Permanente - Enciclopedia España

En la álgebra linear, el permanente de una matriz es una función de una matriz relacionada con el determinante. La permanente así como el determinante es polinomios de las entradas de la matriz.

Definición

Un n - por el A de la matriz del n se define = ( un i, j del _{de ) como $del l \ operatorname {ondulación permanente} (A)= \ sum_ {\ sigma \ en S_n} \ a_ del ^n del prod_ {i=1} {, \ sigma (i) de i}.$ La suma aquí extiende sobre todo el &sigma de los elementos; del simétrico n del grupo S_{, es decir sobre todas las permutaciones de los números 1, 2,…, n .}
Por ejemplo, el $del l \ el operatorname {ondulación permanente} \ comienzan {\ \ c&d \ extremo {pmatrix} =ad+bc.$ del a&b del pmatrix}
La definición de la permanente del A diferencia de la determinante del A en que las firmas de las permutaciones no están consideradas. Si uno ve la permanente como mapa que tome el n vectors como discusiones, después es un mapa multilinear y es simétrico (el significado esa cualquier orden de los vectores da lugar a la misma permanente). Una fórmula similar a de Laplace para el desarrollo de un determinante a lo largo de una fila o de una columna es también válida para la permanente; todas las muestras tienen que ser no hechas caso para la permanente.

Usos
Desemejante del determinante, la permanente no tiene ninguna interpretación geométrica fácil; se utiliza principalmente en la combinatoria . La permanente describe el número de los matchings perfectos en un gráfico bipartito . Más específicamente, dejar el G ser un gráfico bipartito con el A ₁, A ₂,…, n} del _{del A en un lado y B ₁, B ₂ de las cimas ,…, el n} del _{del B en el otro lado. Entonces, el G se puede describir por un n - por el A de la matriz del n = ( un i, j} del _{de ) donde un i, j del _de = 1 si hay un borde entre el i} del _{del A de las cimas y el j} del _{del B y el un i del _{de, j} = 0 de otra manera. La permanente de esta matriz es igual al número de matchings perfectos en el gráfico.
Complejidad
La permanente es también más difícil de computar que el determinante. Mientras que el determinante se puede computar en el tiempo polinómico por la eliminación gausiana, la eliminación gausiana no se puede utilizar para computar la permanente. Por otra parte, computando la permanente de una matriz 0-1 (la matriz cuyas entradas son 0 o 1) es el #P-completo (prueba ). Así, si la permanente se puede computar en el tiempo polinómico por cualquier método, entonces del punto de congelación del ; = #P que es una declaración incluso más fuerte que el P del ; = NP . Cuando las entradas del A son no negativas, sin embargo, la permanente puede ser el computado aproximadamente en tiempo polinómico de probabilidad, hasta un error de ε M, donde está el valor el M de la permanente y del ε > 0 es arbitrario.
Immanant
La permanente y el determinante son ambos casos especiales del immanant: Dado un el carácter complejo $\ ji de : S_n \ rightarrow \ mathbb {C}$ del grupo simétrico $S_n$ , la correspondencia immanant al $\ chi$ de un n - por el A de la matriz del n está

$\ operatorname {IMM} _ \ ji (A)= \ sum_ {\ sigma \ en} \ ji (\ sigma) \ a_ del ^n del prod_ {i=1} {, \ sigma (i) de S_n de i}.$
La permanente es recuperada de esta definición tomando el $\ chi$ para ser el $\ la sigma \ el mapsto triviales 1$ del carácter, y el determinante es recuperado tomando el $\ chi$ para ser la función de muestra $sgn$ , que es el carácter irreducible unidimensional no trivial único de $S_n$ .

Ver también
determinante
El Bapat-Pide el teorema, un uso de la permanente en las estadísticas ordinales .
Zenithic
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