En las matemáticas, más exacto en la teoría de perturbación, un problema singular de la perturbación es un problema que contiene un pequeño parámetro que no pueda ser aproximado fijando el valor de parámetro a cero. Esto está en contraste con los problemas regulares de la perturbación, para los cuales una aproximación puede ser obtenida simplemente fijando el pequeño parámetro a cero.

Más exacto, la solución no se puede aproximar uniformemente por una extensión asintótica

$\backslash \; varphi\; (x)\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; sum\_\; \{n=0\}\; ^N\; \backslash \; delta\_n\; (\backslash )\; \backslash \; psi\_n\; del\; varepsilon\; (x)\; \backslash ,$

como $\backslash \; varepsilon\; \backslash \; a\; 0$. Aquí el $\backslash \; varepsilon$ es el pequeño parámetro del problema y el $\backslash \; el\; delta\_n\; (\backslash \; varepsilon)$ son una secuencia de funciones del $\backslash \; varepsilon$ de la orden cada vez mayor, tal como = \ varepsilon^n del $\backslash \; del\; delta\_n\; (\backslash \; varepsilon).\; Esto\; está\; en\; contraste\; con\; los\; problemasregularesde\; la\; perturbación,\; para\; los\; cuales\; una\; aproximación\; uniforme\; de\; esta\; forma\; puede\; ser\; obtenida.$

Los problemas singular perturbados son caracterizados generalmente por el funcionamiento de la dinámica en escalas múltiples. Varias clases de perturbaciones singulares se contornean abajo.

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Ecuaciones diferenciales que contienen a pequeño parámetro que premultiplica el objeto expuesto más alto del término de la orden típicamente capas de límite, de modo que la solución se desarrolle en dos diversas escalas. Por ejemplo, considerar el problema de valor de límite el $del$

l \ comienza {matriz} \ =-e^ del u^ del varepsilon {\ prima \ prima} (x)+u^ {\ prima} (x) {- x}, \ \ \ 0

Su solución cuando el $\backslash \; varepsilon=0.1$ es la curva sólida demostrada abajo. Observar que los chages de la solución rápido cerca del origen. Si fijáramos ingenuo el $\backslash \; varepsilon=0$, conseguiríamos la solución etiquetada " outer" debajo de cuál no ve la capa de límite en cero. Para más detalles que demuestran cómo obtener la aproximación uniformemente válida, consideran el método de las extensiones asintóticas emparejadas .

Ejemplos a tiempo

Un manipulante eléctricamente conducido de la robusteza puede tener una dinámica mecánica más lenta y dinámica eléctrica más rápida, así exhibiendo dos escala de tiempo. En tales casos, podemos dividir el sistema en dos subsistemas, uno que corresponde a una dinámica más rápida y otro que corresponde a una dinámica más lenta, y después diseñamos los reguladores para cada uno de ellos por separado. Con una técnica singular de la perturbación, podemos hacer éstos a la independiente de dos subsistemas de uno a, de tal modo simplificando el problema del control.

Considerar una clase de sistema descrita siguiendo el sistema de ecuaciones: $del$

l \ punto {x} _1 = f_1 (x_1, x_2) + \, \, del varepsilon, (x_1, x_2 \ varepsilon) de g_1 $del$
de \ varepsilon \ punto {x} _2 = f_2 (x_1, x_2) + \, \, del varepsilon, (x_1, x_2 \ varepsilon) de g_2
$x\_1\; (0)\; de$ = a_1, x_2 (0) = a_2, \,

¡con < \! de . La segunda ecuación indica que la dinámica de $x\_2$ es mucho más rápida que la de $x\_1$. Cierto teorema matemático indica que, con las condiciones correctas en el sistema, él inicialmente y muy rápidamente aproximado la solución a las ecuaciones $del$

l \ punto {x} (x_1, x_2), _1 = f_1 \,
$f\_2\; (x\_1,\; x\_2)\; de$ = 0, \, 0) =a_1 \, del
$x\_1\; de$ (

en un cierto intervalo del tiempo y de ése, como el $\backslash \; varepsilon$ disminuye hacia cero, el sistema se acercará a la solución más de cerca en que el mismo intervalo.

Ejemplos en espacio

En los mecánicos flúidos, las características de un líquido levemente viscoso son dramáticamente diversos exterior e interior a la capa de límite estrecha . Así el líquido exhibe escalas espaciales múltiples.

sistemas de la Reacción-difusión en cuál el reactivo difunde mucho más lentamente que otro puede formar los patrones espaciales marcados por las áreas donde existe un reactivo, y áreas donde no lo hace, con transiciones agudas entre ellas. En ecología, la despredador-presa modela por ejemplo $u\_t\; del$

l = \ u_ del varepsilon {xx} + uF (u) - vg (u), \, $v\_t\; del$
de = v_ {xx} + vh (u), \,

donde está la presa $u$ y $v$ es el depredador, se han demostrado para exhibir tales patrones.

Ecuaciones algebraicas

Considerar el problema de encontrar todas las raíces del $\backslash \; del\; varepsilon\; polinómicos\; x^3-x^2+1$. En el $\backslash \; el\; varepsilon\; del\; límite\; \backslash \; a\; 0$, este cúbico degenera en el cuadrático $1\; -\; x^2$ con las raíces en = \ P. 1 del $x.\; Elanálisisde\; perturbación\; singular\; sugiere\; que\; el\; cúbico\; tenga\; otro$ x\; \backslash \; aproximadamente\; 1\; \backslash \; varepsilon\; de\; la\; raíz\; \backslash ,$.\; De\; hecho,\; con\; el$ \backslash \; el\; varepsilon\; =\; 0.1$,\; las\; raíces\; son\; -0.\; Con\; el$ \backslash \; el\; varepsilon\; =\; 0.01$,\; las\; raíces\; son\; -0.\; Con\; el$ \backslash \; el\; varepsilon\; =\; 0.001$,\; las\; raíces\; son\; -0.$

En cierto modo, el problema tiene dos diversas escalas: dos de las raíces convergen a los números finitos mientras que el $\backslash \; varepsilon$ disminuye, mientras que el tercero llega a ser arbitrariamente grande.

Métodos de análisis

Un problema perturbado cuya solución puede ser en general dominio aproximado del problema, si el espacio o el tiempo, por una extensión asintótica del solo tiene una perturbación regular . Lo más a menudo posible en usos, una aproximación aceptable a un problema regularmente perturbado es encontrada simplemente substituyendo el pequeño $\backslash \; varepsilon$ del parámetro por cero por todas partes en la declaración de problema. Esto corresponde a tomar solamente el primer término de la extensión, rindiendo una aproximación que converja, quizás lentamente, a la solución verdadera mientras que el $\backslash \; varepsilon$ disminuye. La solución a un problema singular perturbado no se puede aproximar de esta manera. Según lo considerado en los ejemplos arriba, una perturbación singular ocurre generalmente cuando el pequeño parámetro de un problema multiplica a su operador más alto. Así ingenuo tomar el parámetro para ser cero cambia la misma naturaleza del problema. En el caso de ecuaciones diferenciales, las condiciones de límite no pueden ser satisfied; en ecuaciones algebraicas, el número posible de soluciones se disminuye.

La teoría de perturbación singular es un área rica y en curso de la exploración para los matemáticos, los físicos, y otros investigadores. Los métodos usados para abordar problemas en este campo son muchos. El más básicos de éstos incluyen el método de las extensiones asintóticas emparejadas y de la aproximación WKB para los problemas espaciales, y a tiempo, el método de Poincaré-Lindstedt, el método de múltiplo escala y el que hace un promedio periódico.

Para los libros en la perturbación singular en ODA y PDE, ver por ejemplo . Una introducción muy legible se puede también encontrar adentro .

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