La paradoja de Borel del (conocido a veces como la paradoja de Borel-Kolmogorov del ) es una paradoja de la teoría de las probabilidades referente a las funciones de densidad condicionales de la probabilidad . Las mentiras de la paradoja de hecho que, contrariamente a la intuición, las funciones de densidad condicionales de probabilidad no son transformaciones coordinadas inferiores invariantes.

Suponer que tenemos dos variables al azar, el X y Y, con el p_{X del de la densidad de la probabilidad común, Y} ( x, y ). Podemos formar la densidad condicional para el Y dado el X, $p\_\; del$

l {Y|X} (y|x) = \ frac {p_ {X, Y} (x, y)} {p_ {X} (x)}

donde está la distribución el p_X ( x ) marginal apropiado.

Usar la regla de la substitución, podemos reparametrize la distribución común con el U de las funciones = el f ( X, Y ), el V = el g ( X, Y ), y podemos entonces formar la densidad condicional para el dado U del V. $p\_\; del$

l {V|U} (v|u) = \ frac {p_ {U, V} (u, v)} {p_ {U} (u)}

Dado una condición particular en el X y la condición equivalente en el U, intuición sugiere que el p_{Y condicional del de las densidades|X} ( y | x ) y p_{V del |U} ( v | el u ) debe también ser equivalente. Éste no es el caso en general.

Un ejemplo concreto

Una distribución uniforme

Nos dan la densidad de la probabilidad común

La densidad marginal del X se calcula para ser

La densidad condicional del Y dado el X está tan $p\_\; del$

l {Y|X} (y|x) = \ ido \ {\ comienzan {matriz} \ frac {1} {1+x}, y -1 < x \ le 0, \ patio - x < y < 1 \ \ \ \ \ frac {1} {1-x}, y 0 < x < 1, \ patio 0 < y < 1 - x \ \ \ \ 0, y \ mbox {si no} \ extremo {matriz} \ derecho.

cuál es uniforme con respecto al y .

Reparametrization

Ahora, aplicamos la transformación siguiente: = \ frac {X} {Y} + 1 \ qquad \ qquad V del $U\; del$

l = Y.

Usar la regla de la substitución, obtenemos

La distribución marginal se calcula para ser

La densidad condicional del dado U del V está tan $p\_\; del$

l {V|U} (v|u) = \ ido \ {\ comienzan {matriz} 2v, y 0 < u \ le 1, \ patio 0 < v < 1 \ \ 2u^2v, y 1 < u < + \ infty, \ patio 0 < v < \ frac {1} {u} \ \ 0, y \ mbox {si no} \ extremo {matriz} \ derecho.

cuál es uniforme del no con respecto al v .

El resultado unintuitive

Ahora escogemos una condición particular para demostrar la paradoja de Borel. La densidad condicional del Y dado el X = 0 es $p\_\; del$

l {Y|X} (y|x=0) = \ ido \ {\ comienzan {matriz} 1, y 0 < y < 1 \ \ 0, y \ mbox {si no} \ extremo {matriz} \ derecho.

La condición equivalente en el u - el sistema coordinado del v es el U = 1, y la densidad condicional del dado U del V = 1 es $p\_\; del$

l {V|U} (v|u=1) = \ ido \ {\ comienzan {matriz} 2v, y 0 < v < 1 \ \ 0, y \ mbox {si no} \ extremo {matriz} \ derecho.

Paradójico, el V = el Y y el X = 0 es equivalente al U = 1, pero $p\_\; del$

l {Y|X} (y|x = 0 p_) \ ne {V|U} (v|u = 1).