En las matemáticas, la parábola ( pəˈræbələ, del griego παραβολή ) es una sección cónica generada por la intersección de una superficie cónica circular correcto y de un plano paralelo a una línea recta de generación de esa superficie. Una parábola puede también ser definida mientras que el lugar geométrico señala en un plano que sean equi [[la distancia distante]] de un punto dado (el foco del ) y una línea dada (la directriz del ).

Un caso particular se presenta cuando el plano es tangente a la superficie cónica. En este caso, la intersección es una parábola degenerada que consiste en una línea recta .

La parábola es un concepto importante en matemáticas abstractas, pero también se ve con considerable frecuencia en el mundo físico, y hay muchos usos prácticos para la construcción en la ingeniería, la física, y otros dominios.

Ecuaciones de la geometría analítica

¡En los coordenadas cartesianos, una parábola con un eje paralelo al $y\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡eje\; de$ con el $de\; la\; cima\; (h,\; k)\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$, $del\; foco\; (h,\; k\; +\; p)\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$, y directriz $y\; =\; k\; -\; p\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$, con el $p\; \backslash ,\; \backslash !$ que es la distancia de la cima al foco, tiene la ecuación con el eje paralelo al y-axis $del$

l (x - h)^2 = 4p (y - k) \,

o, alternativo con el eje paralelo al x-axis $del$

l (y - k)^2 = 4p (x - h) \,

Más generalmente, una parábola es una curva en el plano de cartesiano definida por una ecuación irreducible de la forma $A\; del$

l x^2 + B xy + C y^2 + D x + E y + F = 0 \,

tales que $B^2\; =\; 4\; CAs\; \backslash ,$, donde están verdaderos todos los coeficientes, donde $A\; \backslash \; not=\; 0\; \backslash ,$ o $C\; \backslash \; not=\; 0\; \backslash ,$, y donde más de una solución, definiendo un par de puntos (x, y) en la parábola, existe. Que la ecuación es medios irreducibles él no descompone en factores como producto de dos ecuaciones lineares no no necesario distintas.

Otras definiciones geométricas

Una parábola se puede también caracterizar como sección cónica con una excentricidad de 1. como consecuencia de esto, todas las parábolas es el similar. Una parábola se puede también obtener como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que el otro se permite mover arbitrariamente lejano en una dirección. En este sentido, una parábola se puede considerar una elipse que tenga un foco en el infinito . La parábola es lo contrario transforma de un Cardioid .

Una parábola tiene un solo eje de la simetría reflexiva, que pasa a través de su foco y es perpendicular a su directriz. El punto de la intersección de este eje y de la parábola se llama la cima. Una parábola hizo girar sobre este eje en tres rastros de las dimensiones hacia fuera una forma conocida como paraboloide de la revolución.

La parábola se encuentra en situaciones numerosas en el mundo físico (véase abajo).

Ecuaciones

(con la cima ( h, k ) y el p de la distancia entre la cima y el foco - observar que si la cima está debajo del foco, o equivalente sobre la directriz, p es positivo, si no p es negativo; semejantemente con el eje horizontal de la simetría p es positivo si la cima está a la izquierda del foco, o equivalente a la derecha de la directriz)

Cartesiano

Eje vertical de la simetría $del\; de$

(x - h)^2 = 4p (y - k) \,

l $y\; =\; a\; (x-h)\; ^2\; +\; k\; \backslash ,$

l $y\; =\; ax^2\; +\; bx\; +\; c\; \backslash ,$ del\; de$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; del\; mbox\; \{donde\}\; a\; \{4p\};\; \backslash \; \backslash \; b\; =\; \backslash \; frac\; \{-\; h\}\; \{2p\};\; \backslash \; \backslash \; c\; =\; \backslash \; frac\; \{h^2\}\; \{4p\}\; +\; k;\; =\; \backslash \; frac\; del$ h\; del$$
\ \ {- b} {2a}; \ \ k = \ frac {4ac - b^2} {4a} . $x\; del$

l (t) = 2pt + h; \ \ y (t) = pt^2 + k \,

Eje horizontal de la simetría $del\; de$

(y - k)^2 = 4p (x - h) \, $x\; del$

l = a (y - k)^2 + h \, $x\; del$

l = ay^2 + por + c \, $del\; de$ \ = \ frac {1} del mbox {donde} a {4p}; \ \ b = \ frac {- k} {2p}; \ \ c = \ frac {k^2} {4p} + h; = \ frac {4ac - b^2} {4a} del $h\; del$
\ \ ; \ \ k = \ frac {- b} {2a} . $x\; del$

l (t) = pt^2 + h; \ \ y (t) = 2pt + k \, de

Recto de Semi-latus y coordenadas polares

En los coordenadas polares, una parábola con el foco en el origen y la directriz en el positivo x - el eje, es dado por el $r\; del\; de\; la\; ecuación\; (1\; +\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta)\; =\; l\; \backslash ,$

donde está el recto el l de Semilatus: la distancia del foco a la parábola sí mismo, medido a lo largo de una línea perpendicular al eje. Observar que ésta es dos veces la distancia del foco al ápice de la parábola o la distancia perpendicular del foco al recto del latus.

forma Gauss-trazada

Una forma Gauss-trazada : $(\backslash \; tan^2\; \backslash \; phi,\; 2\; \backslash \; tan\; \backslash \; phi)$ tiene normal $(\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash ,\; \backslash pecado\backslash \; phi\; de\; la\; phi)$.

Derivación del foco

Dado una parábola paralela al y - eje con la cima (0.0) y con el $del\; de\; la\; ecuación\; y\; =\; x^2,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; \backslash \; qquad\; (1)$ entonces hay un &mdash del punto (0, f ); el &mdash del foco; tales que cualquier P del punto en la parábola será equidistante del foco y una línea perpendicular al eje de la simetría de la parábola (la directriz del linea del ), en este caso son paralelo a al eje del x . Puesto que la cima es uno de los puntos posibles P, sigue que la directriz del linea pasa a través del punto (0, - el f ). Tan para cualquie P= (x del punto, y), será equidistante de (0, f ) y (el x, - el f ). Se desea para encontrar el valor del f que tiene esta característica.

Dejar el F denotar el foco, y dejar el Q denotar el punto en (el x, - el f ). La línea punto de congelación del tiene la misma longitud que la línea QP .

$\backslash |\; Punto\; de\; congelación\; \backslash |\; =\; \backslash raíz\; cuadrada\{x^2\; +\; (y\; -\; f)^2\},$ del$$
de \| QP \| = $del$
de y + del F. \| Punto de congelación \| = \| QP \| $\backslash \; raíz\; cuadrada\; del$
de {x^2 + (un x^2 - f)^2} = x^2 + f \ qquad Ajustar ambos lados, $del\; x^2\; +\; (un\; x^2\; -\; f)^2\; =\; (x^2\; +\; f)^2\; \backslash $ del\; del$$
del qquad = a^2 x^4 + f^2 + 2 un x^2 f \ $patio$ x^2 + a^2 x^4 + f^2 - 2 un x^2 f = a^2 x^4 + f^2 + 2 un x^2 f \ patio Anular los términos de ambos lados, $x^2\; -\; 2\; del\; un\; x^2\; f\; =\; 2\; un\; x^2\; f,\; \backslash $ patio$x^2\; =\; 4\; un\; x^2\; F.\; \backslash patio$ Anular el x ² de ambos lados (el x no es generalmente cero), un $patio$ del $1\; =\; 4\; del\; una\; f\; \backslash \; f\; =\; \{1\; \backslash \; sobre\; 4\; a\}$ Ahora dejar el p=f del y la ecuación para la parábola se convierte en $del\; x^2\; =\; 4\; p\; y\; \backslash \; patio$ Q.

Todo el esto estaba para una parábola centrada en el origen. Para cualquie parábola generalizada, con su ecuación dada en la forma estándar

$y=ax^2+bx+c$, del

el foco está situado en el punto $del$

l \, dejado (\ del frac \ frac {- b^2} {4a} +c+ \ frac {1} {4a} \ derecho) {- b} {2a}

y la directriz es señalada por la ecuación $y=\; del$

l \ frac {- b^2} {4a} +c- \ frac {1} {4a}

Característica reflexiva de la tangente

La tangente de la parábola descrita por la ecuación (1) tiene $del\; de\; la\; cuesta\; \{dy\; \backslash \; sobre\; dx\}\; =\; 2\; x\; =\; \{2\; y\; \backslash \; sobre\; x\}$ Esta línea interseca el y - eje en el punto (0, - el y ) = (0, - un x ² ), y el x - eje en el punto ( x/2, 0). Dejar este punto ser llamado el G . El G del punto es también el punto mediano del F de los puntos y del Q : $del\; F\; =\; (0,\; f),\; \backslash \; patio$
$Q\; =\; (x,\; -\; f),\; \backslash \; patio$
$\{F\; +\; Q\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; \{(0,\; f)\; +\; (x,\; -)\; \backslash \; sobre\; de\; f\; 2\}\; =\; \{(x,\; 0)\; \backslash \; sobre\; 2\}\; =\; (\{x\; \backslash \; sobre\; 2\},\; 0).$ Puesto que el G es el punto mediano de la línea fq, éste significa ese $del\; \backslash |\; FG\; \backslash |\; \backslash \; cong\; \backslash |\; GQ\; \backslash |,$ y se sabe ya que el P es equidistante del F y del Q : $del\; \backslash |\; Picofaradio\; \backslash |\; \backslash \; cong\; \backslash |\; PQ\; \backslash |,$ y, en tercer lugar, la línea GP del es igual a sí mismo, por lo tanto: $del\; \backslash \; delta\; FGP\; \backslash \; cong\; \backslash \; delta\; QGP$

Sigue eso $\backslash \; ángulo\; FPG\; \backslash \; cong\; \backslash \; ángulo\; GPQ$.

La línea QP puede ser extendida más allá del P a un cierto T del punto, y la línea GP del puede ser extendida más allá del P a un cierto R del punto. Entonces el $\backslash \; el\; ángulo\; RPT$ y $\backslash \; el\; ángulo\; GPQ$ son el vertical, así que son iguales (congruente). Pero el $\backslash \; el\; ángulo\; GPQ$ es iguales al $\backslash \; al\; ángulo\; FPG$. Por lo tanto el $\backslash \; el\; ángulo\; RPT$ es iguales al $\backslash \; al\; ángulo\; FPG$.

La línea RG es tangente a la parábola en el P, así que cualquier haz luminoso que despide del P del punto se comportará como si la línea RG fuera un espejo y despedía de ese espejo.

Dejar un haz luminoso viajar abajo de la línea vertical TP y despedir apagado del P . El ángulo de la inclinación de haz del espejo es $\backslash \; el\; ángulo\; RPT$, así que cuando despide apagado, su ángulo de la inclinación debe ser igual al $\backslash \; al\; ángulo\; RPT$. Pero el $\backslash \; el\; ángulo\; FPG$ se ha demostrado para ser iguales al $\backslash \; al\; ángulo\; RPT$. Por lo tanto la viga despide apagado a lo largo de la línea punto de congelación del : directo hacia el foco.

Conclusión: Cualquier haz luminoso que se mueve verticalmente hacia abajo en la concavidad de la parábola (paralelo al eje de la simetría) despedirá de la parábola que se mueve directo hacia el foco. (Véase el reflector parabólico .)

Qué sucede a una parábola cuando " b" ¿varía?

¡ ¡ Cima del de una parábola: El encontrar y-coordina

Sabemos el x - el coordenada en la cima es $x=-\; \backslash \; el\; frac\; \{b\}\; \{2a\}$, así que substituirlo en la ecuación $y=ax^2+bx+c$ $y=a\; del$

l \ ido (- \ frac {b} {2a} \ derecho) ^2 + b \ ido (- \ frac {b} {2a} \ derecho) + - \ frac {b^2} {2a} del $=\; \backslash \; del\; frac\; del$
de c \ del qquad \ del textrm {Then~simplify \ ldots} {ab^2} {4a^2} + - \ frac {2 \ cdot b^2} {2 \ cdot 2a} del $=\; \backslash \; del\; frac\; del$
de c {b^2} {4a} + c \ $=\; cdot\; \backslash \; del\; frac\; \{4a\}\; \{4a\}$ \ frac {- b^2+4ac} {4a} = \ frac {D} {4a} del $=-\; \backslash \; del\; frac\; del$
{b^2-4ac} {4a}

Así, la cima está en el $del\; del\; punto\dots \; \backslash \; dejó\; (-\; \backslash \; frac\; \{b\}\; \{2a\},\; -\; \backslash \; frac\; \{D\}\; \{4a\}\; \backslash \; derecho)$

Parábolas en el mundo físico

En naturaleza, las aproximaciones de parábolas y los paraboloides se encuentran en muchas situaciones diversas. El caso más bien conocido de la parábola en la historia de la física es la trayectoria de una partícula o de un cuerpo en el movimiento bajo influencia de un campo gravitacional uniforme sin la resistencia de aire (por ejemplo, un vuelo del béisbol a través del aire, descuidando la fricción del aire). La trayectoria parabólica de proyectiles fue descubierta experimental por el Galileo en el siglo XVII temprano, que realizó experimentos con las bolas que rodaban en los planos inclinados. La forma parabólica para los proyectiles era el probado posterior matemáticamente al lado de Isaac Newton . Para los objetos extendidos en espacio, tal como un zambullidor que salta de un tablero de salto, el objeto sí mismo sigue un movimiento complejo mientras que gira, pero el centro de masa del objeto sin embargo forma una parábola. Como en todos los casos en el mundo físico, la trayectoria es siempre una aproximación de una parábola. La presencia de resistencia de aire, por ejemplo, tuerce siempre la forma, aunque a las velocidades bajas, la forma es una buena aproximación de una parábola. A velocidades más altas, por ejemplo en balística, la forma se tuerce y no se asemeja alto a una parábola.

Otra situación en la cual la parábola puede presentarse en naturaleza está en órbitas del dos-cuerpo, por ejemplo, del pequeño planetoid o del otro objeto bajo influencia de la gravitación del sol. Tales órbitas parabólicas son un caso especial que se encuentran raramente en naturaleza. Las órbitas que forman una hipérbola o una elipse son mucho mas comunes. De hecho, la órbita parabólica es el caso borderline entre esos dos tipos de órbita. Un objeto que sigue una órbita parabólica se mueve en la velocidad de escape exacta del objeto que es orbiting, mientras que las órbitas elípticas son más lentas y las órbitas hiperbólicas son más rápidas.

Las aproximaciones de parábolas también se encuentran en la forma de cables de los puentes de suspensión que que cuelgan libremente los cables no describen parábolas, pero algo las curvas catenarias . Bajo influencia de una carga uniforme (por ejemplo, la cubierta del puente), sin embargo, el cable está deformido hacia una parábola.

Los paraboloides se presentan en varias situaciones físicas también. El caso más bien conocido es el reflector parabólico, que es un espejo o un dispositivo reflexivo similar que concentra la luz u otras formas de la radiación electromágnetica a un punto focal común. El principio del reflector parabólico se pudo haber descubierto en el siglo III A. por el Archimedes del geómetra, que, según una leyenda de la veracidad discutible, construyó los espejos parabólicos para defender el Syracuse contra la flota romana, concentrando los rayos del sol para fijar el fuego a las cubiertas de las naves romanas. El principio fue aplicado a los telescopios en el siglo XVII. Hoy, los reflectores de paraboloide se pueden observar comúnmente a través de mucho del mundo en la microonda y antenas de plato basado en los satélites.

Los paraboloides también se observan en la superficie de un líquido confinado a un envase y girado alrededor del eje central. En este caso, la fuerza centrífuga hace el líquido subir las paredes del envase, formando una superficie parabólica. Éste es el principio detrás del telescopio líquido del espejo.

Los aviones usados para crear un estado ingrávido con objeto de la experimentación, tal como NASA 's “cometa del vómito,” siguen una trayectoria verticalmente parabólica por breves períodos para remontar el curso de un objeto en la caída libre, que produce el mismo efecto que la gravedad cero para la mayoría de los propósitos.

Ver también

Constante parabólico
Sección cónica
Catenaria
Espejo parabólico
Paraboloide
Hipérbola
Elipse

.

Zenithic

Alexander de Waghorn

Random links:

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