La paradoja de Galileo del es una demostración de una de las características asombrosamente de los sistemas infinitos

En su trabajo científico final, ciencias, Galileo dos del las nuevas hicieron dos declaraciones al parecer contradictorias sobre los números enteros positivos. Primero, algunos números son los cuadrados perfectos (es decir, el cuadrado de un cierto número entero, en el siguiente apenas llamado un cuadrado del ), mientras que no son otros; por lo tanto, todos los números, incluyendo ambos cuadrados y no-cuadrados, deben ser más numerosos que apenas los cuadrados. Pero, porque cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y para cada número hay exactamente un cuadrado; por lo tanto, no puede haber más de uno que del otro. (Esto es un uso temprano, aunque no el primer, de una prueba por la correspondencia una por de sistemas infinitos.)

Galileo concluyó que las ideas menos, del igual, y de mayor aplicado solamente a los sistemas finitos, y no tuvo sentido cuando estaba aplicado a los sistemas infinitos . En el siglo XIX, el chantre, usar los mismos métodos, demostró que mientras que el resultado de Galileo estaba correcto en relación a los números enteros e incluso a los números racionales, la conclusión general no siguió: algunos sistemas infinitos son más grandes que otros, en que no pueden ser puestos en correspondencia una por.

Galileo en sistemas infinitos

La sección relevante de las nuevas ciencias del dos se extracta abajo: ¡Información de los derechos reservados: Esta cita extendida se toma de la traducción de equipo y de Alfonso de Salvio de Henry de 1914, que está en el public domain. Dominus 06:15, 12 y de octubre de 2003 (UTC) -->

Simplicio : Aquí una dificultad se presenta cuál aparece a mí insoluble. Puesto que está claro que podemos tener una línea mayor que otra, cada uno que contiene un número infinito de puntos, nos fuerzan a admitir que, dentro de uno y de la misma clase, podemos tener algo mayor que infinito, porque el infinito de puntos en la larga cola es mayor que el infinito de puntos en la línea corta. Esto que asigna a una cantidad infinita un valor mayor que infinito está absolutamente más allá de mi comprensión.

Salviati : Éste es una de las dificultades que se presentan cuando intentamos, con nuestras mentes finitas, discutir el infinito, asignándole esas características que demos el al finito y limitado; pero esto que pienso es incorrecto, porque no podemos hablar de cantidades infinitas como siendo el que está mayor o inferior o igual otro. Para probar esto tengo en mente una discusión cuál, por claridad, pondré bajo la forma de preguntas a Simplicio que planteó esta dificultad.

l lo tomo para dado que usted sabe cuáles de los números son cuadrados y cuáles no son.

Simplicio : Soy absolutamente consciente que un número ajustado es uno que resulta de la multiplicación de otro número por sí mismo; estos 4, 9, etc., son los números ajustados que vienen de multiplicar 2, 3, etc.

Salviati : Muy bien; y usted también sabe que apenas mientras que los productos se llaman los cuadrados así que los factores están llamados los lados o las raíces; mientras que por una parte esos números que no consisten en dos factores iguales no son cuadrados. ¿Por lo tanto si afirmo que todos los números, incluyendo ambos cuadrados y no-cuadrados, son más que los cuadrados solamente, yo hablar la verdad, no?

Simplicio : Lo más ciertamente posible.

Salviati : Si pido más lejos son cuántos cuadrados allí uno puede ser que conteste verdad que hay tanto como el número correspondiente de raíces, puesto que cada cuadrado tiene su propia raíz y cada raíz su propio cuadrado, mientras que ningún cuadrado tiene más de una raíz y ninguna raíz más de un cuadrado.

Simplicio : Exacto tan.

Salviati : Pero si investigo son cuántas raíces allí, no puede ser negado que hay tanto como los números porque cada número es la raíz de un cierto cuadrado. Este que es concedido, debemos decir que hay tantos cuadrados pues hay números porque son apenas tan numerosos como sus raíces, y todos los números son raíces. Con todo al principio dijimos que hay muchos más números que cuadrados, puesto que la porción más grande de ellos no es cuadrados. No sólo así pues, solamente el número proporcionado de cuadrados disminuye mientras que pasamos a números más grandes, así hasta 100 tenemos 10 cuadrados, es decir, los cuadrados constituyen 1/10 porción de todos los números; hasta 10000, encontramos solamente 1/100 porción para ser cuadrados; y hasta millón de solamente 1/1000 porción; por una parte en un número infinito, si uno podría concebir de tal cosa, lo forzarían a admitir que hay tantos cuadrados pues hay números tomados todos junto.

Sagredo : ¿Qué entonces debe uno concluir bajo estas circunstancias?

Salviati : En cuanto veo podemos deducir solamente que la totalidad de todos los números es infinita, que el número de cuadrados es infinito, y que el número de sus raíces es infinito; ni está el número de cuadrados menos que la totalidad de todos los números, ni el 3ultimo mayor que el anteriores; y finalmente el " de las cualidades; igual, " " mayor, " y " menos, " no son aplicables a infinito, sino solamente a finito, las cantidades. Cuando por lo tanto Simplicio introduce varias líneas de diversas longitudes y me pregunta cómo es posible que las más largas no contienen más puntos que cuanto más cortos son, le contesto que una línea no contiene más o menos o apenas tantos puntos como otra, sino que que cada línea contiene un número infinito. ¡traducción de equipo y de Alfonso de Salvio de Henry de 1914, que está en el public domain. Dominus 06:15, 12 y de octubre de 2003 (UTC) --> |Galileo|Dos nuevas ciencias

.