En las matemáticas, el plano complejo es una representación geométrica de los números complejos establecido por el eje verdadero y el eje imaginario ortogonal. Puede ser pensado en como plano de cartesiano modificado, con la parte real de un número complejo representado por una dislocación a lo largo del x-axis, y la pieza imaginaria por una dislocación a lo largo del y-axis.

El plano complejo a veces se llama el Argand plano porque se utiliza en los diagramas de Argand del . Éstos se nombran después Jean-Roberto Argand, aunque primero fueran descritas por el Noruego-Danés Caspar Wessel del topógrafo y del matemático de la tierra. Los diagramas de Argand se utilizan con frecuencia para trazar las posiciones de los postes y de los ceros de una función en el plano complejo.

El concepto del plano complejo no prohibe a la interpretación geométrica de de números complejos. Bajo adición, agregan como los vectores que la multiplicación de dos números complejos se puede expresar lo más fácilmente posible en &ndash de los coordenadas polares ; la magnitud (o el módulo) del producto es el producto de los dos valores absolutos o de los módulos, y el ángulo (o la discusión) del producto es la suma de los dos ángulos, o discusiones. Particularmente, la multiplicación por un número complejo del módulo 1 actúa como rotación.

Convenciones de escritura

En el análisis complejo los números complejos son representados acostumbradamente por el z del símbolo, que se puede separar en sus (el y ) piezas verdaderas (el x ) e imaginarias, como esto:

$z\; =\; x\; +\; iy\; \backslash ,$

donde están verdaderos el x y el y los números, y el i es la unidad imaginaria. En esta notación acostumbrada el z del número complejo corresponde al punto ( x, y ) en el plano de cartesiano .

En el plano de cartesiano el punto ( x, y ) se puede también representar (en coordenadas polares) como

$(x,\; y)\; =\; (r\; \backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta,\; r\; \backslash \; pecado\; \backslash )\; de\; la\; theta\; \backslash \; el\; qquad\; \backslash \; se\; fue\; (r\; =\; \backslash raíz\; cuadrada\{x^2+y^2\};\; \backslash \; patio\; \backslash \; theta=\; \backslash \; arctan\; \backslash \; frac\; \{y\}\; \{x\}\; \backslash \; derecho).\; \backslash ,$

En el plano de cartesiano puede ser asumido que el arctangent toma valores del − π del al π del (en radianes, y un cierto cuidado se debe tomar para definir la función verdadera del arctangent del para los puntos ( x, y ) cuando el ≤ 0 del x . En el plano complejo estos coordenadas polares toman la forma

$z\; =\; x\; +\; iy\; =\; |z|\backslash \; ido\; (\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; theta\; +\; i\; \backslash pecado\backslash \; theta\; \backslash \; derecho)\; =\; |z|e^\; \{\}\; \backslash ,\; de\; i\; \backslash \; de\; la\; theta$

donde

$|z|\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{x^2+y^2\};\; \backslash \; patio\; \backslash \; =\; \backslash \; arg\; de\; la\; theta\; (z)\; =\; -\; i\; \backslash$

del registro \ del frac {z} Proyecciones estereográficas

considera también:

la proyección estereográfica

Es a veces útil pensar en el plano complejo como si ocupara la superficie de una esfera. Imaginarse una esfera del radio de la unidad, y pasar la derecha de plano complejo a través del centro de él, así que el centro de la esfera coincide con el z del origen = 0 del plano complejo, y el ecuador en la esfera coincide con el círculo de unidad en el plano.

Podemos establecer una correspondencia una por entre los puntos en la superficie de la esfera y los puntos en el plano complejo como sigue. Dado un punto en el plano, dibujar una línea recta que lo conecta con el Polo Norte en la esfera. Esa línea intersecará la superficie de la esfera en exactamente un otro punto. El z del punto = 0 será proyectado sobre el poste del sur de la esfera. Puesto que el interior del círculo de unidad miente dentro de la esfera, esa región entera (| z | < 1) será trazado sobre el hemisferio meridional. El círculo de unidad sí mismo (| z | = 1) será trazado sobre el ecuador, y el exterior del círculo de unidad (| z | > 1) será trazado sobre el hemisferio norte. Este procedimiento es claramente &ndash reversible; dado cualquier punto en la superficie de la esfera que no es el Polo Norte, podemos dibujar una línea recta que conecta ese punto con el Polo Norte y que interseca el plano plano en exactamente un punto.

Bajo esta proyección estereográfica hay apenas un &ndash del punto; el &ndash del Polo Norte sí mismo; eso no se asocia a cualquier punto en el plano complejo. Perfeccionamos la correspondencia una por agregando un más punto al &ndash del plano complejo; el punto supuesto del en el &ndash del infinito ; y asociándolo al Polo Norte en la esfera. Este espacio topológico, el plano complejo más el punto en el infinito, se conoce como el plano complejo extendido . Y esta es la razón por la cual los matemáticos hablan de un solo " punto en el infinity" al discutir análisis complejo. Hay dos puntos en el infinito (positivo, y la negativa) en la línea de número verdadero, pero hay solamente un punto en el infinito (el Polo Norte) en el plano complejo extendido.

Imaginarse por un momento qué sucederá a las líneas de latitud y de longitud cuando él se proyecta de la esfera sobre el plano plano. Las líneas de latitud son todas paralelo al ecuador, así que se convertirán en círculos perfectos centrados en el z del origen = 0. Y las líneas de longitud se convertirán en líneas rectas que pasan con el origen (y también a través del " punto en el infinity", puesto que pasan a través ambos los postes del norte y sur en la esfera).

Ésta no es la única proyección estereográfica posible de una esfera sobre un plano. Por ejemplo, el poste del sur de la esfera se pudo colocar encima del z del origen = 0 en un plano que es tangente a la esfera. Los detalles no importan realmente. Cualquier proyección estereográfica de una esfera sobre un plano producirá un " punto en el infinity", y trazará las líneas de latitud y de longitud en la esfera en círculos y líneas rectas, respectivamente, en el plano.

Cortar el plano

Cuando la discusión de funciones de una variable compleja que es a menudo conveniente pensar en un cortó en el plano complejo. Esta idea se presenta naturalmente en varios diversos contextos.

Relaciones y puntos de rama polivalentes

Considerar la relación two-valued simple

$w\; =\; f\; (z)\; =\; \backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{z\}\; =\; z^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,$

Antes de que poder tratar esta relación como función de un solo valor, la gama del valor resultante se debe restringir de alguna manera. Al ocuparse de las raíces cuadradas de números verdaderos esto se hace fácilmente. Por ejemplo, podemos apenas definir

$y\; =\; g\; (x)\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{\}\; \backslash \; =\; de\; x\; x^\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; del\; frac\; \{1\}\; \{2\}$

para ser el no negativo y del número verdadero tales que y ² = x . Esta idea no trabaja tan bien en el plano complejo de dos dimensiones. Para ver porqué, dejarnos piensan de la manera el valor del f ( z ) varía mientras que el z del punto se mueve alrededor del círculo de unidad. Podemos escribir

$z\; =\; e^\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; qquad\; w=z^\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; =\; e^\; \{\backslash \}\; \backslash \; qquad\; (0\; \backslash \; leq\; \backslash \; theta\; \backslash \; leq\; 2\; \backslash \; pi)\; del\; frac\; \{i\; \backslash \; theta\}\; \{2\}.\; \backslash ,$

Evidentemente, como el z se mueve hasta el final alrededor del círculo, el w traza solamente una mitad del círculo. Tan un movimiento continuo en el plano complejo ha transformado el positivo e de la raíz cuadrada ⁰ = 1 en el iπ negativo ^{del e de la raíz cuadrada} = − 1.

Este problema se presenta porque el z del punto = 0 tiene apenas una raíz cuadrada, mientras que cada otro ≠ 0 del z del número complejo tiene exactamente dos raíces cuadradas. En la línea de número verdadero podríamos evitar este problema erigiendo un " barrier" en el monopunto x = 0. Una barrera más grande se necesita en el plano complejo, para evitar que cualquier contorno cerrado cerque totalmente el z del punto de rama = 0. Esto es hecha comúnmente introduciendo un corte de rama del ; en este caso el " cut" pudo extender del z del punto = 0 a lo largo del eje verdadero positivo al punto en el infinito, para restringir la discusión del variable z en el plano del corte al < del arg del ≤ de la gama 0 ( z ); π de 2 .

Podemos ahora dar una descripción completa del w = el ½ del ^{del z . Para hacer tan nos necesitamos dos copias del z - acepillar, cada uno de ellas cortan a lo largo del eje verdadero. En una copia definimos la raíz cuadrada de 1 para estar e0 = 1, y en la otra definimos la raíz cuadrada de 1 para ser el iπ del e = − 1. Llamamos estas dos copias de las hojas completas plano del corte. Haciendo una discusión de la continuidad nos vemos que (ahora el w) de la función de un solo valor = el ½} del ^{del z traza la primera hoja en la mitad superior del w - acepillar, donde 0 < del arg del ≤ ( w ); el π del, mientras que traza la segunda hoja en la mitad inferior del w - acepillar (donde < del arg del ≤ del π del ( w ); π de 2 ).}

La rama cortada adentro este ejemplo no tiene que mentir a lo largo del eje verdadero. Incluso no tiene que ser una línea recta. Cualquier curva continua que conecta el z del origen = 0 con el punto en el infinito trabajaría. El corte de rama incluso no tiene que en algunos casos pasar a través del punto en el infinito. Por ejemplo, considerar la relación

$w\; =\; g\; (z)\; =\; \backslash \; (z^2\; -\; 1\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}.\; \backslash ,$

Aquí el &minus polinómico del z ²; 1 desaparece cuando el z = ±1, así que el g tiene evidentemente dos puntos de rama. Podemos " cut" el plano a lo largo del eje verdadero, del − 1 a 1, y obtener una hoja en la cual el g ( z ) sea una función de un solo valor. Alternativo, el corte puede funcionar del z = 1 a lo largo del eje verdadero positivo a través del punto en el infinito, después continúa el " up" el eje verdadero negativo al otro punto de rama, z = − 1.

Esta situación es visualizada lo más fácilmente posible usando la proyección estereográfica descrita sobre . En la esfera uno de éstos corta funcionamientos longitudinalmente con el hemisferio meridional, conectando un punto en el ecuador ( z = − 1) con otro punto en el ecuador ( z = 1), y paso a través del poste del sur (el origen, del z = 0) en la manera. La segunda versión del corte funciona longitudinalmente con el hemisferio norte y conecta los mismos dos puntos ecuatoriales pasando a través del Polo Norte (es decir, el punto en el infinito).

Restricción del dominio de funciones meromórficas

Una función meromórfica es una función compleja que es el olomorfo y por lo tanto el analítico por todas partes en su dominio excepto en un finito, o el contable infinito, número de puntos. Los puntos en los cuales tal función no puede ser definida se llaman los postes de la función meromórfica. Todos estos postes mienten a veces en una línea recta. En ese caso los matemáticos pueden decir que la función es " olomorfo en el plane" del corte;. Aquí está un ejemplo simple.

La función gamma, definida cerca

$\backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{e^\; \{-\; \backslash \; gamma\; z\}\}\; \{z\}\; \backslash \; ^\; del\; prod\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; de\; la\; gamma\; (z)\; \backslash \; se\; fue\; \backslash ,$

donde está el Euler-Mascheroni constante, y tiene el γ del postes simples en 0, − 1, − 2, − 3,… porque un denominador en el producto infinito desaparece exactamente cuando el z es cero, o un número entero negativo. Puesto que todos sus postes mienten en el eje verdadero negativo, del z = 0 al punto en el infinito, esta función se pudo describir como

" olomorfo en el plano del corte, el corte que extiende a lo largo del eje verdadero negativo, a partir de la 0 (inclusivo) al punto en infinity."

Alternativo, Γ ( z ) se pudo describir como

" olomorfo en el plano del corte con − π < < del arg ( z ); π y exclusión del del z del punto = 0."

Notar que este corte es levemente diferente del corte de rama del que hemos encontrado ya, porque excluye realmente el eje verdadero negativo del plano del corte. El corte de rama dejó el eje verdadero conectado con el plano del corte en un lado (0 θ ≤), pero separado le del plano del corte a lo largo del otro lado (< del θ del ; π de 2 ).

Por supuesto, no es realmente necesario excluir la línea segmento entera del z = 0 al − ∞ para construir un dominio en el cual Γ ( z ) es olomorfo. Toda lo que tenemos que hacer realmente es la puntura el plano en un sistema contable infinito de los puntos {0, − 1, − 2, − 3,…}. Pero un contorno cerrado en el plano pinchado pudo cercar uno o más de los postes de Γ ( z ), dando un integral de contorno que no es necesario cero, por el teorema del residuo. Cortando el plano complejo aseguramos no sólo que Γ ( z ) es olomorfo en este &ndash restricto del dominio; también nos aseguramos de que el integral de contorno de Γ sobre cualquier curva cerrada que miente en el plano del corte sea idénticamente igual a cero. Y esto puede ser importante en algunas discusiones matemáticas.

Especificar regiones de convergencia

Muchas funciones complejas son definidas por la serie infinita, o por las fracciones continuas . Una consideración fundamental en el análisis de estas expresiones infinitamente largas está identificando la porción del plano complejo en el cual convergen a un valor finito. Un corte adentro el plano puede facilitar este proceso, pues los ejemplos siguientes demuestran.

Considerar la función definida por la serie infinita

$f\; (z)\; =\; \backslash \; el\; ^\; del\; sum\_\; \{n=1\}\; \backslash \; infty\; \backslash \; salieron\; (z^2\; +\; n\; \backslash \; derecho)\; del\; ^\; \{-\; 2\}.\; \backslash ,$

Desde el z ² = (− el z ) ² para cada z, del número complejo está claro que el f ( z ) es una función uniforme z, así que el análisis se puede restringir a una mitad del plano complejo. Y puesto que la serie es indefinida cuando

$z^2\; +\; n\; =\; 0\; \backslash \; patio\; \backslash ,\; \backslash ,\; =\; \backslash \; P.\; i\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{n\}\; de\; Leftrightarrow\; \backslash \; del\; patio\; z$

tiene sentido de cortar el plano a lo largo del eje imaginario entero y de establecer la convergencia de esta serie donde no está cero la parte real del z antes de emprender la tarea más ardua del de examen f ( z ) cuando el z es un número imaginario puro.

En este ejemplo el corte es una conveniencia mera, porque los puntos en los cuales la suma infinita son indefinidos se aíslan, y el cortó el plano de se puede substituir por convenientemente un plano pinchado de . En algunos contextos el corte es necesario, y no apenas conveniente. Considerar la fracción continua periódica infinita

$f\; (z)\; =\; 1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{1\; +\; \backslash \; cfrac\; \{z\}\; \{\backslash \; ddots\}\}\}\}.\; \backslash ,$

puede ser demostrado que el f ( z ) converge a un valor finito si y solamente si el z no es un número verdadero negativo tales que < del z ; − ¼. Es decir la región de convergencia para esta fracción continua es el plano del corte, adonde el corte funciona a lo largo del eje verdadero negativo, del − ¼ al punto en el infinito.

Pegando la parte posterior del plano del corte junto

considera también:

superficial de Riemann

Tenemos ya visto cómo la relación

$w\; =\; f\; (z)\; =\; \backslash \; P.\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{z\}\; =\; z^\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash ,$

puede ser hecho en una función de un solo valor partiendo el dominio del f en dos hojas desconectadas. Es también posible al " glue" esas dos hojas mueven hacia atrás juntas para formar un solo Riemann superficial en el cual el f ( z ) = el ½ del ^{del z se pueda definir como función olomorfa cuya imagen sea el entero w - plano (a excepción del w del punto = 0). Aquí es cómo ese trabaja.}

Imaginarse dos copias del plano complejo del corte, los cortes que extienden a lo largo del eje verdadero positivo del z = 0 al punto en el infinito. En una hoja definir 0 < del arg del ≤ ( z ); π de 2, de modo que ½ 1 = e ⁰ = 1, por definición. En la segunda hoja definir 2 el < del arg del ≤ del π del ( z ); π de 4, de modo que ½ 1 = iπ ^{del e} = − 1, otra vez por definición. Ahora mover de un tirón la segunda hoja upside-down, tan los puntos imaginarios del eje en la dirección opuesta del eje imaginario en la primera hoja, con ambas hachas verdaderas señalando en la misma dirección, y el " glue" las dos hojas junto (de modo que el borde en la primera hoja etiquetara el " θ del = 0" está conectado con el borde etiquetado " θ < 4 " del π del ; en la segunda hoja, y el borde en la segunda hoja etiquetó el " θ del = 2 " del π del ; está conectado con el borde etiquetado " θ < 2 " del π del ; en la primera hoja). El resultado es el dominio superficial de Riemann en el cual el f ( z ) = el ½ del ^{del z es de un solo valor y olomorfo (excepto cuando el z = 0).}