En las matemáticas combinatorias, el asunto de las particiones noncrossing ha asumido una cierta importancia debido a (entre otras cosas) su uso a la teoría de la probabilidad libremente.

Definición

Una partición de un S del sistema es en parejas un sistema de la desunión de subconjuntos no vacíos, llamado " parts" o " blocks", cuya unión es todo el S . Considerar un sistema finito que se pida linear, o (equivalente, con objeto de esta definición) arreglado en una orden cíclica como las cimas de un regular n - gobierno de Nigeria. No se pierde ninguna generalidad tomando este sistema para ser el S = {1,…, n }. Una partición noncrossing del S es una partición en la cual " de los bloques de no dos; cross", es decir, si el un y el b pertenecen a un bloque y x y y a otro, no se arreglan en el de la orden un x b y . Si uno dibuja un arco basado en el un y el b, y otro arco basó en el x y el y, después los dos arcos se cruzan si la orden es al x b y pero no si es un x y b o b x y . En las 3ultimas dos órdenes la partición {{ un, el b }, {el x, el y }} noncrossing.

Estructura de enrejado

Como el sistema de todas las particiones del sistema {1,…, n }, el sistema de todas las particiones noncrossing es un enrejado cuando el pidió parcialmente diciendo que una partición más fina es " menos than" una partición más gruesa. Sin embargo, aunque sea un subconjunto del enrejado de todas las particiones, es el no al sublattice del enrejado de todas las particiones, porque las operaciones del unido no convienen. Es decir la partición más fina que es más gruesa que ambas dos particiones noncrossing no es siempre el más fino noncrossing la partición de que es más gruesa que ambos ellos.

Desemejante del enrejado de todas las particiones del sistema, el enrejado de todas las particiones noncrossing de un sistema es uno mismo-dual, es decir, es orden-isomorfo al enrejado ese los resultados de invertir la orden parcial (" dándole vuelta parte superior-down"). De hecho, cada intervalo dentro de este enrejado es uno mismo-dual.

¿Cuántas particiones noncrossing un sistema finito tiene?

El sistema de todas las particiones noncrossing es uno de muchos sistemas enumerados por los números del catalán es decir, que es el número de particiones noncrossing de un sistema del n del tamaño $C\_n=\; del$

l {1 \ sobre n+1} {2n \ eligen n}.

Papel en teoría de las probabilidades libre

El enrejado de noncrossing reparte juegos el mismo papel en la definición del " " libre de los cumulantes ; en la teoría libre de la probabilidad que es jugada por el enrejado del todo el reparte en la definición de cumulantes comunes en la teoría de las probabilidades clásico. Ver también la distribución del semicírculo de Wigner.