En las matemáticas, un pidió los pares es una colección de dos objetos no no necesario distintos, una cuyo se distingue mientras que el primero coordina (o entrada del la primera o la proyección dejada ) y la otra como del el coordenada (entrada del segundo, proyección correcta en segundo lugar del ). La notación común para un par pedido con el primer del coordenada un y el en segundo lugar coordinado b es ( un, el b ). (Advirtiendo: esta notación ( un, b ) también denota un intervalo abierto en la línea de número verdadero . El $de\; la\; notación\; \backslash \; el\; langle\; variables\; a,\; b\; \backslash \; rangle$ para los pares pedidos extingue esta ambigüedad.)

Generalidades

Dejado ( un ₁, b ₁) y ( un ₂, el b ₂) ser dos pares pedidos. Entonces el característico o el que define la característica de de pares pedidos es: ( un ₁, b ₁) = ( un ₂, b ₂) ↔ ( un ₁ = un & de ₂; b de ₁ = b ₂).

Los pares pedidos pueden tener otros pares pedidos como proyecciones. Por lo tanto el par pedido permite la definición recurrente de los tuples pedidos (listas pedidas '' n '' - de términos del n ). Por ejemplo, el triple pedido ( a, b, c ) se puede definir como ( un, (el b, c )), como un par jerarquizado en otro. Este acercamiento se refleja en lenguajes el de programación de computadora, donde está posible construir una lista de elementos de pares pedidos jerarquizados. Por ejemplo, la lista (1 2 3 4 5) se convierte (1, (2, (3, (4, (5, {}))))). El balbucea las aplicaciones de programación del lenguaje las listas tales que su estructura de datos primaria.

La noción de pares pedidos es crucial para la definición del producto de cartesiano y de la relación . ¡sistema y cuyo segundo elemento esté en un cierto Y del sistema se llame el producto de cartesiano del X y del Y, y × escritos del X ; Y . Una relación binaria sobre el &cup del X del campo; El Y es un subconjunto de × del X ; Y . -->

Definiciones teóricas determinadas de los pares pedidos

La característica característica de los pares pedidos mencionados en la sección precedente es toda que es necesario entender que la manera pidió pares está utilizada en la literatura matemática. Sin embargo, con objeto de fundaciones de las matemáticas se ha considerado deseable expresar la definición de cada tipo de objeto matemático en términos de sistemas y para los pares pedidos esto se ha hecho de varias maneras.

Definición de la salchicha de Francfort

La salchicha de Francfort de Norberto propuso la definición teórica del primer sistema de los pares pedidos en 1914: ( x, y ): = . Él observó que esta definición permitiría que todos los tipos de Principia Mathematica del fueran expresados usar sistemas solamente. (En Principia Mathematica, relaciones de todos los arities era primitivo.)

La definición estándar de Kuratowski

En la teoría determinada axiomática, el par pedido ( un, b ) se define generalmente como los pares de Kuratowski : ( un, b ) _K: = { { un }, { un, b } } . La declaración que el x es el primer elemento de un pedido p de los pares se puede entonces formular como el $\backslash \; forall\; \{Y\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{p\}\; del\; :\; \{x\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{Y\}$ y ese x es el segundo elemento del p como $del\; (\backslash \; existe\; \{Y\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{p\}:\; \{x\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{Y\})\; \backslash \; y\; (\backslash \; forall\; \{Y\_\; \{1\},\; Y\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{p\}:\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; ne\; Y\_\; \{2\}\; \backslash \; rarr\; (\{x\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; o\; del\; notin\}\; \{Y\_\; \{1\}\; \{x\}\; \{\backslash \; notin\}\; \{Y\_\; \{2\}\}))$. Observar que esta definición es todavía válida para el pedido p de los pares = (el x, el x ) = {{el x }, {el x, el x }} = {{el x }, {el x }} = {{el x }}; en este caso el $de\; la\; declaración\; (\backslash \; forall\; \{Y\_\; \{1\},\; Y\_\; \{2\}\}\; \{\backslash \; adentro\}\; \{p\}:\; Y\_\; \{1\}\; \backslash \; ne\; Y\_\; \{2\}\; \backslash \; rarr\; (\{x\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; o\; del\; notin\}\; \{Y\_\; \{1\}\; \{x\}\; \{\backslash \; notin\}\; \{Y\_\; \{2\}\}))$ es trivial verdad, puesto que nunca es el caso ese &ne del Y ₁; Y ₂.

Definiciones variables

La definición antedicha de un par pedido es " adequate", en el sentido que satisface la característica característica que un par pedido debe tener (a saber: si ( un, b ) = ( x, y ), entonces = x y b = y ), pero también arbitrario, pues hay muchas otras definiciones que son más complicadas y también serían adecuadas. Los ejemplos para otras definiciones posibles incluyen el ( un, b ) _reverse: = {{ b }, { un, b }}

( un, b ) _short: = { un, { un, b }}

( un, b ) ₀₁: = {{0, un }, {1, b }} El " reverse" el par casi nunca se utiliza, pues no tiene ninguna ventaja obvia (ni desventajas) sobre los pares generalmente de Kuratowski. El " short" el par tiene la desventaja que la prueba de la característica característica de los pares (véase arriba) es más complicada que para los pares de Kuratowski (el axioma de la regularidad tiene que ser utilizado); por otra parte, pues el número 2 se define a menudo pues el sistema {0, 1} = {{}, {0}}, esto significaría que 2 es los pares (0.

Probar la característica característica de pares pedidos

Kuratowski : Probar: ( a, b ) _K = ( c, d ) _K si y solamente si = c y b = d .

Si = b : ( a, b ) _K = = {{ un }}, y ( c, d ) _K = = {{ un }}. Así { c } = { un } = { c, d }, o c=d=a=b del .

Si un &ne de ; b, entonces =. Si { c, d } = { un }, entonces c=d=a del o = = = {{ un }}.

Si { c } = { a, b }, entonces a=b=c del, que contradice el un &ne de ; b . Por lo tanto { c } = { un }, o c=a del, y { c, d } = { a, b }.

Y si d=a del, entonces { c, d } = { a, un } = { un } ≠ { a, b }. Así a=c del y b=d del .

Inversamente, si a=c del y b=d del, entonces .

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