En espectroscopia, el perfil de Voigt del es una línea espectral perfil nombrado después de que el Woldemar Voigt y encontrado en todas las ramas de la espectroscopia en las cuales una línea espectral es ensanchada por dos tipos de mecanismos, de una cuyo solamente produciría un perfil gausiano (generalmente, como resultado Doppler que ensancha ), y de la otra produjera un perfil de Lorentzian.

Toda la línea normalizada perfiles se puede considerar para ser las distribuciones de probabilidad que el perfil gausiano es equivalente a un gausiano o de distribución normal y un perfil de Lorentzian es equivalentes a un Lorentz o a la distribución de Cauchy. Sin la pérdida de generalidad, podemos considerar solamente los perfiles centrados que enarbolan en cero. El perfil de Voigt es entonces una circunvolución de un perfil de Lorentz y de un perfil gausiano:

$V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; G\; (x\text{'};\; \backslash \; sigma)\; L\; ()\; \backslash ,\; del\; x-x\text{'};\; \backslash \; de\; la\; gamma\; dx$

donde está frecuencia el x de la línea centro, el $G\; (x;\; \backslash \; la\; sigma)$ es el perfil gausiano centrado:

$G\; (x;\; \backslash \; sigma)\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{-\; x^2/(2\; \backslash \; sigma^2)\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\}\}$

y $L\; (x;\; \backslash \; la\; gamma)$ es el perfil centrado de Lorentzian:

$L\; (x;\; \backslash \; gamma)\; \backslash \; equivalente\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; pi\; (x^2+\; \backslash \; gamma^2)\}.$

El integral de definición se puede evaluar como:

$V\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; de\; la\; gamma)\; \{\backslash \; textrm\; \{con\; referencia\; a\}\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash raíz\; cuadrada\{2\; \backslash \; pi\}\}$

con referencia a donde está la pieza verdadera de la función de error compleja del   del z ; y

$z=\; \backslash \; frac\; \{x+i\; \backslash \; gamma\}\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\}\}.$

Características

El perfil de Voigt es normalizado:

$\backslash \; ^\; del\; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; V\; infty\; (x;\; \backslash \; sigma,\; \backslash )\; \backslash ,\; de\; la\; gamma\; dx\; =\; 1$ puesto que es la circunvolución de perfiles normalizados. El perfil de Lorentzian no tiene ningún momento (con excepción del zeroth) y así que la función de Momento-generación para la distribución de Cauchy no se define. Sigue que el perfil de Voigt no tendrá una función de momento-generación tampoco, pero la función característica para la distribución de Cauchy está bien definida, al igual que la función característica para el de distribución normal. La función característica para el perfil (centrado) de Voigt entonces será el producto de los dos:

$\backslash \; varphi\_f\; (t;\; \backslash \; sigma,\; \backslash \; gamma)\; =\; E\; (e^\; \{ixt\})\; =\; e^\; \{-\; -\; \backslash \; sigma^2t^2/2\; \backslash \; gamma\; |t|\}.$

Función de distribución acumulativa

Usar la definición antedicha para el   del z ;, el CDF puede ser encontrado como sigue: $F\; del$

l (x_0; \ MU, \ sigma)

\ int_ {- \ infty} ^ {x_0} \ frac {\ mathrm {con referencia a} (w (z))}{\} \, de la sigma \ raíz cuadrada {2 \ pi} dx

\ mathrm {con referencia a} \ ido (\ frac {1}} \ int_ {z {\ raíz cuadrada {\ pi} (- \ infty)}^ {z (x_0)} w (z) \, DZ \ derecho)

Substituir la definición de las producciones complejas de la función de error para el integral indefinido:

$\backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash \; internacional\; w\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\; (z)\; \backslash ,\; DZ\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; internacional\; e^\; \{-\; z^2\}\; \backslash \; dejado\; \backslash ,\; DZ$

Cuál puede ser solucionado (véase e. el integrador de Mathematica) para rendir:

$\backslash \; frac\; \{1\}\}\; \backslash \; internacional\; w\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\; (z)\; \backslash ,\; DZ\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; mathrm\; \{erf\}\; (z)\}\; \{2\}\; +\; \backslash \; el\; frac\; \{iz^2\}\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; pi\; \_2F\_2\; \backslash \; se\; fue\; (1.1;\; \backslash \; frac\; \{3\}\; \{2\},\; 2;\; -\; z^2\; \backslash \; derechos)$

donde está una función el $\backslash ,\; \_2F\_2\; ()$ hipergeométrica . Para que la función se acerque a cero como el x se acerca a infinito negativo (mientras que el CDF debe hacer), un constante de la integración de el 1/2 debe ser agregado. Esto da para el CDF: $F\; del$

l (x; \ MU, \ = \ mathrm de la sigma) {con referencia a} \ se fueron \ frac {\ mathrm {erf} (z)} {2} + \ el frac {iz^2}} \, {\ pi _2F_2 \ se fue (1.1; \ frac {3} {2}, 2; - z^2 \ derechos) \ derecho]

La anchura del perfil de Voigt

El de ancho total en el medio máximo (FWHM) del perfil de Voigt se puede encontrar de anchuras de las anchuras gausianas y de Lorentzian asociadas. El FWHM del perfil gausiano es $f\_\; del$

l \ mathrm {G} =2 \ sigma \ raíz cuadrada {2 \ ln (2)}. \,

El FWHM del perfil de Lorentzian es apenas $f\_L=2\; \backslash \; gamma$. Definir φ = $f\_L/f\_G$. Entonces el FWHM del perfil de Voigt ($f\_V$) se puede estimar como:

$f\_\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; aproximadamente\; de\; V\; f\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; \backslash \; (1-c\_0c\_1+\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; phi^2+2c\_1\; \backslash \; phi+c\_0^2c\_1^2\}\; \backslash \; derecho)$ dejado

donde $c\_0$ = 2.0056 y $c\_1$ = 1. Esta estimación tendrá una desviación estándar del error del cerca de 2.4 por ciento para los valores del φ entre 0 y 10. Observar que la ecuación antedicha tendrá el comportamiento apropiado en el límite de φ = 0 y de φ = de ∞.

Una diversa aproximación fue dada en 1977 por J. Longbothum en ajustes empíricos del a la línea anchura de Voigt: Una breve revisión, JQSRT 17, P233

$f\_\; \backslash \; mathrm\; \{\}\; \backslash \; aproximadamente\; de\; V\; 0.5346\; f\_\; \backslash \; +\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{0.2166f\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\; ^2+f\_\; \backslash \; mathrm\; \{G\}\; ^2\}\; del\; mathrm\; \{L\}$

con una exactitud de 0.02%

El perfil uncentered de Voigt

Si el perfil gausiano se centra en el $\backslash \; mu\_G$ y el perfil de Lorentzian se centra en el $\backslash \; mu\_L$, la circunvolución será centrada en el $\backslash \; mu\_G+\; \backslash \; mu\_L$ y la función característica entonces estará:

$\backslash \; varphi\_f\; (t;\; \backslash \; sigma,\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\; del\; mu\_\; de\; lagamma\backslash \; del\; mathrm\; \{G\})\; =\; -\; t\; \backslash \; sigma^2t^2/2\; del\; e^\; \{i\; (\backslash \; +\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; mathrm\; \{L\}\; del\; mu\_\; \backslash \; del\; mathrm\; \{G\})\; \backslash \; gamma\; |t|\}.$

El modo y el punto medio entonces ambos serán situados en el $\backslash \; mu\_G+\; \backslash \; mu\_L$.

Ver también

Espectroscopia

.

Zenithic

Hindoria

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