La permutación es el cambio de objetos o los símbolos en las secuencias distinguibles cada uno el ordenar única se llaman el una permutación . Por ejemplo, con los números uno a seises, cada uno el ordenar posible consiste en una lista completa de los números, sin repeticiones. Hay 720 permutaciones totales de estos números, una cuyo es: " 4, 5, 6, 1, 2, 3".
El concepto general de permutación se puede definir más formalmente en diversos contextos:
En la teoría determinada, una permutación es una secuencia pedida que contiene cada símbolo de un sistema una vez, y solamente una vez. Una permutación es distinta de un la combinación determinada de o, en que el ordenar de los elementos en un sistema no está considerado relevante para los sistemas o las combinaciones. Es decir la definición fijar-teórica de la permutación es la de una correspondencia una por, o Bijection, de elementos etiquetados con el " positions" o " places" cuáles se arreglan en una línea recta .
En la álgebra del extracto y las áreas relacionadas, los elementos de la permutación no se pueden arreglar en una orden linear, o de hecho en cualquier orden en absoluto. Bajo esta definición refinada, una permutación es un Bijection de un sistema finito, X, sobre sí mismo. Esto permite la definición de grupos de permutaciones; ver el grupo de la permutación.
En la combinatoria, la permutación del término también tiene un significado tradicional que incluya listas pedidas sin la repetición y donde uno o más elementos de la lista se omiten de los orderings distinguibles; por ejemplo, una permutación del " 1,2,4,3" con el " 5" y " 6" omitido.
Cuenta de permutaciones
En esta sección solamente, se utiliza la definición tradicional: una permutación es una lista pedida sin repeticiones, quizás faltando algunos (el r del − del n ) elementos. El número de permutaciones de una secuencia es denotado por el P ( n, r ) o a veces y dado por la fórmula: donde:el r es el tamaño de cada permutación,
el n es el tamaño del sistema de el cual se permutan los elementos, y
¡! es el operador factorial .
Por ejemplo, si tenemos un total de 10 elementos, los números enteros {1, 2. 10}, una secuencia de tres elementos de este sistema sería (5, 3, 4). En este caso, n = 10 y r = 3. ¡Para descubrir cuántas secuencias únicas podemos encontrar, necesitamos calcular el P (10.3) = 10! ¡/(10−3)! = (1×2×3×4×5×6×7×8×9×10)/(1×2×3×4×5×6×7) = 8×9×10 = 720
En el caso solamente donde el n = el r entonces la fórmula arriba como en las matemáticas puras simplifica: = \ frac {n del
¡La razón por la que 0! ¡(factorial cero) es 1, es porque en la teoría determinada un sistema vacío puede solamente ser una forma pedida, tan 0! = 1. Si el n = 0 entonces allí es también uno único ordenar.
En el ejemplo dado en el jefe de este artículo, con 6 números enteros {1.6}, esto estaría: ¡ P (6.6) = 6! ¡/(6−6)! ¡= (1×2×3×4×5×6×)/0! = 720/1 = 720.
Si el n > 1 y el r > 1, cada orden del elemento de las permutaciones llega a ser significativos. Por ejemplo las permutaciones de 3 elementos en las longitudes admitidas de la secuencia del sistema {1, 2, 3} de 2 son: (1. 6 permutaciones para las longitudes de la secuencia de 2 Esto no se debe confundir con la combinación donde la pedido de los elementos no se considera y los elementos antedichos en el mismo sistema combinan en apenas las 3 combinaciones para las mismas longitudes: (1. 3 combinaciones para las longitudes de la colección de 2
Otro, notaciones más viejas incluye el r del del P del n del , el n del del P, el r , o el r del del P del n del . Una notación moderna común es (el n ) el r del que se llama un factorial descendente del . Sin embargo, la misma notación se utiliza para el factorial de levantamiento del (también llamado el símbolo de Pochhammer) n ( n del l + 1) ( n + 2)⋯ ( n + &minus del r ; 1) r . Con la notación factorial de levantamiento, el número de permutaciones está (&minus del n ; r + 1) r . Si tenemos un finito E del sistema de los elementos del n, está por definición en el Bijection con el sistema {1,…, n }, donde este f del bijection corresponde apenas a numerar los elementos. Una vez que se numeran, podemos identificar las permutaciones del E del sistema con las permutaciones del sistema {1,…, n }. (En términos más matemáticos, la función de los cuales traza un s de la permutación del E al f o s o f−1 de la permutación {1,…, el n } es un Morphism del grupo simétrico E en el de {1,…, el n }, ven abajo.) Alternativo, podemos escribir la permutación en términos de cómo los elementos cambian cuando la permutación es sucesivamente aplicada. Esto se refiere como la descomposición del de la permutación en un producto de desune los ciclos “. Trabaja como sigue: a partir de un del elemento x, escribimos la secuencia ( 2 (el del del s de x () de x s de x)…) hasta que consigamos detrás el elemento el comenzar (en qué punto cerramos paréntesis sin la escritura él por una segunda vez). Esto se llama el ciclo asociado la órbita s de a x” después del de s. Entonces tomamos un elemento que no escribimos todavía y que no hicimos la misma cosa, hasta que hayamos considerado todos los elementos. En el ejemplo antedicho, conseguimos: de s = (1 2 5) (3 4). Cada ciclo ( L del del 2… x del 1 x de x) representa la permutación ese Obviamente, un 1 ciclo (el ciclo de la longitud 1) es igual que fijando el elemento contenido en él, tan no hay uso en la escritura él explícitamente. La definición de algunos autores de un ciclo no incluye ciclos de la longitud 1. Los ciclos de la longitud dos se llaman las transposiciones ; tales permutaciones intercambian simplemente el lugar de dos elementos. (Inversamente, una transposición es sí mismo de la matriz un ejemplo importante de una permutación.) considera también: simétrico del grupo Uno puede definir el producto de dos permutaciones como sigue. Si tenemos dos permutaciones, P y Q, la acción del primer de ejecución P y entonces el Q será igual que realizando un cierto solo R de la permutación. El producto del P y del Q entonces se define para ser ese R de la permutación. La visión de permutaciones como bijections, el producto de dos permutaciones es así igual que su composición como funciones. No hay notación universal convenida para la operación del producto entre las permutaciones, y dependiendo del autor una fórmula como el PQ puede significar el P del ∘ del Q o del Q del ∘ del P . Puesto que la composición de la función es el asociativo, está tan la operación del producto en permutaciones: ( Q DEL ∘ DEL P ) &NBSP DEL R DEL ∘; = ∘ DEL P ( R DEL ∘ DEL Q ). Asimismo, puesto que el Bijections tiene lo contrario, así que hacer las permutaciones, y el P del ∘ del P −1 y del P −1 del ∘ del P es el " permutation" de la identidad; (véase abajo) que las hojas todas colocan sin cambiar. Así, puede ser visto que las permutaciones forman un grupo . En cuanto a cualquier grupo, hay un isomorfismo del grupo en los grupos de la permutación, obtenidos asignando a cada permutación su lo contrario, y este isomorfismo es una involución, dando una opinión dual sobre cualquier resultado abstracto. Desde ( Q del ∘ del P ) −1 = el P −1 del ∘ del Q −1, desde un punto de vista abstracto es inmaterial si el PQ representa el " P antes del " del Q ; o " P después del " del Q ;. Para las permutaciones concretas, la distinción es, por supuesto, absolutamente material. Si uno tiene cierta permutación, llamada el P, uno puede describir una permutación, escrita el P −1, que deshace la acción de aplicar el P . Esencialmente, la ejecución del P −1 del P entonces es equivalente a realizar la permutación de la identidad. Uno tiene siempre tal permutación puesto que una permutación es un mapa bijective. Tal permutación se llama la permutación inversa del . Es computada intercambiando cada número y el número del lugar que ocupa. Una permutación incluso es una permutación que se puede expresar como el producto de un número par de transposiciones, y la permutación de la identidad es incluso una permutación pues iguala (1 2) (1 2). Una permutación impar es una permutación que se puede expresar como el producto de un número impar de transposiciones. Puede ser demostrado que cada permutación es o impar o aún y no puede ser ambos. Un teorema con respecto a la permutación inversa es el efecto de una conjugación de una permutación por una permutación en un grupo de la permutación. Si tenemos un Q de la permutación = (el n Podemos también representar una permutación en forma de la matriz ; la matriz resultante se conoce como matriz de la permutación. Algunos de los libros de textos más viejos miran permutaciones como asignaciones del, según lo mencionado anteriormente. En términos de informática, éstas son las operaciones de la asignación con valores 1, 2 del ,…, n asignado a las variables x 1, x 2 del l ,…, n Cada valor se debe asignar solamente una vez. La asignación/la diferencia de la substitución es entonces ilustrativas de una forma en la cual la programación funcional y programado imprescindible diferencie — la programación funcional pura no tiene ninguÌn mecanismo de la asignación. La convención del de las matemáticas es hoy en día que las permutaciones son apenas funciones y la operación en ellas es la composición de la función; los programadores funcionales siguen esto. En la lengua de la asignación una substitución del es una instrucción de cambiar alrededor de los valores asignados, simultáneamente; un problema bien conocido. Los números de Factoradic se pueden utilizar para asignar números únicos a las permutaciones, tales que dado un factoradic del k uno puede encontrar rápidamente la permutación la correspondencia. Para cada k del número, con 0 ≤ del k ; < ¡ n !, el algoritmo siguiente genera una permutación única del inicial j permutación de la función (k, s) { internacional del var factorial: = 1; para el del j= 2 de a las longitudes de { factorial: = factorial* (j-1); ¡factorial= de // (j-1)! intercambio s ((k/factorial) del de la MOD j) con s; } de vuelta s; } Para cada k del número, con 0 ≤ del k ; < ¡ n !, el algoritmo siguiente genera la permutación lexicográfica correspondiente del inicial j permutación de la función (k, s) { internacional n del var : = longitudes; factorial: = 1; ¡ para el del j= 2 de a n 1 {cálculo de // (n 1)! factorial: = factorial* j;} para el del j= 1 de a n 1 { tempj: = (k factorial) MOD (n+ 1 - j); temps: = tempj de s para el del tempj del i= j+ de al paso -1 del de j+ 1 { s: = S1;} cambio de // la derecha de la cadena s: = temps; factorial: = factorial (n j);} de vuelta s;} la notación el k/j denota la división del número entero del k por el j, es decir el cociente integral sin ninguÌn resto, y Álgebra abstracta
Según lo explicado en una sección anterior, en la álgebra del extracto y otros campos matemáticos, la permutación del del término (de un sistema) ahora se reserva para un mapa bijective ( Bijection ) de un sistema finito sobre sí mismo. El ejemplo anterior, de hacer permutaciones fuera de los números 1 a 10, sería traducido como mapa del sistema {1,…, 10} a sí mismo. Notación
Hay dos notaciones principales para tales permutaciones. En la notación de la relación, una puede apenas arreglar el " natural" el ordenar de los elementos que son permutados en una fila, y el nueva ordenar en otra fila: el soportes para el s de la permutación del sistema {1.5} definido por el s (1)=2, s (2)=5, s (3)=4, s (4)=3, s (5)=1. Producto y lo contrario de permutaciones
Permutaciones especiales
Si pensamos en una permutación que " changes" la posición del primer elemento a el primer elemento, el segundo al segundo, y así sucesivamente, no hemos cambiado realmente las posiciones de los elementos en absoluto. Debido a su acción, la describimos como la permutación de la identidad del porque actúa como función de identidad . Inversamente, una permutación que cambia la posición de todos los elementos (ninguÌn elemento se traza a sí mismo) se llama un Derangement . Permutaciones en la computación
Permutaciones de la enumeración
Algoritmos para generar permutaciones
Generación desordenada
Generación lexicográfica de la orden
la MOD j del k es el resto después de la división del número entero del k al lado del j .
s denota el elemento del th del n del s de la secuencia. Puestas en práctica de software y de soporte físico
Funciones de la calculadora
La mayoría de las calculadoras tienen una función incorporada para calcular el número de permutaciones, llamado nPr u ONDULACIÓN PERMANENTE en muchos. La función de las permutaciones es a menudo solamente directa disponible varias capas de menús; cómo tener acceso a la función se indica generalmente en la documentación para las calculadoras que la apoyan. Funciones de la hoja de balance
¡La mayoría del software de la hoja de balance también proporciona una función incorporada para calcular el número de permutaciones, llamado PERMUT en muchos spreadsheets< popular! -- esto es verdad para sobresale y el ooo calc-->. El software de los números del de Apple no incluye notablemente actual tal función. Ver también
style=" del
Permutación de alternancia
Coeficiente binomial
Combinación
Combinatoria
Circunvolución
Orden cíclica
Permutación cíclica
incluso y permutaciones impares
Factoradic
Superpattern
Permutación de José
Lista de los asuntos de la permutación
Símbolo de Levi-Civita
Grupo de la permutación
Probabilidad
Permutación al azar
El Rencontres numera
que clasifica la red
Cifra de substitución
Grupo simétrico
Manera Twelvefold
Orden débil de las permutaciones
.
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