Polígonos convexos regulares

Todos los polígonos simples regular (un polígono simple es uno que no se interseca dondequiera) son convexos. Ésos que tienen el mismo número de lados son también el similar.

Un n - el polígono regular convexo echado a un lado es denotado por su Schlä símbolo { n } del fli.
Henagon del

o Monogon : degenerar en el espacio ordinario {1}
Digon : un " línea doble segment" - degenerar en el espacio ordinario {2}
Triángulo equilateral {3}
cuadrado {4}
regular Pentagon {5}
Hexágono regular {6}
Heptágono regular {7}
Octágono regular {8}
regular Decagon {10}
Endecágono regular {11}
regular Dodecagon {12} En ciertos contextos todos los polígonos considerados serán regulares. En tales circunstancias es acostumbrado caer al asiduo del prefijo. Por ejemplo todas las caras de los poliedros del uniforme deben ser regulares y las caras serán descritas simplemente como triángulo, cuadrado, pentágono, etc.

Características

Cada ángulo de un regular n - el gobierno de Nigeria tiene una medida del $(1\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\})\; \backslash \; de\; los\; grados\; de\; las\; épocas\; 180$ (o igualmente del $(n-2)\; \backslash \; de\; las\; épocas\; \backslash \; frac\; \{180\}\; \{n\}$).

Alternativamente, los ángulos internos de un regular n - el gobierno de Nigeria es $\backslash \; frac\; \{()\; \backslash \; pi\}\; \{n\}\; del\; n-2\; los\; radianes\; de$ (o $\backslash \; frac\; \{(el\; n-2)\}\{2n\}\; el\; de$ da vuelta a ).

Todas las cimas de un polígono regular mienten en un círculo común, es decir, son los puntos de Concyclic, es decir, cada polígono regular tiene un círculo circunscrito .

Un regular n - el polígono echado a un lado se puede construir con el compás y la regla si y solamente si los factores impares de la prima del n son distintos el Fermat prepara ve el polígono construible .

Para el $n\; >\; 2$ el número de diagonales es $\backslash \; el\; frac\; \{n\; (n-3)\}\{2\}$, es decir, 0, 2, 5, 9,… dividen el polígono en 1, 4, 11, 24,… los pedazos.

¡Área icosahedron truncado -->

El área de un regular n - el polígono echado a un lado es $When~Degree\; del\; :$ $A=\; \backslash \; frac\; \{nt^2\}\; \{4tan\; (\backslash \; frac\; \{180\}\; \{n\})\}$

$When~Radian\; :$ $A=\; \backslash \; frac\; \{nt^2\}\; \{4tan\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; pi\}\; \{n\})\}$ donde está la longitud el t del de un lado.

También, el área es del perímetro mitad se multiplicó por la longitud Apothem, un, (la línea extraída del centro del perpendicular del polígono a un lado). Ése es el A = una n t /2, pues la longitud del perímetro es el n t . O un 1/2 más fácil p A. Para el t =1 esto da $When~Degree\; del\; :\; \backslash \; frac\; \{n\}\; \{4tan\; (\backslash \; frac\; \{180\}\; \{n\})\}$ When~Radian~\; del$$
de : {\ 4}} \ choza del frac {n} {(\ pi/n) con los valores siguientes:

Polígonos regulares de la estrella

Un polígono regular no convexo es un polígono regular de la estrella. El ejemplo más común es el Pentagram, que tiene las mismas cimas que un Pentagon, pero conecta cimas de alternancia.

Para un n - polígono echado a un lado de la estrella, el Schlä el símbolo del fli se modifica para indicar el m del “starriness” del polígono, como {el n / m }. Si el m es 2, por ejemplo, después cada segundo punto se ensambla. Si el m es 3, después se ensambla cada tercer punto. El límite de los vientos del polígono alrededor de los tiempos del m del centro.

Ejemplos:
Pentagram - {5/2}
Heptagram - {7/2} y {7/3}
Octagram - {8/3}
Enneagram - {9/2} y {9/4}
Decagram - {10/3}

el m y el n deben ser el coprimero, o la figura degenerará. Dependiendo de la derivación exacta del Schlä el símbolo del fli, opiniones diferencia en cuanto a la naturaleza de la figura degenerada. Por ejemplo {6/2} puede ser tratado de cualquiera de dos maneras:
Para mucho del vigésimo siglo (véase por ejemplo Coxeter 1948), hemos tomado comúnmente /2 para indicar ensamblar cada cima de un cuerpo {6} a sus vecinos cercanos dos pasos lejos, para obtener el compuesto regular de dos triángulos, o el Hexagram .
Muchos geómetras modernos, tales como Grü el nbaum (2003), mira esto como incorrecto. Toman /2 para indicar la mudanza de dos lugares alrededor de {6} en cada paso, obteniendo un " doble-wound" el triángulo que tiene dos cimas sobrepuso en cada punto de la esquina y dos bordes a lo largo de cada línea segmento. No sólo hace este ajuste en mejor con teorías modernas abstrajo los polytopes pero también copia más de cerca la manera en la cual Poinsot (1809) creó sus polígonos de la estrella - tomando una sola longitud del alambre y doblándola en los puntos sucesivos con el mismo ángulo hasta la figura se cerró.

Simetría

El grupo de la simetría de un n - el polígono regular echado a un lado es el Dihedral D_n del grupo (del n de la orden 2): D ₂, '' D '' ₃ , '' D '' ₄ ,… Consiste en las rotaciones en el C_n (hay la simetría rotatoria n de la orden), junto con la simetría de la reflexión en las hachas del n que pasan a través del centro. Si el n es incluso entonces mitad de estas hachas pasar con dos cimas opuestas, y la otra mitad con el punto mediano de lados opuestos. Si el n es impar entonces todas las hachas pasan con una cima y el punto mediano del lado opuesto.

Polígonos regulares como caras de poliedros

Un poliedro del uniforme es un poliedro con los polígonos regulares como caras tales que para cada dos cimas hay un Isometry que traza uno en el otro (apenas pues hay para un polígono regular).

Los poliedros convexos restante con las caras regulares se conocen como los sólidos de Johnson.

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