l este artículo está sobre el oscilador armónico en mecánicos clásicos. Para su uso en los mecánicos de Quantum, ver el oscilador armónico de Quantum. En los mecánicos clásicos, un oscilador armónico es un sistema que, cuando está desplazado de su posición de equilibrio, experimenta una fuerza de restauración F proporcional a la dislocación x según la ley de Hooke: del F = - k x \, donde está un k positivo constante.
Si F es la única fuerza que actúa en el sistema, el sistema se llama un oscilador armónico simple, y experimenta el movimiento armónico simple : Oscilaciones sinusoidales sobre el punto de equilibrio, con una amplitud constante y una frecuencia constante (que no depende de la amplitud ).
Si una fuerza friccional ( que humedece ) proporcional a la velocidad está también presente, el oscilador armónico se describe como oscilador humedecido . En tal situación, la frecuencia de las oscilaciones es más pequeña que en el caso no-humedecido, y la amplitud de las oscilaciones disminuye con tiempo.
Si una fuerza dependiente del tiempo externa está presente, el oscilador armónico se describe como oscilador conducido .
Los ejemplos mecánicos incluyen el pendula (con pequeños ángulos de la dislocación), masas conectadas con los resortes y el acústico otros sistemas análogos de los sistemas incluye los osciladores armónicos eléctricos tales como circuitos RLC (véase los sistemas equivalentes abajo).
l F = - k x \,
Usar de Newton la ley en segundo lugar del l F = m a = - k x \,
l F = m a = - k x \,
La aceleración, a es igual al segundo derivado de x. m \ frac del l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} = - k x
l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} = - k x
Si definimos el {\ omega_0} ^2 = k/m, después la ecuación puede ser escrita como sigue, \ frac del l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2 x = 0 Observamos eso: \ frac {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2} = \ ddot x = \ frac {\ mathrm {} \ punto {x} de d} {\ mathrm {d} t} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} x} = \ frac {\ mathrm {} \ punto {x} de d} {\ mathrm {d} x} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} = \ frac {\ mathrm {} \ punto de d {x}} {\} \ punto {x} del mathrm {d} x y substituyendo \ frac {\ mathrm {} \ punto {x} de d} {\ mathrm {d} x} \ punto x + {\ omega_0} ^2 x = 0 \ mathrm {d} \ punto {} \ cdot \ punto x de x + {\ omega_0} ^2 x \ cdot \ mathrm {d} x = 0 del \ punto de integración {x} ^2 + {\ omega_0} ^2 x^2 = K donde está la integración el K constante, fija el K = (&omega del del A ; 0) 2 \ punto {x} ^2 = A^2 {\ omega_0} ^2- {\ omega_0} ^2 x^2 \ punto {x} = \ P. {\ omega_0} \ raíz cuadrado {A^2 - x^2} \ frac {\ mathrm {d} x} {\ P. \ raíz cuadrada {A^2 - x^2}} = {\ omega_0} \ mathrm {d} t integrando, los resultados (&phi incluyendo del constante de la integración;) son el del \ comienzan {los casos} \ = \ omega_0 del arcsin {\ frac {x} {A}} t + \ \ \ \ de la phi + = \ omega_0 de los arccos {\ frac {x} {A}} t \ phi \ extremo {casos}
l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2 x = 0
y tiene la solución general x del l = A \ lechuga romana {t + (\ omega_0 \ phi)} \,
l = A \ lechuga romana {t + (\ omega_0 \ phi)} \,
donde el A de la amplitud \, y el ponen en fase el \ la phi de \, los son determinados por las condiciones iniciales.
Alternativo, la solución general se puede escribir como x del l = A \ pecado {t + (\ omega_0 \ phi)} \,
l = A \ pecado {t + (\ omega_0 \ phi)} \,
donde el valor del \ de la phi \, es cambiado de puesto por el \ pi/2 \, de concerniente a la forma anterior;
o como
x = A \ pecado {\ omega_0 t} + B \ lechuga romano} \, {\ omega_0 t
donde están los constantes el A \, y B \, que son determinados por las condiciones iniciales, en vez de A \, y \ phi \, de en las formas anteriores.
La frecuencia de las oscilaciones se da cerca
¡ del del f --> del \ displaystyle f = \ frac {\ omega_0} {2 \ pi} = \ frac {1} {2 \ pi} \ raíz cuadrada {\ frac {k} {m}} La energía cinética es = \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2} k A^2 \ sin^2 t + (\ omega_0 \ phi) de m \ dejado (\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} \ derecho) del T del l ^2. y la energía potencial es U del l = \ = \ frac {1} {2} k A^2 \ cos^2 t + (\ omega_0 \ phi) del frac {1} {2} k x^2 la energía total del sistema tiene tan el valor constante = \ frac {1} {2} k A^2. del E del l Oscilador armónico conducido Un oscilador armónico conducido satisface la ecuación diferencial linear del segundo no homogéneo de la orden \ frac del l del {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = A_0 \ lechuga romana (\ Omega t), donde está la amplitud y el el A_ {0} de conducción \ omega es la frecuencia la conducción para un mecanismo de arrastre sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en los circuitos de la CA LC (inductor - condensador ) y los sistemas idealizados del resorte que carecen la resistencia mecánica interna o la resistencia de aire del external . Oscilador armónico humedecido considera también: que humedece el Un oscilador armónico humedecido satisface la ecuación diferencial de la segunda orden \ frac {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + \ frac {} \ frac de b} {m {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + {\ omega_0} ^2x = 0, donde está un constante b que humedece experimental resuelto que satisface el F de la relación = - bv. Un ejemplo de un sistema que obedece esta ecuación sería un submarino cargado del resorte si la fuerza que humedece ejercida por el agua se asume para ser linear proporcional a v. La frecuencia del oscilador armónico humedecido se da cerca \ omega_1 del l = \ raíz cuadrada {\ omega_0^2 - R_m^2} donde R_m= del l \ frac {b} {los 2m}. Oscilador armónico humedecido, conducido Esto satisface la ecuación m \ frac del l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + r \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + kx= F_0 \ lechuga romana (\ Omega t). La solución general es una suma de un transitorio (la solución para humedecido undriven el oscilador armónico, la ODA homogénea ) que depende de condiciones iniciales, y de un de estado estacionario (solución particular de la ODA nonhomogenous) que es independiente de condiciones iniciales y depende solamente de conducir frecuencia, fuerza impulsora, fuerza de restauración, la fuerza que humedece, La solución de estado estacionario es x (t) = \ frac {F_0} {} \ pecado (\ - \ phi de Z_m \ de Omega de Omega t) donde = \ raíz cuadrada {r^2 + \ dejado (\ - \ frac {k} de Z_m del del l de Omega m {\ Omega} \ derecho) ^2} es el valor absoluto de la impedancia o de la función de respuesta linear del l Z = R+ i \ - dejado (\ de Omega \ frac {k} m {\ Omega} \ derecho) y \ phi del l = \ arctan \ dejado (\ frac {\ - \ frac {k} de Omega m {\ Omega}} {r} \ derecho) es la fase de la oscilación concerniente a la fuerza impulsora. Uno pudo ver ese para cierta frecuencia de conducción, \ Omega , la amplitud (concerniente a un F_0 dado) es máximo. Esto ocurre para la frecuencia = \ raíz cuadrada {\ frac {k} {m} - 2 \ dejados (\ frac {r} {2 m} \ derecho) ^2} del _r del del l {\ Omega} y se llama la resonancia del de la dislocación . En resumen: en un de estado estacionario la frecuencia de la oscilación es igual que la de la fuerza impulsora, pero la oscilación es fase-compensó y escaló por las cantidades que dependen de la frecuencia de la fuerza impulsora en lo referente a la frecuencia (resonante) preferred del sistema oscilante. Ejemplo: Circuito RLC. Definición matemática completa La mayoría de los osciladores armónicos, por lo menos aproximadamente, solucionan la ecuación diferencial: \ frac {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + \ frac {} \ frac de b} {m {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + {\ omega_0} ^2x = A_0 \ lechuga romana (\ Omega t) donde está tiempo el t, el b es el constante que humedece, ωo es la frecuencia angular característico, y el A ocos ( t del ω) representa algo que conduce el sistema con el A o de la amplitud y el ω de la frecuencia angular. el x es la medida que está oscilando; puede ser posición, corriente, o casi todo lo demás. La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia, f, cerca = \ frac del del l f {\ Omega} {2 \ pi}. Términos importantes Amplitud : dislocación máxima del equilibrio . Período: el tiempo toma el sistema para terminar un ciclo de la oscilación. Lo contrario de la frecuencia . Frecuencia : el número de ciclos que el sistema se realiza por el tiempo de unidad (medido generalmente en el Hertz = 1/s). Frecuencia angular : \ Omega = 2 \ pi f Fase : cuánto de un ciclo el sistema terminó (el sistema que comienza es en la fase cero, el sistema que terminó mitad de un ciclo está en el \ pi de la fase). Condiciones iniciales el estado del sistema en el t = 0, el principio de oscilaciones. Oscilador armónico simple Un oscilador armónico simple es simplemente un oscilador se humedece ni se conduce que ni. Tan la ecuación para describir uno es: \ frac del l del {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = 0. Físicamente, el antedicho existe nunca realmente, puesto que habrá siempre fricción o una cierta otra resistencia, pero dos ejemplos aproximados son una masa en un resorte y un circuito del LC. En el caso de una masa atada a un resorte, las leyes de Newton, combinaron con la ley de Hooke para el comportamiento de un resorte, indican eso: del l del - k x = mA \, el l donde está el el k constante m resorte es el x del de la masa es la posición del total del que un es su aceleración . Porque el de la aceleración un es el segundo derivado del x de la posición, podemos reescribir la ecuación como sigue: del l del - k x = m \ frac {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2}. La solución más simple a la ecuación diferencial antedicho es x = A \ lechuga romano (\ Omega t + \) \, del delta y el segundo derivado de ése es \ frac del l del {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2} = - A \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t) el donde está la amplitud el A, δ del es el desplazamiento de fase, y el ω es la frecuencia angular . Tapando éstos nuevamente dentro de la ecuación diferencial original, tenemos: del l del - una k \ una lechuga romana (\ + \ delta de Omega t) = - un m \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t). \, Entonces, después de dividiendo ambo lado por -A \ lechuga romano (\ Omega t + \) \, del delta conseguimos: k del l del = m \ omega^2 \, o, como él se escribe más comunmente: = \ raíz cuadrada del \ de Omega del del {\ frac {k} {m}}. La fórmula antedicha revela que el ω de la frecuencia angular de la solución es solamente dependiente sobre las características físicas del sistema, y no las condiciones iniciales (ésos son representados por el A y el δ). Etiquetaremos este ω como ωo de ahora en adelante. Éste se convertirá en más adelante importante. Ecuación universal del oscilador El del de la ecuación \ el frac {\ mathrm {d} ^2q} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} + 2 \ zeta \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {} \ tau de d} + q = 0 se conoce como la ecuación universal del oscilador del puesto que todos los sistemas oscilatorios lineares de la segunda orden se pueden reducir a esta forma. Esto se hace a través Nondimensionalization . Si forzando función es f ( t ) = lechuga romano (ωt del ) = lechuga romano ( ωtcτ ) = lechuga romano (τ ω), donde ω = ωtc, ecuación se convierte \ frac {\ mathrm {d} ^2q} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} + 2 \ zeta \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {} \ tau de d} + q = \ lechuga romana (\ Omega \ tau). La solución a esta ecuación diferencial contiene dos porciones, el " transient" y el " " de estado estacionario;. Solución transitoria La solución basada en solucionar la ecuación diferencial ordinaria está para el arbitrario c 1 de los constantes y el c 2 es q_t (\ tau) = \ comienza {e^ de los casos} {- \} \ a la izquierda de la zeta \ tau (e^ c_1 {\ tau \ raíz cuadrada {\ zeta^2 - 1}} + e^ c_2 {- \ tau \ raíz cuadrada {\ zeta^2 - 1}} \) y derecho \ zeta > 1 \ \ mbox {(overdamping)} \ \ e^ {- \ zeta \ tau} (c_1+c_2 \ tau) = y \ zeta del e^ {- \ tau} (c_1+c_2 \ tau) = 1 \ \ mbox {(amortización crítica)} \ \ e^ {- \ zeta \ tau} \ c_1 dejado \ lechuga romana \ (\ raíz cuadrado {1 \ zeta^2} \ tau \ derecho) +c_2 dejado \ pecado \ y dejado (\ raíz cuadrado {1 \ zeta^2} \ tau \ derecho) \ derecho \ zeta < 1 \ \ mbox {(underdamping)} \ extremo {casos} La solución transitoria es independiente de la función que fuerza. Si el sistema se humedece críticamente, la respuesta es independiente de humedecer. Solución de estado estacionario Aplicar el " method" de las variables complejas ; solucionando la ecuación auxiliar abajo y después encontrando la parte real de su solución: del \ frac {\ mathrm {d} ^2 q} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} + 2 \ zeta \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {} \ tau de d} + q = \ lechuga romana (\ Omega \ tau) + i \ pecado (\ Omega \ tau) = e^ {i \ Omega \ tau}. Suponer la solución está de la forma ¡ del \, \! q_s (\ tau) = e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}. Sus derivados a partir de la cero al segundo orden son q_s del = el e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}, \ \ frac {\ el mathrm {d} q_s} {\ mathrm {} \ tau de d} = i \ el e^ de Omega A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}, \ \ frac {\ el mathrm {d} ^2 q_s} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} = el e^ - \ omega^2 A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}. Substituir estas cantidades en la ecuación diferencial da ¡ del \, \! e^ - \ omega^2 A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} de + e^ 2 \ zeta i \ Omega A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} + e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} = (- \ omega^2 A \, + \, 2 \ zeta i \ Omega A \, + \, A) e^ {i (\ Omega \ tau + \ phi)} = e^ {i \ Omega \ tau}. División por el término exponencial en los resultados izquierdos adentro ¡ del \, \! - \ omega^2 A + 2 \ zeta i \ Omega = \ lechuga romana \ phi de A + de A = del e^ {- i \ phi} - i \ pecado \ phi. La comparación de las piezas verdaderas e imaginarias da lugar al A independiente del de dos ecuaciones (1 \ omega^2)= \ lechuga romana \ phi \ qquad 2 \ zeta \ Omega A = - \ pecado \ phi. Pieza de la amplitud Ajustar ambas ecuaciones y el adición de ellas junto da el del \ se fueron. \ comienzan {matriz} A^2 (1 \ omega^2)^2 = \ \ \ (de cos^2 \ de la phi 2 \ = \ sin^2 \ phi \ extremo {matriz} \ derecho \} \ Rightarrow de la zeta \ de Omega A)^2 A^2 + (2 \ zeta \ Omega) ^2 = 1. Por la convención la raíz positiva es tomada puesto que la amplitud se considera generalmente una cantidad positiva. Por lo tanto, A del = = \ frac de A (\, \ Omega de la zeta) {1} {\ raíz cuadrada {(1 \ omega^2)^2 + (2 \ zeta \ Omega) ^2}}. Comparar este resultado con la sección de la teoría en la resonancia, así como el " part" de la magnitud; del circuito RLC. Esta función de la amplitud es particularmente importante en el análisis y la comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas second-order. Observar que las variables en estas ecuaciones deben ser identificadas antes de demostrar la ecuación. Pieza de la fase Para solucionar para φ, dividen ambo ecuación conseguir \ tan \ phi = - \ frac {2 \ zeta \ Omega} {1 - \ omega^2} = \ frac {2 \ zeta \ Omega} {\ omega^2 - 1} \ Rightarrow \ phi \ equivalente \ phi (\, \ Omega de la zeta) = \ arctan \ a la izquierda (\ frac {2 \ zeta \ Omega} {\ omega^2 - 1} \ derecho). Esta función de la fase es particularmente importante en el análisis y la comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas second-order. Solución completa ¡Combinar los resultados de las porciones de la amplitud y de la fase en el del de la solución de estado estacionario \, \! q_s (\ tau) = A (\ zeta, \) \ lechuga romana de Omega (\ Omega \ tau + \ phi (\, \ Omega de la zeta)) = A \ lechuga romana (\ Omega \ tau + \ phi). La solución de la ecuación universal original del oscilador es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estacionario ¡ del \, \! q (\ tau) = q_t (\ tau) + q_s (\ tau). Para una descripción más completa de cómo solucionar la ecuación antedicha, ver las odas lineares con los coeficientes constantes . Sistemas equivalentes Los osciladores armónicos que ocurren en un número de áreas de la ingeniería son equivalentes en el sentido que sus modelos matemáticos son idénticos (véase la ecuación universal del oscilador arriba). Debajo está una tabla que demuestra cantidades análogas en cuatro sistemas armónicos del oscilador en mecánicos y electrónica. Si los parámetros análogos en la misma línea en la tabla se dan numéricamente valores iguales, el comportamiento de los osciladores será igual. Usos El problema del oscilador armónico simple ocurre con frecuencia en la física debido a la forma de su función de la energía potencial: V del l (x) = \ frac {1} {2} k x^2. Dado un V arbitrario de la función de la energía potencial (x), uno puede hacer una extensión de Taylor en términos de x alrededor de un mínimo de la energía (x = x_0) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones del equilibrio. + \ frac {1} {2} (x-x_0) del V del l (x) = V (x_0) + V'((x-x_0) x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3 Porque el V (x_0) es un mínimo, el primer derivado evaluado en x_0 debe ser cero, así que el término linear sale: V del l (x) = + \ frac {1} {2} (x-x_0) de V (x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3 El V ( x 0) del término constante es arbitrario y puede ser caído así, y una transformación coordinada permite que la forma del oscilador armónico simple sea recuperada: V del l (x) \ aproximadamente \ = \ frac {1} {2} k x^2 del frac {1} {2} x^2 V^ {(2)} (0) Así, dado un V arbitrario de la función de la energía potencial (x) con un segundo derivado no-vanishing, uno puede utilizar la solución al oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para las pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio. Ejemplos Péndulo simple No si se asume que ninguÌn humedecer y pequeña amplitud, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple es {\ mathrm {d} ^2 \ theta \ sobre \ mathrm {d} t^2} + {g \ sobre \} \ theta=0. de la ana La solución a esta ecuación se da cerca: \ theta (t) = \ theta_0 \ lechuga romana \ ido (\ raíz cuadrada {g \ sobre \ ana} t \) derecho \ patio \ patio \ patio \ patio |\ theta_0| \ ll 1 donde está el ángulo el \ theta_0 más grande logrado por el péndulo. El período, la época para una oscilación completa, es dado por 2 \ pi divididos por lo que está multiplicando el tiempo en la discusión del coseno T_0 = 2 \ pi \ raíz cuadrado {\ ana \ sobre} \ patio \ patio \ patio \ patio de g |\ theta_0| \ ll 1. Péndulo que hace pivotar sobre placa giratoria El movimiento armónico simple se puede considerar en algunos casos para ser la proyección unidimensional del movimiento circular de dos dimensiones. Considerar un péndulo largo que hace pivotar sobre la placa giratoria de un jugador de registro . En el borde de la placa giratoria hay un objeto. Si el objeto se ve del mismo nivel que la placa giratoria, una proyección del movimiento del objeto parece moverse al revés y remite en una línea recta. Es posible cambiar la frecuencia de la rotación de la placa giratoria para tener una sincronización perfecta con el movimiento del péndulo. La velocidad angular de la placa giratoria es la pulsación del péndulo. Generalmente la pulsación del - también conocida como frecuencia angular, de un movimiento armónico simple rectilíneo es la velocidad angular del movimiento circular correspondiente. Por lo tanto, un movimiento con el T del período y el T del f =1/de la frecuencia tiene pulsación \ = \ frac {2 \ pi} {T} de omega=2 del l \ del pi f. Generalmente la pulsación y la velocidad angular no son sinónimas. Por ejemplo la pulsación de un péndulo no es la velocidad angular del péndulo sí mismo, sino que es la velocidad angular del movimiento circular correspondiente. sistema de la Resorte-masa Cuando un resorte es estirado o comprimido por una masa, el resorte desarrolla una fuerza de restauración. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte es comprimido o estiró cierta longitud: el F del l \ salió (t \ derecho) del =kx \ salió (t \ derecho) de donde está la fuerza el F, el k es el constante del resorte, y el x es la dislocación de la masa con respecto a la posición de equilibrio. Esta relación demuestra que la distancia del resorte está siempre frente a la fuerza del resorte. Usando el balance de la fuerza o un método de la energía, puede ser demostrado fácilmente que el movimiento de este sistema es dado por la ecuación diferencial siguiente: el m \ frac {\ ^ del mathrm {d} {2} del } del {\ el ^ del mathrm {d} {t} {2}} x \ salió (t \ derecho) de +kx (t)=0. Si la dislocación inicial es A, y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación se da cerca: x \ del (t \ derecho) =A \ lechuga romana dejada \ ((\ raíz cuadrada {k/m}) t \ derecho dejados). ; Variación de la energía en el sistema del resorte-apagador En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía, de la energía potencial y de la energía cinética . Cuando se estira o se comprime un resorte, almacena la energía potencial de elástico, que entonces se transfiere en energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte es determinada por el de la ecuación U el = 1/2 \, el ^ de k {x} {2}. Cuando se estira o se comprime el resorte, la energía cinética de la masa consigue convertida en la energía potencial del resorte. Por la conservación de la energía, si se asume que el dato es definido en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su energía potencial máxima, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se lanza el resorte, el resorte intentará alcanzar de nuevo a equilibrio, y toda su energía potencial se convierte en la energía cinética del Massachusetts. ZenithicDNS zoneRandom links:Cristal del lago, Minnesota | El municipio de Southside, Minnesota | En la etapa (álbum del arco iris) | Simcoe del norte | HMAS Warramunga (I44)
La energía cinética es = \ frac {1} {2} = \ frac {1} {2} k A^2 \ sin^2 t + (\ omega_0 \ phi)
l ^2.
y la energía potencial es U del l = \ = \ frac {1} {2} k A^2 \ cos^2 t + (\ omega_0 \ phi) del frac {1} {2} k x^2
l = \ = \ frac {1} {2} k A^2 \ cos^2 t + (\ omega_0 \ phi)
la energía total del sistema tiene tan el valor constante = \ frac {1} {2} k A^2.
l
l del {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = A_0 \ lechuga romana (\ Omega t),
donde está la amplitud y el el A_ {0} de conducción \ omega es la frecuencia la conducción para un mecanismo de arrastre sinusoidal. Este tipo de sistema aparece en los circuitos de la CA LC (inductor - condensador ) y los sistemas idealizados del resorte que carecen la resistencia mecánica interna o la resistencia de aire del external .
considera también: que humedece el
Un oscilador armónico humedecido satisface la ecuación diferencial de la segunda orden
\ frac {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + \ frac {} \ frac de b} {m {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + {\ omega_0} ^2x = 0,
donde está un constante b que humedece experimental resuelto que satisface el F de la relación = - bv. Un ejemplo de un sistema que obedece esta ecuación sería un submarino cargado del resorte si la fuerza que humedece ejercida por el agua se asume para ser linear proporcional a v.
La frecuencia del oscilador armónico humedecido se da cerca \ omega_1 del l = \ raíz cuadrada {\ omega_0^2 - R_m^2} donde R_m= del l \ frac {b} {los 2m}.
l = \ raíz cuadrada {\ omega_0^2 - R_m^2}
l \ frac {b} {los 2m}.
l {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + r \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + kx= F_0 \ lechuga romana (\ Omega t).
La solución general es una suma de un transitorio (la solución para humedecido undriven el oscilador armónico, la ODA homogénea ) que depende de condiciones iniciales, y de un de estado estacionario (solución particular de la ODA nonhomogenous) que es independiente de condiciones iniciales y depende solamente de conducir frecuencia, fuerza impulsora, fuerza de restauración, la fuerza que humedece,
La solución de estado estacionario es
x (t) = \ frac {F_0} {} \ pecado (\ - \ phi de Z_m \ de Omega de Omega t)
donde = \ raíz cuadrada {r^2 + \ dejado (\ - \ frac {k} de Z_m del del l de Omega m {\ Omega} \ derecho) ^2}
l de Omega m {\ Omega} \ derecho) ^2}
es el valor absoluto de la impedancia o de la función de respuesta linear del l Z = R+ i \ - dejado (\ de Omega \ frac {k} m {\ Omega} \ derecho)
l Z = R+ i \ - dejado (\ de Omega \ frac {k} m {\ Omega} \ derecho)
y \ phi del l = \ arctan \ dejado (\ frac {\ - \ frac {k} de Omega m {\ Omega}} {r} \ derecho)
l = \
es la fase de la oscilación concerniente a la fuerza impulsora.
Uno pudo ver ese para cierta frecuencia de conducción, \ Omega , la amplitud (concerniente a un F_0 dado) es máximo. Esto ocurre para la frecuencia = \ raíz cuadrada {\ frac {k} {m} - 2 \ dejados (\ frac {r} {2 m} \ derecho) ^2}
l {\ Omega}
y se llama la resonancia del de la dislocación .
En resumen: en un de estado estacionario la frecuencia de la oscilación es igual que la de la fuerza impulsora, pero la oscilación es fase-compensó y escaló por las cantidades que dependen de la frecuencia de la fuerza impulsora en lo referente a la frecuencia (resonante) preferred del sistema oscilante.
Ejemplo: Circuito RLC.
\ frac {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + \ frac {} \ frac de b} {m {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t} + {\ omega_0} ^2x = A_0 \ lechuga romana (\ Omega t)
donde está tiempo el t, el b es el constante que humedece, ωo es la frecuencia angular característico, y el A ocos ( t del ω) representa algo que conduce el sistema con el A o de la amplitud y el ω de la frecuencia angular. el x es la medida que está oscilando; puede ser posición, corriente, o casi todo lo demás. La frecuencia angular se relaciona con la frecuencia, f, cerca = \ frac del del l f {\ Omega} {2 \ pi}.
l f {\ Omega} {2 \ pi}.
l del {\ mathrm {d} ^2x} {\ mathrm {d} t^2} + {\ omega_0} ^2x = 0.
Físicamente, el antedicho existe nunca realmente, puesto que habrá siempre fricción o una cierta otra resistencia, pero dos ejemplos aproximados son una masa en un resorte y un circuito del LC.
En el caso de una masa atada a un resorte, las leyes de Newton, combinaron con la ley de Hooke para el comportamiento de un resorte, indican eso: del l del - k x = mA \, el
l del - k x = mA \,
l donde está el el k constante m resorte es el x del de la masa es la posición del total del que un es su aceleración .
Porque el de la aceleración un es el segundo derivado del x de la posición, podemos reescribir la ecuación como sigue: del l del - k x = m \ frac {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2}.
l del - k x = m \ frac {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2}.
La solución más simple a la ecuación diferencial antedicho es
x = A \ lechuga romano (\ Omega t + \) \, del delta
y el segundo derivado de ése es \ frac del l del {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2} = - A \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t) el
l del {\ mathrm {d} ^2 x} {\ mathrm {d} t^2} = - A \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t)
donde está la amplitud el A, δ del es el desplazamiento de fase, y el ω es la frecuencia angular .
Tapando éstos nuevamente dentro de la ecuación diferencial original, tenemos: del l del - una k \ una lechuga romana (\ + \ delta de Omega t) = - un m \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t). \,
l del - una k \ una lechuga romana (\ + \ delta de Omega t) = - un m \ omega^2 \ lechuga romana (\ + \ delta de Omega t). \,
Entonces, después de dividiendo ambo lado por -A \ lechuga romano (\ Omega t + \) \, del delta conseguimos: k del l del = m \ omega^2 \,
l del = m \ omega^2 \,
o, como él se escribe más comunmente: = \ raíz cuadrada del \ de Omega del del {\ frac {k} {m}}.
La fórmula antedicha revela que el ω de la frecuencia angular de la solución es solamente dependiente sobre las características físicas del sistema, y no las condiciones iniciales (ésos son representados por el A y el δ). Etiquetaremos este ω como ωo de ahora en adelante. Éste se convertirá en más adelante importante.
se conoce como la ecuación universal del oscilador del puesto que todos los sistemas oscilatorios lineares de la segunda orden se pueden reducir a esta forma. Esto se hace a través Nondimensionalization .
Si forzando función es f ( t ) = lechuga romano (ωt del ) = lechuga romano ( ωtcτ ) = lechuga romano (τ ω), donde ω = ωtc, ecuación se convierte \ frac {\ mathrm {d} ^2q} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} + 2 \ zeta \ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {} \ tau de d} + q = \ lechuga romana (\ Omega \ tau).
La solución a esta ecuación diferencial contiene dos porciones, el " transient" y el " " de estado estacionario;.
q_t (\ tau) = \ comienza {e^ de los casos} {- \} \ a la izquierda de la zeta \ tau (e^ c_1 {\ tau \ raíz cuadrada {\ zeta^2 - 1}} + e^ c_2 {- \ tau \ raíz cuadrada {\ zeta^2 - 1}} \) y derecho \ zeta > 1 \ \ mbox {(overdamping)} \ \ e^ {- \ zeta \ tau} (c_1+c_2 \ tau) = y \ zeta del e^ {- \ tau} (c_1+c_2 \ tau) = 1 \ \ mbox {(amortización crítica)} \ \ e^ {- \ zeta \ tau} \ c_1 dejado \ lechuga romana \ (\ raíz cuadrado {1 \ zeta^2} \ tau \ derecho) +c_2 dejado \ pecado \ y dejado (\ raíz cuadrado {1 \ zeta^2} \ tau \ derecho) \ derecho \ zeta < 1 \ \ mbox {(underdamping)} \ extremo {casos}
La solución transitoria es independiente de la función que fuerza. Si el sistema se humedece críticamente, la respuesta es independiente de humedecer.
Suponer la solución está de la forma ¡ del \, \! q_s (\ tau) = e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}.
Sus derivados a partir de la cero al segundo orden son q_s del = el e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}, \ \ frac {\ el mathrm {d} q_s} {\ mathrm {} \ tau de d} = i \ el e^ de Omega A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}, \ \ frac {\ el mathrm {d} ^2 q_s} {\ mathrm {} \ tau^2 de d} = el e^ - \ omega^2 A {i (\ Omega \ tau + \ phi)}.
Substituir estas cantidades en la ecuación diferencial da ¡ del \, \! e^ - \ omega^2 A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} de + e^ 2 \ zeta i \ Omega A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} + e^ de A {i (\ Omega \ tau + \ phi)} = (- \ omega^2 A \, + \, 2 \ zeta i \ Omega A \, + \, A) e^ {i (\ Omega \ tau + \ phi)} = e^ {i \ Omega \ tau}.
División por el término exponencial en los resultados izquierdos adentro ¡ del \, \! - \ omega^2 A + 2 \ zeta i \ Omega = \ lechuga romana \ phi de A + de A = del e^ {- i \ phi} - i \ pecado \ phi.
La comparación de las piezas verdaderas e imaginarias da lugar al A independiente del de dos ecuaciones (1 \ omega^2)= \ lechuga romana \ phi \ qquad 2 \ zeta \ Omega A = - \ pecado \ phi.
Por la convención la raíz positiva es tomada puesto que la amplitud se considera generalmente una cantidad positiva. Por lo tanto, A del = = \ frac de A (\, \ Omega de la zeta) {1} {\ raíz cuadrada {(1 \ omega^2)^2 + (2 \ zeta \ Omega) ^2}}.
Comparar este resultado con la sección de la teoría en la resonancia, así como el " part" de la magnitud; del circuito RLC. Esta función de la amplitud es particularmente importante en el análisis y la comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas second-order.
Observar que las variables en estas ecuaciones deben ser identificadas antes de demostrar la ecuación.
Esta función de la fase es particularmente importante en el análisis y la comprensión de la respuesta de frecuencia de los sistemas second-order.
La solución de la ecuación universal original del oscilador es una superposición (suma) de las soluciones transitorias y de estado estacionario ¡ del \, \! q (\ tau) = q_t (\ tau) + q_s (\ tau).
Para una descripción más completa de cómo solucionar la ecuación antedicha, ver las odas lineares con los coeficientes constantes .
l (x) = \ frac {1} {2} k x^2.
Dado un V arbitrario de la función de la energía potencial (x), uno puede hacer una extensión de Taylor en términos de x alrededor de un mínimo de la energía (x = x_0) para modelar el comportamiento de pequeñas perturbaciones del equilibrio. + \ frac {1} {2} (x-x_0) del V del l (x) = V (x_0) + V'((x-x_0) x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3
l (x) = V (x_0) + V'((x-x_0) x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3
Porque el V (x_0) es un mínimo, el primer derivado evaluado en x_0 debe ser cero, así que el término linear sale: V del l (x) = + \ frac {1} {2} (x-x_0) de V (x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3
l (x) = + \ frac {1} {2} (x-x_0) de V (x_0) ^2 V^ {(2)} (x_0) + O (x-x_0) ^3
El V ( x 0) del término constante es arbitrario y puede ser caído así, y una transformación coordinada permite que la forma del oscilador armónico simple sea recuperada: V del l (x) \ aproximadamente \ = \ frac {1} {2} k x^2 del frac {1} {2} x^2 V^ {(2)} (0)
l (x) \ aproximadamente \ = \ frac {1} {2} k x^2
Así, dado un V arbitrario de la función de la energía potencial (x) con un segundo derivado no-vanishing, uno puede utilizar la solución al oscilador armónico simple para proporcionar una solución aproximada para las pequeñas perturbaciones alrededor del punto de equilibrio.
No si se asume que ninguÌn humedecer y pequeña amplitud, la ecuación diferencial que gobierna un péndulo simple es
{\ mathrm {d} ^2 \ theta \ sobre \ mathrm {d} t^2} + {g \ sobre \} \ theta=0. de la ana
La solución a esta ecuación se da cerca:
\ theta (t) = \ theta_0 \ lechuga romana \ ido (\ raíz cuadrada {g \ sobre \ ana} t \) derecho \ patio \ patio \ patio \ patio |\ theta_0| \ ll 1
donde está el ángulo el \ theta_0 más grande logrado por el péndulo. El período, la época para una oscilación completa, es dado por 2 \ pi divididos por lo que está multiplicando el tiempo en la discusión del coseno
T_0 = 2 \ pi \ raíz cuadrado {\ ana \ sobre} \ patio \ patio \ patio \ patio de g |\ theta_0| \ ll 1.
La velocidad angular de la placa giratoria es la pulsación del péndulo.
Generalmente la pulsación del - también conocida como frecuencia angular, de un movimiento armónico simple rectilíneo es la velocidad angular del movimiento circular correspondiente.
Por lo tanto, un movimiento con el T del período y el T del f =1/de la frecuencia tiene pulsación \ = \ frac {2 \ pi} {T} de omega=2 del l \ del pi f.
l \ del pi f.
Generalmente la pulsación y la velocidad angular no son sinónimas. Por ejemplo la pulsación de un péndulo no es la velocidad angular del péndulo sí mismo, sino que es la velocidad angular del movimiento circular correspondiente.
Cuando un resorte es estirado o comprimido por una masa, el resorte desarrolla una fuerza de restauración. La ley de Hooke da la relación de la fuerza ejercida por el resorte cuando el resorte es comprimido o estiró cierta longitud: el F del l \ salió (t \ derecho) del =kx \ salió (t \ derecho) de
l \ salió (t \ derecho) del =kx \ salió (t \ derecho) de
donde está la fuerza el F, el k es el constante del resorte, y el x es la dislocación de la masa con respecto a la posición de equilibrio.
Esta relación demuestra que la distancia del resorte está siempre frente a la fuerza del resorte.
Usando el balance de la fuerza o un método de la energía, puede ser demostrado fácilmente que el movimiento de este sistema es dado por la ecuación diferencial siguiente: el m \ frac {\ ^ del mathrm {d} {2} del } del {\ el ^ del mathrm {d} {t} {2}} x \ salió (t \ derecho) de +kx (t)=0.
} del {\ el ^ del mathrm {d} {t} {2}} x \ salió (t \ derecho) de +kx (t)=0.
Si la dislocación inicial es A, y no hay velocidad inicial, la solución de esta ecuación se da cerca: x \ del (t \ derecho) =A \ lechuga romana dejada \ ((\ raíz cuadrada {k/m}) t \ derecho dejados).
; Variación de la energía en el sistema del resorte-apagador
En términos de energía, todos los sistemas tienen dos tipos de energía, de la energía potencial y de la energía cinética . Cuando se estira o se comprime un resorte, almacena la energía potencial de elástico, que entonces se transfiere en energía cinética. La energía potencial dentro de un resorte es determinada por el de la ecuación U el = 1/2 \, el ^ de k {x} {2}.
Cuando se estira o se comprime el resorte, la energía cinética de la masa consigue convertida en la energía potencial del resorte. Por la conservación de la energía, si se asume que el dato es definido en la posición de equilibrio, cuando el resorte alcanza su energía potencial máxima, la energía cinética de la masa es cero. Cuando se lanza el resorte, el resorte intentará alcanzar de nuevo a equilibrio, y toda su energía potencial se convierte en la energía cinética del Massachusetts.
