero la estructura natural del orbifold es diferente. Es posible adoptar la mayor parte de las características de múltiples a los orbifolds y estas características son generalmente diferentes de las características correspondientes del espacio subyacente. En el ejemplo antedicho, el grupo fundamental del orbifold del del O es el Z ₂ y su Euler característico del orbifold del es 1.

Definiciones formales

Como un múltiple, un orbifold es especificado por condiciones locales; sin embargo, en vez localmente del modelado en subconjuntos abiertos del n del ^{del R, un orbifold localmente es modelado en cocientes de subconjuntos abiertos del n} del ^{del R por acciones de grupo finitas. La estructura de un orbifold codifica no sólo el del espacio de cociente subyacente, que no necesitan ser un múltiple, pero también el de los subgrupos de la isotropía Un n - el orbifold dimensional es a El X del espacio topológico de Hausdorff, llamado el el espacio subyacente, con una cubierta por una colección del abierto i del _{del U de los sistemas, se cerró bajo intersección finita. Para cada i} del _{del U, hay
un abierto i} del _{del V del subconjunto del n del ^{del R, invariante bajo acción linear fiel de un finito i}} de Γ_{del grupo
un continuo i} del φ_{del mapa del i} del _{del V sobre el inferior invariante i} del i Γ_{del _{del U, llamado una carta del orbifold del, que define un homeomorfismo entre el i} del _{del i} del _{del V /del i} y del U de Γ_.}
La colección de cartas del orbifold llamó un atlas del orbifold del si las características siguientes son satisfied:
el
para cada j del _{del U del $\ subset$ del i} del _{del U de la inclusión allí es un ij inyectivo} del del _{del f del homomorfismo del grupo: j} del $\ rightarrow$ Γ_{del i} de Γ_{para cada j} del _{del U del $\ subset$ del i} del _{del U de la inclusión hay un ij} del del ψ_{del homeomorfismo de Equivariant i}- de Γ_{, llamado un que pega el mapa, del i} del _{del V sobre un subconjunto abierto del j} del _{del V
los mapas de pegado son compatibles con las cartas, es decir j} del φ_{·ij ψ = i} del φ_{los mapas de pegado son únicos hasta la composición con los elementos del grupo, es decir cualquier otro mapa de pegado posible del i} del _{del V al j} del _{del V tiene el g de la forma ·ij} del del ψ_{para un único g en el j} de Γ
El atlas del orbifold define la estructura del orbifold del totalmente: dos atlas del orbifold del X dan el mismo orbifold estructura si pueden ser combinados constantemente para dar un atlas más grande del orbifold. e Observar que la estructura del orbifold determina el subgrupo de la isotropía de cualquier punto del orbifold hasta isomorfismo: puede ser computada como el estabilizador del punto en cualquier carta del orbifold. Si el $del i del$ _{del U \ el $del j$} del _{del U del subconjunto \ el k} del _{del U del subconjunto , entonces allí es un único g _ijk del elemento de transición del en el k} de Γ_{tales que ijk} del del _{de g del}
l ·ik ψ = jk del del ψ_{·ψ_ij}
Estos elementos de transición satisfacen
l (ijk del del _{de g anuncio)· ik _{del f} = jk} del del _{del f · ij} del del _{del f}
así como la relación del cocycle del (que garantiza associativity) kilómetro (ijk del ψ_del
l del del _{de g del )· ikm _{de g del} = ijm} del del _{de g del · jkm} del del _{de g del .}
Más generalmente, atado a una cubierta abierta de un orbifold por las cartas del orbifold, hay los datos combinatorios de un complejo supuesto del de los grupos (véase abajo).
Exactamente como en el caso de los múltiples, las condiciones del differentiability se pueden imponer ante los mapas de pegado para dar una definición de un orbifold diferenciable . Será un orbifold Riemannian del si además hay las métricas Riemannian invariante en las cartas del orbifold y los mapas de pegado son los isometries .
Para los usos en la teoría de grupo geométrica, él a menudo conveniente tener una noción levemente más general del orbifold, debido a Haefliger. Un orbispace es definido substituyendo el modelo para las cartas del orbifold por un localmente condensa el espacio de con una acción rígida del de un grupo finito, es decir uno para quien los puntos con isotropía trivial es denso. (Esta condición es satisfecha automáticamente por acciones lineares fieles, porque los puntos fijados por cualquier elemento no trivial del grupo forman un subespacio linear apropiado.) Es también útil considerar el las estructuras del espacio métrico en un orbispace, dado por la métrica invariante en las cartas del orbispace para las cuales los mapas de pegado preservan distancia. En este caso cada carta del orbispace se requiere generalmente ser un espacio de la longitud con la geodesia única que conecta cualquier dos puntos.

Ejemplos
Si el M es un n-múltiple Riemannian con una acción isométrica apropiada de Cocompact de un grupo discreto Γ, después el X del espacio de la órbita = el M /Γ es naturalmente un orbifold: para cada x en el X toman un representativo m en el M y un abierto m del _{del V de la vecindad del m invariante bajo m} de Γ_{del estabilizador, identificado equivariantly con un m}-subset de Γ_{del M del m} de T_{debajo del mapa exponencial en el m ; finito muchas vecindades cubren el X y cada uno de sus intersecciones finitas, si es no vacía, es cubierta por una intersección de Γ-traduce el m} del _{de g del · m} del _{del V con el correspondiente m}^-1 del _{de g m} Γ del _{de g grupo. Orbifolds que se presenta de esta manera se llama el desarrollable o el buen .
si el N es un múltiple compacto con límite, su M del doble puede formado pegando junto una copia del N y su imagen de espejo a lo largo de su límite común. Hay acción natural de la reflexión Z ₂ en el multíple M que fija el límite común; el espacio de cociente se puede identificar con el N, de modo que el N tenga una estructura natural del orbifold.
Un teorema clásico Enrique Poincaré construye los grupos de Fuchsian como grupos de reflexión hiperbólicos generados por reflexiones en los bordes de un triángulo geodésico en el plano hiperbólico para el Poincaré métrico. Si el triángulo tiene el π/ i de los ángulos del _{del n para el positivo i} del _{del n de los números enteros, el triángulo es un dominio fundamental y naturalmente un orbifold de 2 dimensiones. El grupo correspondiente es un ejemplo de un grupo hiperbólico del triángulo. Poincaré también dio a versión de 3 dimensiones de este resultado para los grupos de Kleinian en este caso el grupo de Kleinian que Γ es generado por reflexiones hiperbólicas y el orbifold es el H ³/Γ.}
si el M es 2 cerrados multíples, las nuevas estructuras del orbifold se puede definir en el M i quitando finito muchos desune discos cerrados del M y pegado de copias traseras del D de los discos/del i de Γ_{donde está el disco el D cerrado de la unidad y el i} de Γ_{es un grupo cíclico finito de rotaciones. Esto generaliza la construcción de Poincaré.}

Grupo del fundamental de Orbifold
Hay varias maneras de definir el grupo fundamental del orbifold del . Acercamientos más sofisticados utilizan los espacios de la cubierta del orbifold o el que clasificaba los espacios Groupoids que el acercamiento más simple (adoptado por Haefliger y sabido también a Thurston) amplía la noción generalmente del lazo utilizó en la definición estándar del grupo fundamental . Una trayectoria del orbifold del es una trayectoria en el espacio subyacente proporcionado por trozos una elevación explícita de los segmentos de la trayectoria a las cartas del orbifold y a los elementos explícitos del grupo que identifican las trayectorias en cartas traslapadas; si la trayectoria subyacente es un lazo, se llama un lazo del orbifold del . Se identifican dos trayectorias del orbifold si son relacionadas con la multiplicación por los elementos del grupo en cartas del orbifold. El grupo fundamental del orbifold es el grupo formado por las clases de Homotopy de lazos del orbifold.
Si el orbifold se presenta como el cociente de un multíple simplemente conectado M por una acción rígida apropiada de un grupo discreto Γ, el grupo fundamental del orbifold se puede identificar con Γ. En general es una extensión de Γ al lado del M de π₁.
El orbifold reputa el desarrollable o el buen si se presenta como el cociente por una acción de grupo; si no se llama el maÌn . Un orbifold universal de la cubierta del se puede construir para un orbifold por analogía directa con la construcción del espacio universal de la cubierta de un espacio topológico, a saber como el espacio de los pares que consisten en los puntos del orbifold y de las clases homotopy de trayectorias del orbifold que las ensamblan al basepoint. Este espacio es naturalmente un orbifold.
Observar que si una carta del orbifold en un subconjunto abierto de Contractible corresponde a un grupo Γ, después hay un homomorfismo local del natural de Γ en el grupo del fundamental del orbifold.
De hecho las condiciones siguientes son equivalentes:

el orbifold es desarrollable.
La estructura del orbifold en el orbifold universal de la cubierta es trivial.
Los homomorphisms locales son todos inyectivos para una cubierta por contractible abren sistemas.

Non-positively curvó orbispaces
Dejar el X ser un orbispace dotado con una estructura de espacio métrico para la cual las cartas sean espacios geodésicos de la longitud. Las definiciones y los resultados precedentes para los orbifolds se pueden generalizar para dar definiciones del grupo fundamental del orbispace del y del orbispace universal de la cubierta del, con los criterios análogos para el developability. Las funciones de distancia en las cartas del orbispace se pueden utilizar para definir la longitud de una trayectoria del orbispace en el orbispace universal de la cubierta. Si la función de distancia en cada carta es el non-positively curvado, después la discusión del acortamiento de la curva de Birkhoff se puede utilizar para probar que cualquier trayectoria del orbispace con puntos finales fijas es homotópica a un geodésico único. Aplicando esto a las trayectorias constantes en una carta del orbispace, sigue que cada homomorfismo local es inyectivo y por lo tanto:
el cada orbispace non-positively curvado es desarrollable (es decir el buen ).

Complejos de grupos
Cada orbifold ha asociado a él una estructura combinatoria adicional dada por un complejo del de los grupos .
Definición
Un complejo del de los grupos ( Y, f, g ) en un simplicial Y del complejo del extracto se da cerca
al grupo finito Γ_σ para cada σ a una cara del Y
un inyectivo f _στ del homomorfismo: $\ rightarrow$ Γ_σ de Γ_τ siempre que τ del $\ subset$ del σ
para cada τ del $\ subset$ del σ del $\ subset$ del ρ de la inclusión, un g _ρστ del elemento del grupo en Γ_ρ tales que ( g _ρστ del anuncio)· f _ρτ = f _ρσ· f _στ (aquí el anuncio denota la acción de Adjoint por la conjugación)
Los elementos del grupo deben además satisfacer la condición del cocycle g del f _πρ ( g _ρστ) del
l _πρτ = g _πρσ de g _πστ del
para cada cadena del τ del σ $\ subset$ del ρ $\ subset$ del $\ subset$ del π de los simplexes. (Esta condición es vacua si el Y tiene dimensión 2 o menos.)
Cualquier opción del h _στ de los elementos en Γ_σ rinde a el complejo equivalente de de grupos definiendo
f del
_στ = ( h _στ del anuncio)· f _στ
g del _ρστ = h _ρσ· f _ρσ ( h _στ)· g _ρστ· h _ρτ^-1
Un complejo de grupos se llama el simple siempre que el g _ρστ = 1 por todas partes.

una discusión inductiva fácil demuestra que cada complejo de grupos en un a una cara es equivalente a un complejo de grupos con el g _ρστ = 1 por todas partes.
Es a menudo más conveniente y conceptual atrayente pasar a la subdivisión baricéntrica Y . Las cimas de esta subdivisión corresponden a los simplexes del Y, de modo que cada cima tenga un grupo atado a ella. Los bordes de la subdivisión baricéntrica son (correspondencia naturalmente orientada a las inclusiones de simplexes) y cada borde dirigido da una inclusión de grupos. Cada triángulo tiene un elemento de transición atado a él que pertenece al grupo de exactamente una cima; y el tetrahedra, si hay cualquiera, da las relaciones del cocycle para los elementos de transición. Así un complejo de grupos implica solamente el esqueleto 3 de la subdivisión baricéntrica; y solamente el esqueleto 2 si es simple.

Ejemplo
Si el X es un orbifold (u orbispace), elegir una cubierta por los subconjuntos abiertos entre del i} del _{del f de las cartas del orbifold: i} del _{del U del $\ rightarrow$ del i} del _{del V . Dejar el Y ser el complejo simplicial abstracto dado por el nervio de la cubierta : sus cimas son los sistemas de la cubierta y de su n - los simplexes corresponden al no vacío U de las intersecciones del _α = el $\ cap$ del i ₁} del _{del U ··· n} del _{del i del _{del U del $\ cap$ . Para cada tal simplex hay un grupo asociado Γ_α y el ij} del del _{del f de los homomorphisms se convierte en el f _στ de los homomorphisms. Para cada $\ el τ del subconjunto$ que corresponde a las intersecciones k} del _{del U del $\ cap$ del j} del _{del U del $\ cap$ del i} del _{del U del $\ supset$ del j} del _{del U del $\ cap$ del i} del _{del U del $\ supset$ del i} del _{del U del l
hay el i del φ_{de las cartas: i}, ij del _{del U del $\ rightarrow$ del i} del _{del V φ_{: j} del _{del U del $\ cap$ del i} del _{del U del $\ rightarrow$ del ij} del del _{del V e ijk} del del φ_{: k del _{del U del $\ cap$ del j} del _{del U del $\ cap$ del i} del _{del U del $\ rightarrow$ del ijk} del del _{del V} y pegando el ψ de los mapas: $del ij$} del del _{del V \ i}, ψ' del _{del V del rightarrow : $del ijk$} del del _{del V \ ij} del del _{del V del rightarrow y ψ" : $del ijk$} del del _{del V \ i} del _{del V del rightarrow .}}
Hay un único g _ρστ del elemento de transición en el i de Γ_{tales que el g _ρστ·ψ" = ψ·ψ'. Las relaciones satisfechas por los elementos de transición de un orbifold implican ésos requeridos para un complejo de grupos. De esta manera un complejo de grupos se puede canónico asociar al nervio de una cubierta abierta por las cartas del orbifold (u orbispace). En la lengua de la teoría no conmutativa de la gavilla y Gerbes el complejo de grupos en este caso se presenta como gavilla de los grupos asociados al i} del _{del U de la cubierta; el g _ρστ de los datos es un cocycle 2 en el cohomology no conmutativo de la gavilla y el h _στ de los datos da a 2 la perturbación coboundary.}

grupo de la Borde-trayectoria
El grupo de la borde-trayectoria del de un complejo de grupos se puede definir como generalización natural del grupo de la trayectoria del borde de un complejo simplicial. En la subdivisión baricéntrica del Y, ij} del del _{del e de los generadores de la toma que corresponde a los bordes del i al j donde $del i \ j del rightarrow$ , de modo que haya un ij} del del ψ_{de la inyección: j} del $\ rightarrow$ Γ_{del i} de Γ_{. Dejar Γ ser el grupo generado por el ij} del del _{del e y el k} de Γ_{con relaciones ij} ^-1 del del _{del e del l · g · ij _{del e} = ij ( g ) del del ψ
para el g en el i de Γ_{y ik _{del e del}}
l = jk del del _{del e · ij} del del _{del e · ijk} del del _{de g del}
si $del i \ k del \ rightarrow del j del rightarrow$ .
Para un fijo i ₀ de la cima, el grupo Γ ( i ₀) de la borde-trayectoria se define para ser el subgrupo de Γ generado por todos los productos g ₀ del
l · i ₁ del i ₀ del e_{· g ₁ · i ₂} del i ₁ del e_{· ··· · n} del _{de g del · ₀} del i del n del _{del i del e}
donde i ₀, i ₁,…, n , i ₀ del _{del i es una borde-trayectoria, mentiras del k} del _{de g del en el ij}^-1 del del _{del e del ji}= del del _{del k} y del e del _{del i de Γ_{si $del i \ el j del rightarrow$ .}}

Complejos desarrollables
Una acción apropiada simplicial de un grupo discreto Γ en un complejo X de Simplicial con cociente finito reputa el regular si él satisface una de las condiciones equivalentes siguientes (véase Bredon 1972):
el X del admite un subcomplex finito como dominio fundamental ;
el
el Y del cociente = el X /Γ tiene una estructura simplicial natural;
el
la estructura simplicial del cociente en órbita-representantes de cimas es constante;
si ( v ₀,…, k del _{del v ) y ( g ₀· v ₀,…, k} del _{de g del · el k} del _{del v ) es simplexes, entonces g · i del _{del v} = i} del _{de g del · i} del _{del v para un cierto g en Γ.}
El fundamental Y del dominio y del cociente = el X /Γ se puede identificar naturalmente como complejos simplicial en este caso, dado por los estabilizadores de los simplexes en el dominio fundamental. Un complejo del Y de los grupos reputa el desarrollable si se presenta de esta manera.
El complejo del
A de grupos es desarrollable si y solamente si los homomorphisms de Γ_σ en el grupo de la borde-trayectoria son inyectivos.
El complejo del
A de grupos es desarrollable si y solamente si para cada σ a una cara hay un homomorfismo inyectivo θ_σ de Γ_σ en un grupo discreto fijo Γ tales que θ_τ· f _στ = θ_σ. En ths encajonar el complejo simplicial X canónico se define: tiene k - simplexes (σ, xΓ_σ) donde está un el σ k - simplex del Y y el x funciona encima Γ/Γ_σ. La consistencia se puede comprobar usar el hecho de que la restricción del complejo de grupos a un a una cara es equivalente a una con el trivial g _ρστ del cocycle.
La acción de Γ en el baricéntrico X de la subdivisión 'del X satisface siempre la condición siguiente, más débil que regularidad:

siempre que σ y g ·el σ es subsimplices de un cierto τ a una cara, ellos es igual, es decir σ = el g ·σ
Los simplexes en el X 'corresponden de hecho a las cadenas de simplexes en el X, de modo que los subsimplices, dados por los subchains de simplexes, sean determinados únicamente por los tamaños del de los simplexes en el subchain. Cuando una acción satisface esta condición, después el g fija necesario todas las cimas del σ. Una discusión inductiva directa demuestra que tal acción llega a ser regular en la subdivisión baricéntrica; particularmente

la acción en el segundo " baricéntrico del X de la subdivisión; es regular;

Γ es naturalmente isomorfo al grupo de la borde-trayectoria definido usar las borde-trayectorias y los estabilizadores de la cima para el subdivison baricéntrico del dominio fundamental en " del X ;.
No hay de hecho necesidad de pasar a una tercera subdivisión baricéntrica del : como Haefliger observa usar la lengua de la teoría de la categoría, en este caso el esqueleto 3 del dominio fundamental del " del X ; lleva ya todos los datos necesarios - incluyendo los elementos de transición para los triángulos - para definir un grupo de la borde-trayectoria isomorfo a Γ.
En dos dimensiones esto es particularmente simple describir. El dominio fundamental del " del X ; tiene la misma estructura que el baricéntrico Y de la subdivisión 'de un complejo del Y de los grupos, a saber:

un complejo simplicial de 2 dimensiones finito Z ;
una orientación para todo el de los bordes i j del $\ del rightarrow$ del ;
si el $del i \ el j del rightarrow$ y $del j \ el k del rightarrow$ es bordes, después el $del i \ el k del rightarrow$ es un borde y (el i, el j, el k ) es un triángulo;
los grupos finitos ataron a las cimas, inclusiones a los bordes y elementos de transición, describiendo compatibilidad, a los triángulos.
Un grupo de la borde-trayectoria puede entonces ser definido. Una estructura similar es heredada por el baricéntrico Z de la subdivisión 'y su grupo de la borde-trayectoria es isomorfo a el del Z .

Orbihedra
Si un grupo discreto contable actúa por una acción apropiada regular de Simplicial en un Simplicial complejo, el cociente se puede dar no sólo la estructura de un complejo de grupos, pero también la de un orbispace. Esto lleva más generalmente a la definición del " orbihedron", el análogo simplicial de un orbifold.
Definición
Dejar el X ser un complejo simplicial finito con el baricéntrico X de la subdivisión '. Una estructura del orbihedron consiste en:
para cada i de la cima del X “, un complejo simplicial L i del _{de ” dotado con una acción simplicial rígida de un finito i} de Γ_{del grupo.
un simplicial i} del φ_{del mapa del L i} del _{de sobre el L i} del acoplamiento del _{de del i en el X “, identificando el L i} del cociente del _{de ”/ i} de Γ_{con el L i} del _{de .}
Esta acción del i de Γ_{en el L i} del _{de extiende a una acción simplicial en el simplicial i} del _{del C del cono sobre el L i} del _{de (el simplicial ensamblan del i y del L del _{de i}'), fijando el i del centro del cono. El i} del φ_{del mapa extiende a un mapa simplicial de i} del _{del C sobre el St de la estrella ( i ) del i, llevando el centro sobre el i ; así el i} del φ_{identifica el i} del _{del C /el i}, el cociente de Γ_{de la estrella del i en el i} del _{del C, con St ( i ) y da una carta del orbihedron del en el i .}
para cada dirigido j del $\ rightarrow$ del i del borde del X ', un ij inyectivo del del _{del f del homomorfismo del i} de Γ_{en el j} de Γ_{.
para cada dirigido j, un simplicial equivariant del $\ rightarrow$ del i del borde del i} de Γ_{que pega el ij} del del ψ_{del mapa del i} del _{del C en el j} del _{del C .
los mapas de pegado son compatibles con las cartas, es decir j} del φ_{·ij ψ = i} del φ_{.
los mapas de pegado son únicos hasta la composición con los elementos del grupo, es decir cualquier otro mapa de pegado posible del i} del _{del V al j} del _{del V tiene el g de la forma ·ij} del del ψ_{para un único g en el j} de Γ_.
Si el $\ el k del rightarrow$ , entonces allí es un único g _ijk del elemento de transición del en el k de Γ_{tales que ijk} del del _{de g del}
l ·ik ψ = jk del del ψ_{·ψ_ij}
Estos elementos de transición satisfacen
l (ijk del del _{de g anuncio)· ik _{del f} = jk} del del _{del f · ij} del del _{del f}
así como la relación del cocycle kilómetro (ijk del ψ_del
l del del _{de g del )· ikm _{de g del} = ijm} del del _{de g del · jkm} del del _{de g del .}

Características principales

los datos teóricos del grupo de un orbihedron da un complejo de grupos en el X, porque el i de las cimas del X 'corresponde a los simplexes en el X .

cada complejo de grupos en el X se asocia a una estructura esencialmente única del orbihedron en el X . Este hecho dominante sigue observando que la estrella y el acoplamiento de un i de la cima del X “, correspondiendo a un σ a una cara del X, tienen descomposiciones naturales: la estrella es isomorfa al complejo simplicial abstracto dado por el ensamblar del σ y del σ baricéntrico de la subdivisión” del σ; y el acoplamiento es isomorfo ensamblar del acoplamiento del σ en el X y el acoplamiento del barycentre del σ en σ'. que restringe el complejo de grupos al acoplamiento del σ en el X, todos los grupos Γ_τ viene con homomorphisms inyectivos en Γ_σ. Puesto que el acoplamiento del i en el X 'canónico es cubierto por un complejo simplicial en el cual Γ_σ actúe, éste define una estructura del orbihedron en el X .

el grupo fundamental del orbihedron es (tautológico) apenas el grupo de la borde-trayectoria del complejo asociado de grupos.

cada orbihedron es también naturalmente un orbispace: de hecho en la realización geométrica del complejo simplicial, las cartas del orbispace se pueden definir usar los interiores de estrellas.

el grupo fundamental del orbihedron se puede identificar naturalmente con el grupo fundamental del orbispace del orbispace asociado. Esto sigue aplicando el teorema de la aproximación de Simplicial a los segmentos de una trayectoria del orbispace que miente en una carta del orbispace: es una variante directa de la prueba clásica que el grupo fundamental de un poliedro se puede identificar con su grupo de la borde-trayectoria.

que el orbispace se asoció a un orbihedron tiene una estructura métrica canónica del, viniendo localmente de la longitud métrica en la realización geométrica estándar en espacio euclidiano, con las cimas trazadas a una base ortonormal. Otras estructuras métricas también se utilizan, implicando la métrica de la longitud obtenida realizando los simplexes en el espacio hiperbólico, con los simplexes identificados isométrico a lo largo de límites comunes.

que el orbispace asociado a un orbihedron es el non-positively curvado si y solamente si el acoplamiento en cada carta del orbihedron tiene circunferencia mayor o igual 6, es decir cualquier circuito cerrado en el acoplamiento tiene longitud por lo menos 6. Esta condición, bien conocida de la teoría Hadamard espacia, depende solamente del complejo subyacente de grupos.

cuando el orbihedron universal de la cubierta non-positively se curva el grupo fundamental es infinito y es generado por las copias isomorfas de los grupos de la isotropía. Esto sigue del resultado correspondiente para los orbispaces.

Triángulos de grupos
Uno de los usos más importantes de orbifolds en la teoría de grupo geométrica ha estado históricamente a los triángulos del de los grupos . Éste es el ejemplo de 2 dimensiones más simple que generaliza el " de 1 dimensión; intervalo del groups" discutido en el Serre 's da una conferencia en los árboles, donde los productos libres unidos se estudian en términos de acciones en árboles. Tales triángulos de grupos se presentan cualquier momento un grupo discreto actúa en los triángulos en el afina simplemente transitivo los Bruhat-Tits que construyen para el SL ₃ ( Q _p); en el 1979 Mumford descubrió el primer ejemplo para el p = 2 (véase abajo) como paso en producir una superficie algebraica no isomorfa al espacio descriptivo, pero teniendo los mismos triángulos de los números de Betti de grupos fueron resueltos detalladamente por Gersten y los atascos, mientras que la caja más general de complejos de grupos, descritos arriba, fue desarrollada independiente por Haefliger. El método geométrico subyacente de analizar finito a actuales grupos en términos de espacios métricos de la curvatura no positiva es debido a Gromov. En este contexto los triángulos de grupos corresponden a los complejos simplicial de 2 dimensiones non-positively curvados con la acción regular de un grupo, transitivo en los triángulos . Un triángulo del de los grupos es un complejo simple del de los grupos que consisten en un triángulo con el A, B, C de las cimas. Hay grupos

Γ_A, Γ_B, Γ_C en cada cima
Γ_BC, Γ_CA, Γ_AB para cada borde
Γ_ABC para el triángulo sí mismo
Hay los homomorphisms inyectivos de Γ_ABC en el resto de grupos y de un grupo Γ_XY del borde en Γ_X y Γ_Y. Las tres maneras de trazar Γ_ABC en un grupo de la cima todo convienen. (Γ_ABC es a menudo el grupo trivial.) La estructura métrica euclidiana en el orbispace correspondiente non-positively se curva si y solamente si el acoplamiento de cada uno de las cimas en la carta del orbihedron tiene circunferencia por lo menos 6.
Esta circunferencia en cada cima está siempre incluso y, según lo observado por Stallings, se puede describir en un A de la cima, por ejemplo, como la longitud de la palabra más pequeña en el núcleo del homomorfismo natural en Γ_A del producto libre unido sobre Γ_ABC de los grupos Γ_AB y Γ_AC del borde:

$\ Gamma_ {AB} \ star_ {\, \ Gamma_ {ABC}} \ Gamma_ {} \ rightarrow \ Gamma_A.$ de la CA
El resultado usar la estructura métrica euclidiana no es óptimo. Pesca el α con caña, β, γ en el A, B de las cimas y el C fue definido por Stallings como 2π dividido por la circunferencia. En el α euclidiano del caso, β, ≤ π/3. Sin embargo, si se requiere solamente que el π del ≤ del α + del β + del γ, él es posible identificar triángulo con el triángulo geodésico correspondiente en el plano hiperbólico con el Poincaré métrico (o el plano euclidiano si asimientos de la igualdad). Es un resultado clásico de la geometría hiperbólica que los puntos medios hiperbólicos intersecan en el barycentre hiperbólico, apenas como en el caso euclidiano familiar. El la subdivisión baricéntrica y métrico de esta producción modelo una estructura métrica non-positively curvada en el orbispace correspondiente. Así, si α+β+γ≤π,
el
el orbispace del triángulo de grupos es desarrollable;
el grupo correspondiente de la borde-trayectoria, que se puede también describir como el Colimit del triángulo de grupos, es infinito;
los homomorphisms de los grupos de la cima en el grupo de la borde-trayectoria son inyecciones.

Ejemplo de Mumford
Dejar el α = el $\ raíz cuadrada {- 7}$ sea dado por la extensión binomial (1-8) de ^1/2 en el Q ₂ y fijan el K = $del Q (α) \ el Q$ ₂ del subconjunto . Dejar ζ del l = i /7 del exp 2π λ del
l = (&minus del α; 1)/2 = ζ + ζ² + ζ⁴ μ del
l = λ/λ*.
Dejar el E = el Q (ζ), un espacio de vector de 3 dimensiones sobre el K con la base 1, ζ y ζ². Definir el K - operadores lineares en el E como sigue:
el σ es el generador del grupo de Galois E sobre el K, un elemento de la orden 3 dada por el σ (ζ) = ζ²
el τ es el operador de la multiplicación al lado de ζ en el E, un elemento de la orden 7
el ρ es el operador dado por el ρ (ζ) = 1, el ρ (ζ²) = ζ y el ρ (1) = μ·ζ², de modo que ρ³ sea multiplicación escalar al lado de μ.
El ρ, el σ y el τ de los elementos generan un subgrupo discreto de GL ₃ ( K ) que actúe el en el afine correctamente los Bruhat-Tits que construyen que corresponde al SL ₃ ( Q ₂). Este grupo actúa el transitivo en todas las cimas, bordes y triángulos en el edificio. Dejado
l σ₁ = σ, σ₂ = ρσρ^{− 1}, σ₃ = ρ²σρ^{− 2}.
Entonces
el
σ₁, σ₂ y σ₃ genera un subgrupo Γ del SL ₃ ( K ).
Γ es el subgrupo más pequeño generado por el σ y el τ, conjugación inferior invariante por el ρ.
Γ actúa el simplemente transitivo en los triángulos en el edificio.
Hay un triángulo Δ tales que el estabilizador de sus bordes es los subgrupos de la orden 3 generada por el i del σ_{.
El estabilizador del las cimas de Δ es el grupo de Frobenius de la orden 21 generada por los dos elementos de la orden 3 que estabilizan los bordes que se encuentran en la cima.
El estabilizador de Δ es trivial.}
El σ y el τ de los elementos generan el estabilizador de una cima. El acoplamiento de esta cima se puede identificar con el edificio esférico del SL ₃ ( F ₂) y el estabilizador se puede identificar con el grupo del collineation Fano plano generado por un σ de tres veces de la simetría que fija un punto y un τ de los 7 puntos, σ satisfying de la permutación cíclica del ² del =τ del στ. La identificación del F ₈* con el plano de Fano, σ se puede tomar para ser la restricción del σ del automorfismo de Frobenius ( x ) = ² del x del F ₈ y τ para ser multiplicación por cualquier elemento no en el F ₂, es decir un generador del campo primero de la orden 7 del grupo multiplicativo cíclico del F ₈. Este grupo de Frobenius actúa simplemente transitivo en las 21 banderas en el plano de Fano, es decir alinea con los puntos marcados. Las fórmulas para el σ y el τ en " del E así; lift" las fórmulas en el F ₈.
Mumford también obtiene un simplemente transitivo de la acción en las cimas del edificio pasando a un subgrupo de Γ₁ = <ρ, σ, τ, - I>. El grupo Γ₁ preserva el Q (α) - forma hermitiana valorada
f (x, y)=xy* + σ (xy*) del + σ² (xy*)
en el Q (ζ) y se puede identificar con el GL ₃ ( S ) del $\ cap$ del U ₃(f) donde el S = el Z . Desde el S /(α) = F ₇, hay un homomorfismo del grupo Γ₁ en el GL ₃ ( F ₇). Esta acción deja a invariante el subespacio de 2 dimensiones en el F ₇³ y por lo tanto da lugar a un homomorfismo Ψ de Γ₁ en el SL ₂ ( F ₇), un grupo de la orden 16·3·7. Por una parte el estabilizador de una cima es un subgrupo de la orden 21 y Ψ es inyectivo en este subgrupo. Así si el subgrupo Γ₀ de la congruencia se define como la imagen inversa debajo de Ψ de los 2 - subgrupo de Sylow SL ₂ ( F ₇), la acción de Γ₀ en cimas debe ser simplemente transitivo.

Generalizaciones
Otros ejemplos de triángulos o los complejos de 2 dimensiones de grupos se pueden construir por variaciones del ejemplo antedicho.
El carretero y todo consideran acciones en los edificios que son simplemente transitivo en las cimas . Cada tal acción produce un bijection (o dualidad modificada) entre el x de los puntos y alinea el x * en la bandera complejo de un plano descriptivo finito y de una colección de triángulos orientados de los puntos ( x, el y, el z ), permutación cíclica inferior invariante, tal que el x miente en el z *, el y miente en el x * y el z miente en el y * y cualquier dos puntos determinan únicamente el tercero. Los grupos producidos tienen el x de los generadores, etiquetado por los puntos, y xyz del de las relaciones = 1 para cada triángulo. Genéricamente esta construcción no corresponderá a una acción en un clásico afina el edificio.
Más generalmente, como se muestra por Ballmann y Brin, los datos algebraicos similares codifican todas las acciones que estén simplemente transitivo en las cimas de un complejo simplicial de 2 dimensiones non-positively curvado, con tal que el acoplamiento de cada cima tenga circunferencia por lo menos 6. Estos datos consisten en:

un determinado de generación S que contiene lo contrario, pero no la identidad;

un sistema del k del h de g del de las relaciones = 1, permutación cíclica inferior invariante.
El g de los elementos en etiqueta del S el g de las cimas · v en el acoplamiento de un fijo v de la cima; y las relaciones corresponden a los bordes (^{&minus de g del ; 1}· v, h · v ) en ese acoplamiento. El gráfico con el S de las cimas y los bordes ( g, h ), para el ^{&minus de g del ; 1} el h en el S, debe tener circunferencia por lo menos 6. El complejo simplicial original se puede reconstruir usar complejos de grupos y de la segunda subdivisión baricéntrica.
Otros ejemplos de complejos de 2 dimensiones non-positively curvados de grupos han sido construidos por Swiatkowski basado en el de las acciones simplemente transitivo en los bordes orientados e inducción de una simetría de tres veces en cada triángulo; en este caso el complejo de grupos se obtiene también de la acción regular en la segunda subdivisión baricéntrica. El ejemplo más simple, descubierto anterior con Ballmann, empieza con un finito H del grupo con un sistema simétrico del S de los generadores, no conteniendo la identidad, tales que el gráfico correspondiente de Cayley tiene circunferencia por lo menos 6. Un τ de la involución genera al grupo asociado el H y conforme a (τg) ³ = 1 para cada g en el S .
De hecho, si actúa Γ de esta manera, fijando un borde ( v, w ), hay un τ de la involución que intercambia el v y el w . El acoplamiento del v se compone del g de las cimas · w para el g en un simétrico S del subconjunto del H = v de Γ_{, generando el H si el acoplamiento está conectado. La asunción en triángulos implica eso}
τ·( g · w ) = ^{&minus de g del ; 1}· w
para el g en el S . Así, si g del σ = del τ y u = ^{&minus de g del ; 1}· w, entonces σ del
l ( v ) = w, σ ( w ) = u, σ ( u ) = w .
Por transitividad simple en el triángulo ( v, w, u ), sigue ese σ³ = 1.
La segunda subdivisión baricéntrica da un complejo de los grupos que consisten en singletons o pares de triángulos barycentrically subdivididos unidos a lo largo de sus lados grandes: estos pares son puestos en un índice por el S /~ del espacio de cociente obtenido identificando lo contrario en el S . El solo o el " coupled" los triángulos alternadamente se ensamblan a lo largo de un " común; spine". Todos los estabilizadores de simplexes son triviales a excepción de las dos cimas en los extremos de la espina dorsal, con el H de los estabilizadores y el <τ>, y de las cimas restantes de los triángulos grandes, con el estabilizador generado por un σ apropiado. Tres de los triángulos más pequeños en cada triángulo grande contienen elementos de transición.
Cuando todos los elementos del S son involuciones, ningunos de los triángulos necesitan ser doblados. Si el H se toma para ser el Dihedral D ₇ del grupo de la orden 14, generado por un de la involución un y un b del elemento de la orden 7 tales que ab del
l = ^{&minus del b ; 1} un,
entonces el H es generado por el de 3 involuciones un, el ab y el ab ⁵. El acoplamiento de cada cima es dado por el gráfico correspondiente de Cayley, es tan apenas el gráfico bipartito, es decir exactamente igual de Heawood que en el edificio de la afinación para el SL ₃ ( Q ₂). Esta estructura del acoplamiento implica que el complejo simplicial correspondiente es necesario un edificio euclidiano . Actualmente, sin embargo, parece ser desconocida si ninguno de estos tipos de acción se pueden de hecho observar en un clásico afinan el edificio: El grupo Γ₁ (escalares de Mumford del modulo) es solamente simplemente transitivo en los bordes, no en los bordes orientados.

orbifolds de 2 dimensiones
En dos dimensiones, hay tres tipos singulares del punto de un orbifold:
Un punto del límite
Un elíptico n de la moción de orden, tal como el origen del R ² quotiented hacia fuera por un grupo cíclico del n de la orden de rotaciones.
Un reflector de la esquina del n de la orden: el origen del R ² quotiented hacia fuera por un grupo dihedral del n de la orden 2. Un orbifold de 2 dimensiones compacto tiene un Euler característico Χ del dado por &Chi del ; = Χ ( X ₀) − Σ (1 − 1 i del _{del n ) /2 − Σ (1 − 1 i}) del _{del m donde está el Euler característico del multíple topológico subyacente X ₀, y el Χ ( X ₀) i} del _{del n son las pedidos de los reflectores de la esquina, y el i} del _{del m es las pedidos de los puntos elípticos.}
Un orbifold conectado compacto de 2 dimensiones tiene una estructura hiperbólica si su característica de Euler es menos de 0, una estructura euclidiana si es 0, y si su característica de Euler es positiva él es cualquier maÌn o tiene una estructura elíptica (un orbifold se llama malo si no tiene un múltiple como espacio de la cubierta). Es decir su espacio universal de la cubierta tiene una estructura hiperbólica, euclidiana, o esférica.
Los orbifolds conectados de 2 dimensiones compactos que no son hiperbólicos se enumeran en la tabla abajo. Los 17 orbifolds parabólicos son los cocientes del plano al lado de los 17 grupos del papel pintado

orbifolds de 3 dimensiones
Un múltiple 3 reputa el pequeños si es cerrado, irreducible y no contiene ningunas superficies incompresibles. Teorema de Orbifold del . dejó el M ser un pequeño múltiple 3. Dejar el φ ser un diffeomorphism orientación-que preserva periódico no trivial del M . Entonces el M admite a estructura hiperbólica o Seifert fibered φ-invariante.
Este teorema es un caso especial del teorema de la geometrización de Thurston para los orbifolds de 3 dimensiones, anunciado sin prueba en 1981; forma la parte de su conjetura de la geometrización para 3 múltiples . Particularmente implica que si el X es un acuerdo, el orbifold conectado, orientable, irreducible, atoroidal 3 con lugar geométrico singular no vacío, después el M tiene una estructura geométrica (en el sentido de orbifolds). Las pruebas completas del teorema han sido dadas por Boileau, Leeb y Porti y fabricante de vinos, Hodgson y Kerckhoff.

Orbifolds en teoría de la secuencia
En la teoría de la secuencia, el " de la palabra; orbifold" tiene levemente un nuevo significado. Para los matemáticos, un orbifold es una generalización de la noción del múltiple que permite la presencia de los puntos cuya vecindad es el diffeomorphic a un cociente de $R^n$ de un grupo finito, es decir/\ Gamma del $R^n. En la física, la noción de un orbifold describe generalmente un objeto que se pueda global escribir como espacio M/G de la órbita donde M sea un múltiple (o una teoría), y G es un grupo de sus isometries (o de simetrías) - no no necesario todos. En teoría de la secuencia, estas simetrías no tienen que tener una interpretación geométrica.$ Una teoría de campo de Quantum definida en un orbifold se convierte en cercana singular los puntos fijos de $G$ . Sin embargo la teoría de la secuencia nos requiere agregar las nuevas partes del espacio de Hilbert cerrado de la secuencia - a saber los sectores twisted donde están periódicos los campos definidos en las secuencias cerradas hasta una acción de $G$ . Orbifolding es por lo tanto un procedimiento general de la teoría de la secuencia para derivar una nueva teoría de la secuencia de una vieja teoría de la secuencia en la cual los elementos de $G$ se han identificado con la identidad. Tal procedimiento reduce el número de estados porque los estados deben ser invariantes debajo de $G$ , pero también aumenta el número de estados debido a los sectores twisted adicionales. El resultado es generalmente una teoría perfectamente lisa, nueva de la secuencia.
El D-branes que propaga en los orbifolds es descrito, en las energías bajas, por las teorías del calibrador definidas por los diagramas de la aljaba que las secuencias abiertas atadas a estos D-branes no tienen ninguÌn sector twisted, y así que el número de estados de la secuencia abierta es reducido por el procedimiento orbifolding.
Más específicamente, cuando el grupo G del orbifold es un subgrupo discreto de isometries del espacio-tiempo, después si no tiene ninguÌn punto fijo, el resultado es generalmente un espacio liso compacto; el sector twisted consiste en las secuencias cerradas heridas alrededor de la dimensión compacta, que se llaman states $winding.$
Cuando el grupo G del orbifold es un subgrupo discreto de isometries del espacio-tiempo, y tiene puntos fijos, después éstos tienen generalmente singularidades cónicas, porque el Z_k Rⁿ/tiene tal singularidad en el punto fijo Z_k . En teoría de la secuencia, las singularidades gravitacionales son generalmente una muestra de los grados adicionales de la libertad que están situados en el punto del lugar geométrico en espacio-tiempo. En el caso del orbifold estos grados de libertad son los estados twisted, que son " de las secuencias; stuck" en los puntos fijos. Cuando los campos relacionados con estos estados twisted adquieren un valor de expectativa diferente a cero del vacío, la singularidad está deformida, es decir el métrico se cambia y se llega a ser regular a este punto y alrededor de ella. Un ejemplo para una geometría resultante es es espacio-tiempo de Eguchi-Hanson .
Desde el punto de vista de D-branes en la vecindad de los puntos fijos, la teoría eficaz de las secuencias abiertas atadas a estos D-branes es una teoría de campo supersymmetric, cuyo espacio de vacíos tiene un punto singular, donde existen los grados de libertad sin masa adicionales. Los campos relacionados con la secuencia cerrada torcieron pares del sector a las secuencias abiertas a fin de agregar un término de Fayet-Illiopolys a la teoría de campo supersymmetric de Lagrange, de modo que cuando tal campo adquiere un valor de expectativa diferente a cero del vacío, el término de Fayet-Illiopolys sea diferente a cero, y de tal modo deformen la teoría (es decir cambios él) de modo que exista la singularidad no más.
Zenithic
OrbifoldRandom links: Roy Hattersley | Partido del centro (Noruega) | Guo XI | Listas de ciudades de los E.E.U.U. con las poblaciones étnicas grandes | Ella laborea Bloor}}}

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