Construcción

Considerar una esfera, y dejar los grandes círculos de la esfera ser " lines", y dejar los pares de puntos antípodas que sea " points". Es fácil comprobar que obedece los axiomas requeridos de un plano descriptivo :

cuaesquiera pares de reunión distinta de los grandes círculos en un par de puntos antípodas;
y cuaesquiera dos pares distintos de mentira antípoda de los puntos en un solo gran círculo.

Éste es el plano descriptivo verdadero .

Si identificamos cada punto en la esfera con su punto antípoda, entonces conseguimos una representación del plano descriptivo verdadero en el cual el " points" del plano descriptivo están realmente los puntos.

La superficie resultante, un múltiple non-orientable de 2 dimensiones del acuerdo, es una poco dura de visualizar, porque no puede ser encajada en el espacio euclidiano de 3 dimensiones sin la intersección.

El mapa del cociente de la esfera sobre el plano descriptivo verdadero es de hecho el mapa de la cubierta de a (dos-a-uno). Sigue que el grupo fundamental del plano descriptivo verdadero es el grupo cíclico de la orden 2, es decir modulo 2. de los números enteros. Uno puede tomar el AB del lazo de la figura arriba para ser el generador.

Inmersión del plano descriptivo verdadero en tres-espacio

El plano descriptivo no puede ser encajado (que está sin la intersección) en espacio tridimensional. Sin embargo, puede ser sumergido (las vecindades locales no tienen uno mismo-intersecciones). La superficie del muchacho es un ejemplo de una inmersión.

La superficie romana es un mapa más degenerado del plano descriptivo en el espacio 3, conteniendo un Cruz-casquillo . Igual va para una esfera con un Cruz-casquillo .

La prueba que el plano descriptivo no encaja en espacio euclidiano tridimensional va como esto: Si encajara, limitaría una región compacta en espacio euclidiano tridimensional por el teorema generalizado de la curva de Jordania. El campo de vector normal exterior-punteagudo de la unidad entonces daría una orientación del múltiple del límite, pero el múltiple del límite sería el espacio descriptivo, que no es orientable.

Una representación polihédrica es el Tetrahemihexahedron .

Mirando en la dirección opuesta, el hemi-cubo, el Hemi-dodecahedron, y el Hemi-icosahedron, polytopes regulares abstractos se pueden construir como figura regular en el plano descriptivo del .

Coordenadas homogéneos

El sistema de líneas en el plano se puede representar usar los coordenadas homogéneos . Una línea hacha del + por + el c =0 puede ser representada como ( un : b : c ). Estos coordenadas tienen la relación de equivalencia ( un : b : c ) = ( DA : DB del : C. del ) para todos los valores no cero del d . Por lo tanto una diversa representación de la misma línea dax del + dby + C. =0 del tiene los mismos coordenadas. El sistema de los coordenadas ( un : b : 1) da el generalmente el plano verdadero, y a sistema de los coordenadas ( un : b : 0) define una línea en el infinito .

Encajadura en el espacio dimensional 4

El plano descriptivo encaja en el espacio euclidiano dimensional 4. Usar coordenadas homogéneos, el plano descriptivo corresponde al $de\; los\; puntos\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; en\; R^3$ tales que $x^2+y^2+z^2=1$ conforme al $dela\; relación(x,\; y,\; z)\; \backslash \; el\; sim\; (-\; x,\; -\; y,\; -\; z)$. Una encajadura en $R^4$ es dada por el $de\; la\; función\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; el\; longmapsto\; (xy,\; xz,\; y^2-z^2,2yz)$. Notar que esto que encaja admite una proyección en $R^3$ que sea la superficie romana .

Un género más alto

El artículo sobre el polígono fundamental proporciona una descripción de los planos descriptivos verdaderos de un género más alto .

Ver también

Espacio descriptivo
Desigualdad de las PU para el plano descriptivo verdadero

.

Zenithic

Billy Engelhart

Random links:

Goff, Kansas | New Haven, Virginia Occidental | El cursar del señuelo | USS Momsen (DDG-92) | Club de golf real de Liverpool, Hoylake