En los mecánicos de Quantum, la partícula del en un enrejado unidimensional es un problema que ocurre en el modelo de un enrejado cristalino periódico. El problema se puede simplificar de la barrera potencial infinita 3D (partícula en una caja ) a un caso unidimensional. El potencial es causado por los iones en la estructura periódica del cristal que crea un campo electromagnético así que los electrones están conforme a un potencial regular dentro del enrejado. Ésta es una extensión del modelo de electrón libre que asume el potencial cero dentro del enrejado.

Definición de problema

Al hablar de los materiales sólidos, la discusión está principalmente alrededor de los cristales - enrejados periódicos. Aquí discutiremos un enrejado 1D de iones positivos. Si se asume que el espaciamiento entre dos iones es al, el potencial en el enrejado mirará algo similar: La representación matemática del potencial es una función periódica con un del período al . Según el teorema de Bloch, la solución del wavefunction de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico, se puede escribir como: $del$

l \ PSI (x) = e^ {ikx} u (x). ¡\, \!

Donde está una función el u ( x ) periódica que satisface: ¡$u\; (x+a)=u\; del$

l (x) \, \! u'(del $del$
de x+a)=u'(x). ¡\, \!

Al acercar a los bordes del enrejado, hay problemas con la condición de límite. Por lo tanto, podemos representar el enrejado del ion como anillo que sigue el Nato-von  Condiciones de límite de Karman . Si L es la longitud del enrejado de modo que el L   de ; >>  el un, entonces el número de iones en el enrejado es tan grande, que cuando en vista de un ion, su cerco es casi linear, y el wavefunction del electrón es sin cambios. Tan ahora, en vez de dos condiciones de límite conseguimos una condición de límite circular: = del $\backslash \; PSI\; del$

l 0) (\ PSI (l). ¡\, \!

Si el N es el número de iones en el enrejado, después tenemos la relación: un   de ; =  L . El reemplazo en la condición de límite y la aplicación del teorema de Bloch darán lugar a una cuantificación para el k : ¡$\backslash \; PSI\; (0)\; del$

l = e^ {ik \ cdot 0} u (0) = e^ {ikL} u (L) = \ PSI (l) \, \! ¡$u\; (0)\; del$
de = e^ {ikL} u (N a) \ e^ del rightarrow {ikL} = 1 \, \! $\backslash \; Rightarrow\; del$
de kilolitro = 2 \ pi n \ rightarrow k = {2 \ pi \ sobre L} n \ qquad \ ido (n=0, \ P. {N \ sobre 2} \ derecho). ¡\, \!

Modelo de Kronig-Penney

Para simplificar el problema la función potencial es aproximada por un potencial rectangular:

Usar el teorema de Bloch, necesitamos solamente encontrar una solución por un solo período, nos cercioramos de que es continua y alisamos, y cerciorarse de el u ( x ) de la función es también continuo y liso. En vista de un solo período del potencial:
Tenemos dos regiones aquí. Solucionaremos para cada uno independiente:

$\{-\; \backslash \; hbar^2\; \backslash \; sobre\}\; \backslash \; psi\_\; de\; los\; 2m\; \{xx\}\; =\; E\; \backslash \; PSI\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$
$\backslash \; Rightarrow\; \backslash \; PSI\; =\; A\; e^\; \{i\; \backslash \; alfa\; x\}\; +\; A\; e^\; \{-\; i\; \backslash \; alfa\; x\}\; \backslash \; patio\; \backslash \; ido\; (\backslash \; alpha^2\; =\; \{2mE\; \backslash \; sobre\; \backslash \; hbar^2\}\; \backslash )derecho\backslash ,\; \backslash !$

$\{-\; \backslash \; hbar^2\; \backslash \; sobre\; los\; 2m\}\; \backslash \; psi\_\; \{xx\}\; =\; (E+V\_0)\; \backslash \; PSI\; \backslash ,\; \backslash !$
$\backslash \; Rightarrow\; \backslash \; PSI\; =\; B\; e^\; \{i\; \backslash \; x\; beta\}\; +\; B\; e^\; \{-\; i\; \backslash \}\; beta\; \backslash \; patio\; de\; x\; \backslash \; ido\; (\backslash \; beta^2\; =\; \{2m\; (E+V\_0)\; \backslash \; sobre\; \backslash \; hbar^2\}\; \backslash \; derecho).\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Para encontrar el u ( x ) en cada región necesitamos manipular el wavefunction del electrón: ¡

de \ e^ del =A del Rightarrow u (0

Y de manera semejante: e^ del =B del $u\; del$

l (- b

Para terminar la solución que necesitamos cerciorarnos de que la función de probabilidad sea continua y alisar, es decir: = \ PSI (0^ {+}) \ = \ psi'(0^ del $\backslash \; PSI\; (0^\; del$

l {-}) del qquad \ psi'(0^ {-}) {+}). ¡\, \!

Y ese u ( x ) y el u ( x ) del son periódicos =u del $u\; del$

l (- b) (a-b) \ a-b del =u'(del u'(-b del qquad)). ¡\, \!

Estas condiciones rinden la matriz siguiente: el $del$

l \ comienza {pmatrix} 1 y 1 y -1 y -1 \ \ \ alfa y - \ alfa y - \ beta y \ \ beta \ e^ {i (\ alfa-k) (el a-b)} y e^ {- i (\ alpha+k) (a-b)} y - e^ {- i (\ beta-k) b} y - \ \ (\ alfa-k) del e^ {i (\ beta+k) b} e^ {i (\ alfa-k) (a-b)} y - (\ alpha+k) e^ {- i (\ alpha+k) (a-b)} y - (\) e^ beta-k {- i (\ beta-k) b} y (\ beta+k) el e^} \ extremo {pmatrix} {de i (\ beta+k) b \ comenzar {pmatrix} A \ \ \ \ B \ extremo {pmatrix} \ \ B de A = \ comenzar {pmatrix} 0 \ \ 0 \ \ 0 \ \ 0 \ extremo {pmatrix}. ¡\, \!

Para que nosotros para no tener la solución trivial, el determinante de la matriz debe ser 0. Esto nos lleva a la expresión siguiente:

$\backslash \; lechuga\; romano\; (k\; a)\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; beta\; b)\; \backslash \; lechuga\; romano\; \{\backslash \; alpha^2+\; \backslash \; beta^2\; \backslash \; sobre\; 2\; \backslash \; alfa\; \backslash \}\; beta\; \backslash pecado(\backslash \; b)\; beta\; \backslash \; pecado.\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Para simplificar más lejos la expresión, realizaremos las aproximaciones siguientes: $b\; \backslash \; rightarrow\; 0\; \backslash ;\; del$

l \ V_0 \ rightarrow \ infty \; ¡\ V_0 b = \ mathrm {constante} \, \!
$\backslash \; Rightarrow\; \backslash \; beta^2\; b\; =\; \backslash \; mathrm\; \{constante\}\; \backslash ;\; ¡\backslash \; \backslash \; alpha^2\; b\; \backslash \; rightarrow\; 0\; \backslash ,\; \backslash !$ del$$
de \ Rightarrow \ b beta \ rightarrow 0 \; \ \ pecado (\ b) beta \ rightarrow \ b beta \; ¡\ \ lechuga romana (\ b) beta \ rightarrow 1. \, \!

La expresión ahora estará:

$\backslash \; lechuga\; romano\; (k\; a)\; =\; \backslash \; lechuga\; romano\; (\backslash \; alfa\; a)\; -\; P\; \{\backslash \; pecado\; (\backslash \; alfa\; a)\; \backslash \; sobre\; \backslash \}\; \backslash \; qquad\; de\; la\; alfa\; a\; \backslash \; ido\; (P=\; \{\backslash \; beta^2\; un\; b\; \backslash \; sobre\; 2\}\; \backslash \; derecho).\; ¡\backslash ,\; \backslash !$

Ver también

Rafael Kronig
Modelo de electrón libre
Estructura cristalina
Función de Mateo

.

Zenithic

Stefania Berton

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