En la geometría un polígono ( ˈpɒlɨɡɒn, ˈpɒliɡɒn ) es una figura del plano que es limitada por una trayectoria o un circuito cerrada de del, integrado por una secuencia finita de línea recta segmentos (es decir, por una cadena poligonal cerrada ). Estos segmentos se llaman sus bordes del o los lados del, y los puntos donde está las cimas polígono o las esquinas la reunión de dos bordes del . El interior del polígono se llama su cuerpo del . Un polígono es un ejemplo de 2 dimensiones más general Polytope en cualquier número de dimensiones.

En el campo de los gráficos de computadora (generación de la imagen), el polígono del término ha adquirido un significado levemente alterado, relacionado más con la manera la forma se almacena y se manipula dentro de la computadora.

Clasificación

Número de lados

Los polígonos son clasificados sobre todo por el número de lados, consideran el el nombrar de los polígonos abajo.

Convexidad

Los polígonos se pueden caracterizar por su grado de convexidad:
convexo : cualquier línea dibujada con el polígono (y no la tangente a un borde o a una esquina) resuelve su límite exactamente dos veces.
no convexo: una línea puede ser encontrada que resuelve su límite más de dos veces.
simple : el límite del polígono no se cruza. Todos los polígonos convexos son simples.
cóncavo: No convexo y simple.
asteroide : el interior del conjunto es visible de un monopunto, sin cruzar ningún borde. El polígono debe ser simple, y puede ser convexo o cóncavo.
Uno mismo-que interseca : el límite del polígono se cruza. Branko Grünbaum llama éstos copto, aunque este término no parece ser ampliamente utilizado. El complejo del término se utiliza a veces en contraste con el simple, pero se confunde esto: un polígono complejo es uno que existe en el plano unitario, que abarca dos dimensiones complejas .
polígono de la estrella del : un polígono que uno mismo-se interseca de una manera regular.

Simetría

equiángulo : todos sus ángulos de la esquina son iguales.
cíclico : todas las esquinas mienten en un solo círculo .
isógono Cima-transitivo de o del : todas las esquinas mienten dentro de la misma órbita de la simetría. El polígono es también cíclico y equiángulo.
equilateral : todos los bordes están de la misma longitud. (Polígono de A con 5 o más lados puede estar el equilateral sin ser el convexo.) (Williams 1979, págs. 31-32)
Isotoxal o Borde-transitivo : todos los lados mienten dentro de la misma órbita de la simetría. El polígono es también equilateral. Un polígono es regular si es el cíclico y el equilateral. Un polígono regular no convexo se llama un polígono regular de la estrella.

Misceláneo

rectilíneo : un polígono cuyos lados se reúnen perpendicularmente, es decir, todo el sus ángulos interiores es 90 o 270 grados.
monótono con respecto a una línea dada L, si cada línea ortogonal a L interseca el polígono no más que dos veces.

Características

Asumiremos la geometría euclidiana en todas partes.

Ángulos

Cualquier polígono, regular o irregular, complejo o simple, tiene tantas esquinas pues tiene lados.
Cada esquina tiene varios ángulos. Dos los más importantes son: el ángulo interior - la suma del de los ángulos interiores de un simple n - gobierno de Nigeria es (&minus del n ; 2) radianes del π o (&minus del n ; 2) 180 grados esto son porque cualquier simple n - el gobierno de Nigeria puede ser considerado para ser compuesto de (&minus del n ; 2) triángulos, que tiene una suma del ángulo de radianes del π o de 180 grados. En topología y análisis,
ángulo exterior del - imaginarse el caminar alrededor de un simple n - gobierno de Nigeria marcado en el piso. La cantidad usted " turn" en una esquina está el ángulo exterior o externo. Caminando hasta el final alrededor del polígono, usted hace una vuelta completa, así que la suma de los ángulos exteriores debe ser 360°. El ángulo exterior es el ángulo suplementario del ángulo interior, y de esto la suma de los ángulos interiores puede ser confirmada fácilmente.

El razonamiento también se aplica si algunos ángulos interiores son más que 180°: yendo a la derecha alrededor, significa que las vueltas una se fueron alguna vez en vez de la derecha, que se cuenta como torneado de una cantidad negativa. (Así consideramos algo como el número de la bobina de la orientación de los lados, donde en cada cima está la contribución en medio - ½ y bobina del ½.)

La medida de cualquie ángulo interior de un regular convexo n - el gobierno de Nigeria es (&minus del n ; 2) radianes del n de π/o (&minus del n ; 2) grados 180/del n . Los ángulos interiores de los polígonos regulares de la estrella primero fueron estudiados por Poinsot, en el mismo papel en el cual él describe los cuatro poliedros regulares de la estrella.

Moviendo alrededor a un n-gobierno de Nigeria generalmente la suma de los ángulos exteriores (el " de la cantidad total una; turns" en las cimas) puede estar cualquier múltiplo de número entero de 360°, e. 720° para un Pentagram y 0° para un " angular; eight". Ver también la órbita (dinámica) .

Área y centro de figura

El área de un polígono es la medida de la región de 2 dimensiones incluida por el polígono. Para ( simple) un polígono de no-uno mismo-intersección con cimas de $n$, el área y el del centro de figura se dan cerca: = \ frac {1} {2} \ y_ del $A\; del$

l del x_i del ^ del sum_ {i = 0} {n - 1} {i + 1} - y_i del x_ {i + 1} \, = \ frac {1} {6 A} \ y_ del $\backslash \; de\; la\; barra\; del$

l x del x_i del ^ del sum_ {i = 0} {n - 1} (x_i + x_ {i + 1}) ({i + 1} -) \, del y_i del x_ {i + 1} = \ frac {1} {6 A} \ y_ del $\backslash \; de\; la\; barra\; del$

l y del x_i del ^ del sum_ {i = 0} {n - 1} (y_i + y_ {i + 1}) ({i + 1} -) \, del y_i del x_ {i + 1}

Para cerrar el polígono, las primeras y pasadas cimas son iguales, $x\_n\; del\; IE,\; y\_n\; =\; x\_0,\; y\_0$. Las cimas deben ser pedidas a la derecha o a la izquierda, si se piden a la derecha el área será negativa pero corregirá en el valor absoluto .

La fórmula fue descrita por Meister en 1769 y por el gauss en 1795. Puede ser verificada dividiendo el polígono en triángulos, pero puede también ser visto como caso especial del teorema de Green .

El A del área de un polígono simple puede también ser computado si las longitudes de los lados, un ₁, un ₂,…, un _n y, $\backslash \; theta\_1\; de\; los\; ángulos\; exteriores\; \backslash \; theta\_2,$…, el $\backslash \; theta\_n$ se saben. La fórmula es el $del$

l \ comienza {alinear} A = \ frac12 (pecado a_1 (\ theta_1) + el pecado a_3 (\ theta_1 + \ theta_2) +… + pecado del a_ {n-1} (\ theta_1 + \ theta_2 +… + \ \ \ del theta_ {n-2} + pecado a_2 (\ theta_2) + pecado a_4 (\ theta_2 + \ theta_3) +… + del a_ {n-1} del pecado (\ theta_2 +… + \ theta_ {n-2}) \ \ + \; … \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \ \ +) \ extremo {alinear} del pecado del a_ {n-2} (\ theta_ {n-2})

La fórmula fue descrita por Lopshits en 1963.

Si el polígono se puede dibujar en una rejilla espaciada equitativamente tales que todas sus cimas son puntos de rejilla, el teorema de la selección da una fórmula simple para el área del polígono basada en los números de puntos de rejilla del interior y del límite.

Eventualmente dos polígonos simples de área igual se dan, después la primera se puede cortar en los pedazos poligonales que se pueden volver a montar para formar el segundo polígono. Éste es el teorema de Bolyai-Gerwien.

Para un polígono regular con los lados del n del s de la longitud, el área se da cerca: = \ frac {n} {4} s^2 \ chozas del $A\; del\; \{\backslash \; cfrac\; \{\backslash \; pi\}\; \{n\}\}.$

polígonos de Uno mismo-intersección

El área de un polígono de uno mismo-intersección se puede definir en dos maneras diferentes, que da una diversa respuesta:
Usar los métodos antedichos para los polígonos simples, descubrimos que las regiones particulares dentro del polígono pueden tener su área multiplicada por un factor que llamemos la densidad de la región. Por ejemplo el pentágono convexo central en el centro de un pentagram tiene densidad = 2. Las dos regiones triangulares de un cruz-cuadrilátero (como un cuadro 8) opuesto-ha firmado densidades, y el adición de sus áreas junta puede dar una superficie total de cero para la figura entera.
En vista de las regiones incluidas como punto fija, nosotros puede encontrar el área del sistema incluido del punto. Esto corresponde al área del plano cubierto por el polígono, o al área de un polígono simple que tiene el mismo esquema que el uno mismo-intersección (o, en el caso del cruz-cuadrilátero, de los dos triángulos simples).

Grados de libertad

Un n - el gobierno de Nigeria tiene 2 grados n de la libertad, incluyendo 2 para la posición y 1 para la orientación rotatoria, y 1 para el tamaño total, el n -4 de la so2 para la forma . En el caso de una línea de la simetría este 3ultimo reduce al n -2. Para un nk - gobierno de Nigeria del con el k - doblar la simetría rotatoria ( C_k ), allí son 2 el n -2 grados de libertad para la forma. Con la simetría adicional de la espejo-imagen ( D_k ) hay el n -1 grados de libertad.

Generalizaciones de polígonos

En sentido amplio, un polígono es una secuencia o un circuito ilimitada de los segmentos de alternancia (lados) y de los ángulos (esquinas). La comprensión matemática moderna es describir esta secuencia estructural en términos de polígono “abstracto” que sea un sistema parcial-pedido (poset) de elementos. El interior (cuerpo) del polígono es otro elemento, y (por razones técnicas) así que es el polytope o el nullitope nulo.

Generalmente, un polígono geométrico es una “realización” de este polígono abstracto; esto implica alguno “que traza” de elementos del extracto al geométrico. Tal polígono no tiene que mentir en un plano, ni tiene lados rectos, o incluir un área, y los elementos individuales pueden traslaparse o aún coincidir. Por ejemplo un polígono esférico se dibuja en la superficie de una esfera, y sus lados son arcos de grandes círculos. Como otro ejemplo, la mayoría de los polígonos son ilimitados porque se cierran detrás en sí mismos, mientras que el Apeirogons (polígonos infinitos) es ilimitado porque se encienden para nunca así que usted puede nunca alcanzar cualquier punto final de limitación. Tan cuando hablamos del " polygons" debemos tener cuidados de explicar qué clase estamos hablando.

Un digon es un polígono cerrado que tiene dos lados y dos esquinas. En la esfera, podemos marcar dos puntos de oposición (como los postes del norte y sur) y ensamblarlos por mitad de un gran círculo. Agregar otro arco de un diverso gran círculo y usted tiene un digon. Embaldosar la esfera con los digons y usted tiene un poliedro llamado un hosohedron. Tomar apenas un gran círculo en lugar de otro, funcionarlo hasta el final redondean, y agregan apenas un " corner" señalar, y usted tiene un monogon o un henagon.

Otras realizaciones de estos polígonos son posibles en otras superficies - pero en el plano (plano) euclidiano, sus cuerpos no pueden ser observados sensible y pensamos en ellas como degenerado.

La idea de un polígono se ha generalizado de varias maneras. Aquí está una lista corta de algunos casos degenerados (o de casos especiales, dependiendo de su punto de vista):
Digon . Ángulo de 0° en el plano euclidiano. Ver las observaciones sobre el re.
Ángulo de 180°: En el plano esto da un Apeirogon ), en la esfera un Dihedron
Un polígono de la posición oblicua del no miente en un plano plano, sino zigzaguea en tres (o más) dimensiones. Los polígonos de Petrie de los poliedros regulares son ejemplos clásicos.
Un polígono esférico del es un circuito de lados y de esquinas en la superficie de una esfera.
Un Apeirogon es una secuencia infinita de lados y de ángulos, que no es cerrada pero no tiene ningún extremo porque extiende infinitamente.
Un polígono complejo del es una figura análoga a un polígono ordinario, que existe en el plano unitario .

Nombramiento de polígonos

La palabra “polígono” viene del polygōnum (un sustantivo) del del último latín, del griego polygōnon/polugōnon πολύγωνον, uso del sustantivo del neutro del polygōnos/polugōnos πολύγωνος (el adjetivo masculino), significando el " mucho-angled". Los polígonos individuales se nombran (y se clasifican a veces) según el número de lados, combinando un griego - prefijo numérico derivado con el del sufijo - el gobierno de Nigeria, e. Pentagon, Dodecagon . El triángulo, el cuadrilátero, y el Nonagon son excepciones. Para los grandes números, los matemáticos escriben generalmente el número sí mismo, e. gobierno de Nigeria 17. Una variable se puede incluso utilizar, generalmente n-gobierno de Nigeria del . Esto es útil si el número de lados se utiliza en una fórmula .

Algunos polígonos especiales también tienen sus propios nombres; por ejemplo, el regular Pentagon de la estrella también se conoce como el Pentagram .

Polígonos en naturaleza

Los polígonos regulares numerosos se pueden considerar en naturaleza. En el mundo de minerales, los cristales tienen a menudo caras que sean triangulares, cuadradas o hexagonales. El Quasicrystals puede incluso tener pentágonos regulares como caras. Otro ejemplo fascinador de polígonos regulares ocurre cuando el enfriamiento de la lava forma áreas de las columnas hexagonales firmemente llenas del basalto, que se pueden ver en el terraplén del gigante en el Irlanda, o en el Postpile del diablo en el California .

Los hexágonos más famosos de la naturaleza se encuentran en el reino animal. El panal de la cera hecho por las abejas es un arsenal de los hexágonos usados para almacenar la miel y el polen, y como lugar seguro para que las larvas crezcan. También existen los animales que ellos mismos tomar a forma aproximada de polígonos regulares, o por lo menos tienen la misma simetría. Por ejemplo, exhibición de las estrellas de mar la simetría de un Pentagon o, menos con frecuencia, del heptágono o de otros polígonos. Otros equinodermos tal como simetrías similares de la exhibición de los erizos de mar a veces. Aunque los equinodermos no exhiben la simetría radial exacto, las medusas y las jaleas de peine hacen, generalmente cuatro veces o multiplicado por ocho.

La simetría radial (y la otra simetría) también se observa extensamente en el reino de planta, particularmente entre las flores, y (en un grado inferior) las semillas y la fruta, la forma más común de tal simetría que es pentagonal. Un ejemplo particularmente destacado es el Starfruit, una fruta levemente fuerte y picante popular en Asia Sur-Oriental, cuya sección representativa es shaped como una estrella pentagonal.

Trasladándose de la tierra a espacio, los matemáticos tempranos que hacían cálculos usar la ley de de Newton de la gravitación descubrieron que si dos cuerpos (tales como el sol y la tierra) están moviendo en órbita alrededor de uno otro, existen ciertos puntos en espacio, llamado el los puntos des Lagrange donde seguirá habiendo un cuerpo más pequeño (tal como un asteroide o una estación espacial) en una órbita estable. El sistema de la sol-tierra tiene cinco puntos des Lagrange. Los dos más estables son exactamente 60 grados a continuación y detrás de la tierra en su órbita; es decir, ensamblar el centro del sol y de la tierra y uno de estos puntos des Lagrange estables forma un triángulo equilateral. Los astrónomos han encontrado ya los asteroides en estos puntos. Todavía se discute si es práctico guardar una estación espacial en el &mdash de Lagrange del punto; aunque nunca necesitara correcciones de curso, tendría que con frecuencia esquivar los asteroides que están ya presentes allí. Hay ya satélites y observatorios del espacio en los puntos des Lagrange menos estables.

Cosas a hacer con los polígonos

Cortar un trozo de papel en polígonos, y ponerlos detrás juntos como rompecabezas chino .
Ensamblar muchos borde-a-borde como un embaldosado o Tessellation .
Ensamblar varios borde-a-borde y doblarlos que todo para arriba tan allí no es ningún boquete, hacer un poliedro tridimensional .
Ensamblar muchos borde-a-borde, doblándolos en una cosa rizada llamada un poliedro infinito .
Utilizar los polígonos originados en ordenador para acumular un mundo tridimensional por completo de monstruos, de parques temáticos, de aviones o cualquier cosa - ver los polígonos del en los gráficos de computadora abajo.

¡Polígonos en gráficos de computadora

Un polígono en un sistema de los gráficos de computadora (generación de la imagen) es una forma de dos dimensiones que se modela y se almacena dentro de su base de datos. Un polígono puede ser coloreado, ser sombreado y textured, y su posición en la base de datos es definida por coordina de sus cimas (esquinas).

Las convenciones de nombramiento diferencian de las de matemáticos:
Un polígono simple del no se cruza.
un polígono cóncavo del es un polígono simple que tiene por lo menos un ángulo interior mayor de 180 grados.
Un polígono complejo del se cruza.

Uso del de polígonos en las imágenes en tiempo real . El sistema de la proyección de imagen llama la estructura de los polígonos necesarios para que la escena sea creada de la base de datos. Esto se transfiere a la memoria activa y finalmente, al sistema de visualización (pantalla, los monitores etc de la TV) para poder ver la escena. Durante este proceso, el sistema de la proyección de imagen hace polígonos en perspectiva correcta listos para la transmisión de los datos procesados al sistema de visualización. Aunque los polígonos sean de dos dimensiones, a través de la computadora del sistema se ponen en una escena visual en la orientación tridimensional correcta para como el punto de visión se mueve con la escena, percibirla en 3D. Para evitar efectos artificiales en los límites del polígono donde están los planos de polígonos contiguos a diverso ángulo, los “algoritmos Morphing supuestos” se utilizan. Éstos mezclan, ablandan o alisan los bordes del polígono de modo que la escena parezca menos artificial y más bién el mundo real.

Cuenta del polígono del . Puesto que un polígono puede tener muchos lados y necesitar muchos puntos definirlo, para comparar un sistema de la proyección de imagen con otro, " count" del polígono; se toma generalmente como triángulo. Un triángulo se procesa como tres puntos en las hachas de x, de y, y de z, necesitando nueve descriptores geométricos. Además, la codificación se aplica a cada polígono para el color, brillo, shading, textura, NVG (reforzador o visión nocturna), características infrarrojas y así sucesivamente. Al analizar las características de un sistema particular de la proyección de imagen, la definición exacta de la cuenta del polígono se debe obtener como ella se aplica a ese sistema.

Polígonos endentados . El número de polígonos endentados (“endentado” es como una red de los pescados) puede estar hasta dos veces el de polígonos desengranados libres, particularmente si los polígonos son contiguos. Si un acoplamiento cuadrado tiene n + 1 señala (las cimas) por lado, hay cuadrados ajustados n en el acoplamiento, o 2n ajustó triángulos puesto que hay dos triángulos en un cuadrado. Hay (n+1) las cimas 2/2n2 por triángulo. Donde está grande n, ésta se acerca a una mitad. O, cada cima dentro del acoplamiento cuadrado conecta cuatro bordes (líneas).

Cuenta de la cima del . Debido a efectos tales como el antedicho, una cuenta de cimas puede ser más confiable que cuenta del polígono como indicador de la capacidad de un sistema de la proyección de imagen.

Punto del en la prueba del polígono. En los gráficos de computadora y la geometría de cómputo, es a menudo necesario determinar si un dado P del punto = (el x ₀, el y ₀) miente dentro de un polígono simple dado por una secuencia de línea segmentos. Se conoce como el punto en prueba del polígono .

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