La tercera condición se puede indicar más exactamente, en términos de extensión de escalares del R a los números verdaderos que encajan el R en un espacio de vector verdadero (equivalente, tomando el producto de tensor sobre el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$). En términos menos formales, aditivo el O debe ser un grupo abeliano libremente generado por una base para el R sobre el $\backslash \; el\; mathbb\; \{Q\}$.

El ejemplo principal es el caso donde está un el R K del campo de número y el $\backslash \; \{O\}$ mathcal es su anillo de los números enteros . En la teoría del número algébrico hay ejemplos para cualquier K con excepción del campo racional de los subrings apropiados del anillo de los números enteros que son también órdenes. Por ejemplo en los números enteros gausianos podemos tomar subring de

$a+bi,$ del

para qué b es un número par . Un resultado básico en órdenes indica que el anillo de números enteros en el K es la orden máxima único: el resto de las órdenes en el K se contienen en él.

Cuando el R no es un anillo comutativo, la idea de la orden es todavía importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los quaternions de Hurwitz son una orden máxima en el Quaternions con racional coordinan; no son los quaternions con coordenadas del número entero en el sentido más obvio. Las órdenes máximas existen generalmente pero no necesitan ser las órdenes del máximo del : no hay en general orden más grande, sino un número de órdenes máximas. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupo integrales

Porque hay un principio Local-global para los enrejados la pregunta máxima de la orden se puede examinar en un nivel del campo local . Esta técnica se aplica en la teoría y la teoría del número algébrico de la representación modular.