donde está un polinomio el P con coeficientes en el K, el anillo polinómico ; es decir, las funciones algebraicas implícito definidas el r de los exponentes aquí son los números racionales de cierto dependiendo de la rama elegida; y las soluciones ellos mismos son series de energía adentro Y

con el Y = d del X ^{1/para un d del denominador que corresponde a la rama. El polígono de Newton da un acercamiento eficaz, algorítmico al calculador d .}

Después de que la introducción P-adic numere fue demostrado que el polígono de Newton está apenas como útil en cuestiones de la ramificación para los campos locales, y por lo tanto en la teoría del número algébrico. Los polígonos de Newton también han sido útiles en el estudio de las curvas elípticas

Definición

Dejar $K$ ser un campo local con la valuación discreta $v\_K$ y dejar $f\; del$

l (x) = a_nx^n + \ cdots + a_1x + a_0 \ en K.

Entonces el polígono de Newton de $f$ se define para ser el casco convexo de un más bajo del sistema de puntos $P\_i=\; del$

l \ ido (i, v_K (a_i) \ derecho).

En no-jerga: trazar todo el estos i del _{del P de los puntos en el xy - acepillar, después comenzando en el P 0, dibujar un rayo derecho encima del paralelo al y - eje, y girar este rayo a la izquierda hasta que golpee el P 1 del punto, rompen el rayo aquí y guardan el girar del rayo restante hasta que golpee el P 2… continúe hasta que el proceso alcance el n} del _{del P del punto; el polígono resultante (y su interior) es el polígono de Newton.}

Usos

Un uso práctico del polígono de Newton viene del resultado siguiente:

Dejado, $\backslash \; mu\_1\; del$

l \ mu_2, \, \ mu_r de los ldots

ser las cuestas de la línea segmentos del polígono de Newton del $f\; (x)$ (según lo definido arriba) arregló en orden cada vez mayor, y dejó, $\backslash \; lambda\_1\; del$

l \ lambda_2, \, \ lambda_r de los ldots

ser las longitudes correspondientes de la línea segmentos proyectadas sobre el x-axis (es decir si tenemos una línea segmento el estirar entre los puntos $P\_i$ y $P\_j$ entonces la longitud es $j-i$). Entonces para cada número entero $1\; \backslash \; leq\; \backslash \; kappa\; \backslash \; leq\; r$, $f\; (x)$ tiene exactamente raíces del $\backslash \; del\; lambda\_\; \{\backslash \; kappa\}$ con el $-\; \backslash \; mu\_k$ de la valuación.

Explicación de la función simétrica

En el contexto de una valuación, nos dan cierta información bajo la forma de valuaciones de las funciones simétricas elementales de las raíces de un polinomio, y requerimos la información sobre las valuaciones de las raíces reales, en un encierro algebraico . Esto tiene aspectos de la teoría de la ramificación y de la teoría de la singularidad. Las inferencias válidas posibles están a las valuaciones primero de las sumas de la energía por medio de las identidades de Newton.

Ver también

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