¿Cuál es un poliedro?

Podemos por lo menos decir que un poliedro está aumentado de diversas clases de elemento o de entidad, cada uno asociado a un diverso número de dimensiones:
3 dimensiones: El cuerpo del es limitado por las caras, y es generalmente el volumen dentro de ellas.
2 dimensiones: Una cara del es limitada por un circuito de bordes, y es generalmente una región (plana) plana llamada un polígono del . Las caras junta componen la superficie polihédrica .
1 dimensión: Un borde ensambla una cima a otra y una cara a otra, y es generalmente una línea de una cierta clase. Los bordes juntos componen el esqueleto polihédrico .
dimensiones 0: Una cima (cimas plurales del ) es un punto de la esquina.
-1 dimensión: La nulidad es una clase de non-entity requerida por teorías del extracto .

Más generalmente en las matemáticas y otras disciplinas, " polyhedron" se utiliza para referir a una variedad de construcciones relacionadas, a algún geométrico y a otros puramente algebraicos o abstractos.

Una característica de definición de casi todas las clases de poliedros es que apenas dos caras ensamblan a lo largo de cualquier borde común. Esto se asegura de que la superficie polihédrica esté conectada continuamente y no termina precipitadamente ni parte apagado en diversas direcciones.

Un poliedro es un ejemplo de 3 dimensiones más general Polytope en cualquier número de dimensiones.

Características

que nombra los poliedros

Los poliedros se nombran a menudo según el número de caras. El sistema de nombramiento se basa otra vez en el Griego clásico, por ejemplo tetraedro (4), pentaédro (5), Hexahedron (6), Heptahedron (7), Triacontahedron (30), y así sucesivamente.

Esto es calificada a menudo por una descripción de las clases de caras presentes, por ejemplo el dodecahedron rombal contra el dodecahedron pentagonal .

Otros nombres comunes indican que una cierta operación se ha realizado en un poliedro más simple, por ejemplo los parecer truncados del cubo un cubo con sus esquinas cortadas, y tiene 14 caras (así que lo está también un ejemplo de un tetrakaidecahedron).

Algunos poliedros especiales han crecido sus propios nombres durante los años, tales como monstruo de Miller o el poliedro de Szilassi.

El afila

Los bordes tienen dos características importantes (a menos que el poliedro es el complejo):
Un borde ensambla apenas dos cimas.
Un borde ensambla apenas dos caras. Estas dos características son el dual el uno al otro.

Euler característico

El χ característico de Euler del relaciona el número del V, E de las cimas de los bordes, y hace frente al F de un poliedro: χ del

l = V - E + F .

Para un poliedro simplemente conectado, χ = 2. Para una discusión detallada, ver las pruebas y las refutaciones al lado Imre Lakatos .

Dualidad

Para cada poliedro hay un poliedro dual que tiene caras en lugar de las cimas de la original y viceversa. En la mayoría de los casos el dual se puede obtener por el proceso de la reciprocación esférica.

Figura de la cima del

Para cada cima uno puede definir una figura de la cima que consiste en las cimas unidas a él. La cima reputa el regular si ésta es un polígono regular y simétrica con respecto al poliedro entero.

Poliedros tradicionales

En la geometría, un poliedro es tradicionalmente una forma tridimensional que se compone de un número finito de caras poligonales que sean parte de los planos ; las caras se encuentran en pares a lo largo de los bordes 'que son segmentos rectilíneos, y los bordes se encuentran en los puntos llamados de las cimas de . Las prismas de los cubos y las pirámides son ejemplos de poliedros. El poliedro rodea un volumen limitado en espacio tridimensional; este volumen interior se considera a veces ser parte del poliedro, a veces solamente se considera la superficie, y de vez en cuando solamente el esqueleto de bordes.

Un poliedro reputa el convexo si su superficie (que abarca sus caras, bordes y cimas) no se interseca y la línea segmento que ensambla cualquier dos puntos del poliedro se contiene en el interior y la superficie.

Poliedros simétricos

Muchos de los poliedros estudiados son alto el simétrico.

Por supuesto es fácil torcer tales poliedros así que son no más simétricos. Pero donde un nombre polihédrico se da, por ejemplo el Icosidodecahedron, la geometría más simétrica se implica casi siempre, a menos que esté indicado de otra manera.

Algunos de los nombres mas comunes particularmente son de uso frecuente con el " regular" en frente o implicado porque para cada uno hay diversos tipos que tienen poco en campo común a excepción de tener el mismo número de caras. Éstos son el tetraedro, el cubo, el octaedro, Dodecahedron y el Icosahedron :

Los poliedros uniformes y su se doblan

Los poliedros uniformes son el Cima-transitivo del y cada cara es un polígono regular . Pueden ser el regular, el cuasi-regular, o el semi-regular, y pueden ser convexos o estrellados.

El del uniforme del se dobla es el Cara-transitivo y cada figura de la cima es un polígono regular.

la Cara-transitividad de un poliedro corresponde a la cima-transitividad del dual e inversamente, y la borde-transitividad de un poliedro corresponde a la borde-transitividad del dual. En la mayoría se doblan de los poliedros uniformes, caras son los polígonos irregulares. Los poliedros regulares son una excepción, porque son duales el uno al otro.

Cada poliedro del uniforme comparte la misma simetría que su dual, con las simetrías de las caras y de las cimas intercambiadas simplemente encima. Debido a este algunas autoridades miran se doblan como uniforme también. Pero esta idea no se lleva a cabo extensamente: un poliedro y sus simetrías no son la misma cosa.

Los poliedros uniformes y su se doblan se clasifican tradicionalmente según su grado de simetría, y si son el convexo o no.

Poliedros nobles

considera también:

noble del poliedro

Un poliedro noble es Isohedral (igual-hecho frente) y el isógono (igual-arrinconado). Además de los poliedros regulares, hay muchos otros ejemplos.

El dual de un poliedro noble es también noble.

Grupos de la simetría

Los grupos polihédricos de la simetría son todos los grupos del punto e incluyen:
T - simetría tetraédrica quiral del ; el grupo de la rotación para un tetraedro regular ; orden 12.
T_d - simetría tetraédrica completo del ; el grupo de la simetría para un tetraedro regular ; orden 24.
T_h - simetría pyritohedral del ; orden 24. La simetría de un Pyritohedron .
O - simetría octaédrica quiral del ; el grupo de la rotación del cubo y del octaedro ; orden 24.
O_h - simetría octaédrica completo del ; el grupo de la simetría del cubo y del octaedro ; orden 48.
I - simetría icosaédrica quiral del ; el grupo de la rotación del Icosahedron y Dodecahedron ; orden 60.
I_h - simetría icosaédrica completo del ; el grupo de la simetría del Icosahedron y Dodecahedron ; orden 120.
El C_nv - '' n '' - doblar la simetría piramidal
El D_nh - '' n '' - doblar la simetría prismática
El D_nv - '' n '' - doblar la simetría antiprismatic

Ésos con simetría quiral no tienen simetría de la reflexión y por lo tanto tener dos formas enantiomorfas que sean reflexiones de uno a. Los poliedros de Arquímedes del desaire tienen esta característica.

Otros poliedros con las caras regulares

Caras regulares iguales

Algunas familias de poliedros, donde está la misma clase cada cara de polígono:
el Deltahedra del

tiene triángulos equilaterales para las caras.

con respecto a los poliedros cuyas caras son todos los cuadrados: si las caras coplanarias no se permiten, incluso si son disconnected, hay solamente el cubo. Si no hay también el resultado de pegar seis cubos a los lados de uno, los siete de los mismos tamaños; tienen 30 caras cuadradas (que cuentan caras disconnected en el mismo plano que separado). Esto se puede ampliar en una, dos, o tres direcciones: podemos considerar la unión arbitrariamente de muchas copias de estas estructuras, obtenidas por traducciones de (expresado de tamaños) del cubo (2.2), por lo tanto con cada par adyacente que tiene un cubo común. El resultado puede ser sistema conectado de cubos con las posiciones ( un, b, c ), con el de los números enteros un, b, c cuyo a lo más uno es uniforme.

allí no es ningún nombre especial para los poliedros cuyas caras son todas pentágonos o pentagrams equilaterales. Hay infinitamente muchos de éstos, pero solamente uno es convexo: el dodecahedron. El resto es montado por (pegando) combinaciones de los poliedros regulares descritos anterior: el dodecahedron, el pequeño dodecahedron stellated, el gran dodecahedron stellated y el gran icosahedron.

Existe ningún poliedro cuyas caras sean todas idénticas y sean polígonos regulares con seis o más lados porque la cima de tres hexágonos regulares define un plano. (Véase el poliedro oblicuo infinito para las excepciones con las figuras de la cima el zigzaguear)

Deltahedra

Un Deltahedron (deltahedra plural) del es un poliedro cuyas caras son todas triángulos equilaterales. Hay infinitamente mucho deltahedra, pero solamente ocho de éstos son convexos:
poliedros convexos regulares del

3 (3 de los sólidos platónicos) Tetraedro
Octaedro
Icosahedron
5 poliedros convexos no uniformes (5 de los sólidos de Johnson) Dipyramid triangular
Dipyramid pentagonal
Disphenoid Snub
Prisma triangular de Triaugmented
Dipyramid cuadrado de Gyroelongated

Sólidos de Johnson

considera también:

sólido de Johnson Johnson normando buscado que los poliedros no uniformes tenían caras regulares. En el 1966, él publicó una lista de 92 sólidos convexos, ahora conocida como el de los sólidos de Johnson del, y les dio sus nombres y números. Él no probó que había solamente 92, pero él conjeturó que no había otros. El vencedor Zalgaller en 1969 probó que la lista de Johnson era completa.

Otras familias importantes de poliedros

Pirámides

considera también:

la pirámide (geometría) Las pirámides incluyen algo el del más consagrado y famoso de todos los poliedros.

Stellations y facettings

Zonohedra

considera también: Zonohedron

Un Zonohedron es un poliedro convexo donde está un polígono cada cara con la simetría de la inversión o, equivalente, la simetría bajo rotaciones con 180°.

Compuestos

considera también:

polihédrico del compuesto Los compuestos polihédricos se forman como compuestos de dos o más poliedros.

Estos compuestos comparten a menudo las mismas cimas que otros poliedros y son formados a menudo por el stellation. Algunos se enumeran en la lista de los modelos del poliedro de Wenninger.

Poliedros ortogonales

Un poliedro ortogonal es uno todo cuyas de caras encontrarse perpendicularmente, y todos cuyos de bordes ser paralelo a las hachas de un sistema coordinado de cartesiano. Aparte de una caja rectangular, los poliedros ortogonales son no convexos. Son los análogos 3D de los polígonos ortogonales del 2.o (también conocidos como polígonos rectilíneos . Los poliedros ortogonales se utilizan en la geometría de cómputo, donde su la estructura obligada ha permitido avances en los problemas sin resolver para arbitrario poliedros, por ejemplo, revelando la superficie de un poliedro a una red (poliedro) .

Generalizaciones de poliedros

El “poliedro conocido” ha venido ser utilizado para una variedad de objetos que tenían características estructurales similares a los poliedros tradicionales.

Apeirohedra

Una superficie polihédrica clásica abarca las regiones planas finitas, limitadas, unidas en pares a lo largo de los bordes. Si tal superficie extiende indefinidamente se llama un Apeirohedron . Los ejemplos incluyen:
Embaldosados o de los Tessellations del del plano.
Esponja-como las estructuras llamadas oblicuo infinito de los poliedros de .

Ver también: Apeirogon - polígono regular infinito: {∞}

Poliedros complejos

Un poliedro complejo es uno que se construye en espacio unitario 3. Este espacio tiene seis dimensiones: tres unos verdaderos que corresponden al espacio ordinario, con cada uno acompañada por una dimensión imaginaria. Ver por ejemplo a Coxeter (1974).

Poliedros curvados

Algunos campos del estudio permiten que los poliedros tengan caras y bordes curvados.

Poliedros esféricos

considera también:

esférico del poliedro

La superficie de una esfera se puede dividir por la línea segmentos en regiones limitadas, para formar un poliedro esférico . Mucha de la teoría de poliedros simétricos se deriva lo más convenientemente posible de esta manera.

Los poliedros esféricos tienen una historia larga y respetable:
Los poliedros artificiales primero sabidos son poliedros esféricos tallados en piedra.
Poinsot utilizó poliedros esféricos para descubrir los cuatro poliedros regulares de la estrella.
Coxeter los utilizó para enumerar todos sino uno de los poliedros uniformes.

Algunos poliedros, tales como hosohedra, existen solamente como poliedros esféricos y no tienen ningún análogo llano.

Poliedros de compilación curvados

Dos tipos importantes son:
Las burbujas adentro espumejean y hacen espuma.
Formas de compilación usadas en arquitectura. Ver por ejemplo a Pearce (1978).

Más necesita ser dicha sobre éstos, también.

Poliedros generales

Las matemáticas han definido más recientemente un poliedro mientras que un sistema en verdadero afina el espacio de (o el euclidiano) de cualquier dimensional n que tenga lados planos. Podrían ser definidas como la unión de un número finito de poliedros convexos, donde un poliedro convexo del se fija que es la intersección de un número finito de los medios espacios que puede ser limitado o ilimitado. En este significado, un Polytope es un poliedro limitado.

Todos los poliedros tradicionales son poliedros generales, y además hay ejemplos como:
Cuadrante del

A en el plano. Por ejemplo, la región del plano de cartesiano que consiste en todos los puntos sobre el eje horizontal y a la derecha del eje vertical: {( x, y ): x ≥ 0, ≥ 0 de y}. Sus lados son las dos hachas positivas.
Un octante en 3 euclidianos espacia, {(el x, el y, el z ): x ≥ 0, ≥ 0 de y, ≥ 0 de z}.
Una prisma del grado infinito. Por ejemplo una prisma cuadrada doble-infinita en el espacio 3, consistiendo en un cuadrado en el xy - plano barrido a lo largo del z - eje: {( x, y, z ): 0 ≤ 1 del ≤ x, 0 ≤ 1 del ≤ y}.
Cada célula en un tessellation de Voronoi es un poliedro convexo. En el tessellation de Voronoi de un S del sistema, el A de la célula que corresponde a un S del ∈ del c del punto se limita (por lo tanto un poliedro tradicional) cuando el c miente en el interior del casco convexo S, y (cuando el c miente en el límite del casco convexo del S ) el A es de otra manera ilimitado.

Poliedros hechos frente o esqueléticos del hueco

No es necesario llenar frente a una figura antes de que poder llamarla un poliedro. Por ejemplo el Leonardo Da Vinci ideó los modelos del marco de los sólidos regulares, que él dibujó para Divina Proportione del libro de s de Pacioli '. En tiempos modernos, el Branko Grünbaum (1994) hizo un estudio especial de esta clase de poliedros, en los cuales él desarrolló una idea temprana de los poliedros del extracto. Él definió una cara como un sistema cíclico ordeded de cimas, y caras permitidas para ser el oblicuo tan bien como planar.

Tessellations o embaldosados

Los Tessellations o los embaldosados del plano se tratan a veces como poliedros, porque tienen bastante en campo común. Por ejemplo los regulares se pueden dar los símbolos de Schläfli

poliedros No-geométricos

Las varias construcciones matemáticas se han encontrado para tener características también presentes en poliedros tradicionales.

Poliedros topológicos

Un polytope topológico es un espacio topológico dado junto con una descomposición específica en las formas que son topológico equivalente a los polytopes convexos y que se atan el uno al otro de una manera regular.

Tal figura se llama el simplicial si cada uno de sus regiones es un a una cara, es decir en un n - el espacio dimensional cada región tiene cimas del n +1. El dual de un polytope simplicial se llama el simple. Semejantemente, una clase extensamente estudiada de polytopes (poliedros) es la de poliedros cúbicos, cuando el bloque hueco básico es un n - cubo dimensional.

Poliedros abstractos

Un poliedro del extracto del es un sistema parcialmente pedido (poset) de elementos. Las teorías diferencian detalladamente, pero esencialmente los elementos del sistema corresponden al cuerpo, a las caras, a los bordes y a las cimas del poliedro. El sistema vacío corresponde al polytope nulo, o al nullitope del, que tiene una dimensionalidad de -1. Estos posets pertenecen a la familia más grande de los polytopes del extracto en cualquier número de dimensiones.

Poliedros como gráficos

Cualquier poliedro da lugar a un gráfico del, o al esqueleto, con cimas y bordes correspondientes. Así la terminología del gráfico y las características se pueden aplicar a los poliedros. Por ejemplo:
Debido a los poliedros convexos del teorema de Steinitz estar en correspondencia una por con 3 conectó gráficos planares.
El tetraedro da lugar a un gráfico completo (K₄). Es el único poliedro a hacer tan.
El octaedro da lugar a un gráfico fuerte regular, porque las cimas adyacentes tienen siempre dos vecinos comunes, y las cimas no adyacentes tienen cuatro.
Los sólidos de Arquímedes dan lugar a los gráficos que 7 de los sólidos de Arquímedes están del grado 3, 4 del asiduo del grado 4, y los 2 restantes son pares quirales del grado 5.

Historia

Prehistoria

Las piedras talladas en las formas que demostraban las simetrías de varios poliedros se han encontrado en el Escocia y pueden ser tanto 4. Estas piedras demuestran no sólo la forma de vario polyehdra simétrico, pero también las relaciones de la dualidad entre algunos de ellos (es decir, que los centros de las caras del cubo den a cimas de un octaedro, y así sucesivamente). Los ejemplos de estas piedras están en la exhibición en el cuarto de Juan Evans del museo de Ashmolean en la Universidad de Oxford . Es imposible saber porqué estos objetos fueron hechos, o el escultor ganó la inspiración para ellos.

Otros poliedros por supuesto han hecho su marca en arquitectura - los cubos y los cuboids que eran ejemplos obvios, con las pirámides four-sided más tempranas antiguo Egipto también que fechaba de la Edad de Piedra.

El Etruscans precedió a Griegos en su conocimiento por lo menos de algunos de los poliedros regulares, según lo evidenciado por el descubrimiento cerca Padua (en el norteño Italia ) en los a fines del 1800 de un Dodecahedron hecho de la esteatita, y el datar más de 2.500 años (Lindemann, 1987). Los cristales de Pyritohedric se encuentran en Italia norteña.

Griegos

El sabido más temprano escrito los expedientes de de estas formas viene de los autores griegos clásico, que también dieron la descripción matemática primero sabida de ellos. Los Griegos anteriores estuvieron interesados sobre todo en los poliedros regulares convexos, mientras que el Archimedes amplió más adelante su estudio a los poliedros del uniforme del cuerpo.

Musulmanes y chino

Después del final de la era clásica, los eruditos islámicos continuaron haciendo avances, por ejemplo en el siglo X Abu'l Wafa describió los poliedros esféricos regulares y quasiregular convexos. Mientras tanto en China, la disección del cubo en su tetraedro característico (orthoscheme) y los sólidos relacionados fue utilizada como la base para los volúmenes calculadores de tierra que se moverá durante excavaciones de la ingeniería.

Renacimiento

Mucho que se dirá aquí: Della Francisca, Pacioli, Leonardo Da Vinci, Wenzel Jamnitzer, Durer, etc. de Piero conduciendo a Kepler.

Poliedros de la estrella

Por casi 2000 años, había seguido habiendo el concepto de un poliedro según lo convertido por los matemáticos del griego clásico.

El Johannes Kepler realizó que los polígonos de la estrella se podrían utilizar para construir los poliedros de la estrella, que tienen polígonos regulares no convexos, típicamente los Pentagrams como caras. Algunos de estos poliedros de la estrella se pueden haber descubierto antes del tiempo de Kepler, pero él era el primer para reconocer que podrían ser consideradas " regular" si uno quitó la restricción esa los polytopes regulares ser convexo. Más adelante, que seguían habiendo el Louis Poinsot realizó que las figuras (circuitos de la cima de la estrella alrededor de cada esquina) pueden también ser utilizadas, y descubrió los dos poliedros regulares de la estrella. Cauchy probó la lista de Poinsot completa, y Cayley les dio sus nombres ingleses aceptados: (Kepler) el pequeño dodecahedron stellated y dodecahedron stellated gran, y (Poinsot) icosahedron el gran y dodecahedron gran. Colectivamente se llaman los poliedros de Kepler-Poinsot.

Los poliedros de Kepler-Poinsot se pueden construir de los sólidos platónicos por un llamado de proceso Stellation . La mayoría de los stellations no son regulares. El estudio de stellations de los sólidos platónicos fue dado un empuje grande por el H. Coxeter y otros en 1938, con el de papel famoso del now los 59 icosahedra . Este trabajo se ha republicado recientemente (Coxeter, 1999).

El proceso recíproco al stellation se llama que talla (o que lo talla). Cada stellation de un polytope es el, o recíproco dual, a una cierta talla del polytope dual. Los poliedros regulares de la estrella pueden también ser obtenidos tallando los sólidos platónicos. enumeró los facettings más simples del dodecahedron, e intercambiado les para descubrir un stellation del icosahedron que faltaba del " famoso; 59". Se han descubierto más puesto que, y la historia todavía no se termina. ¡

El considera también: Poliedro regular: Historia
Polytope regular: Historia del descubrimiento .

Poliedros en naturaleza

¡

Para las ocurrencias naturales de poliedros regulares, el considera el poliedro regular: Historia .

Los poliedros irregulares aparecen en naturaleza como cristales

.

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