En las matemáticas, el Alexander polinómico es un nudo invariante que asigna a polinómico con coeficientes del número entero a cada tipo del nudo. Alexander descubrió esto, el primer nudo polinómico, en 1923. En 1969, el Juan Conway demostró una versión de este polinomio, ahora llamada el Alexander-Conway polinómico, se podría computar usar una relación de la madeja, aunque su significación no fuera observada hasta el descubrimiento Jones polinómico en 1984. Pronto después de volver a trabajar de Conway del polinomio de Alexander, fue observado que una relación similar de la madeja fue exhibida en el documento de Alexander sobre su polinomio.

Definición

Dejar el K ser un nudo en la esfera 3. Dejar el X ser la cubierta cíclica infinita del complemento del nudo K . Hay un t de la transformación de la cubierta que actúa en el X . Considerar la primera homología (con coeficientes del número entero) del X, $H\_1\; denotado\; (X)$. Los actos del t de la transformación en la homología y podemos considerar tan $H\_1\; (X)$ un módulo sobre el t^ del $\backslash \; del\; mathbb\; \{Z\}\; \{-\; 1\}$. Esto se llama el Alexander invariante.

El módulo es finito presentable; una matriz de la presentación para este módulo se llama la matriz de Alexander del . Si es el número de generadores, r, inferior o igual el número de relaciones, del s, después de nosotros considerar el ideal generado por todo el r de los menores de edad del r de la matriz; éste es el Alexander ideal y no depende de la opción de la matriz de la presentación. Si el r > s, fijó el igual ideal a 0. Si el ideal de Alexander es el principal, tomar un generador; esto se llama un polinomio de Alexander del nudo. Puesto que esto es solamente único hasta la multiplicación por el $\backslash \; P.\; t^n$ del monomio de Lorenzo, uno fija a menudo una forma única particular. La opción de Alexander de la normalización es hacer que el polinomio tiene un término constante positivo.

Alexander probó que el ideal de Alexander es diferente a cero y siempre principal. Así un polinomio de Alexander existe siempre, y es claramente un $invariante\; de\; nudo,\; denotado\; \backslash \; un\; Delta\_K\; (t)$.

Computación del polinomio

El procedimiento siguiente para computar el polinomio de Alexander fue dado por J. Alexander en su papel.

Tomar un diagrama orientado del nudo con las travesías del n ; hay   del n ; +  2 regiones del diagrama del nudo. Para resolver el polinomio de Alexander, en primer lugar uno debe crear una matriz de incidencia del tamaño ( n,   del n ; +  2). Las filas del n corresponden a las travesías del n, y al   del n ; +  2 columnas a las regiones. Los valores para las entradas de la matriz son cualquiera 0, 1, − 1, t, − t .

Considerar la entrada que corresponde a una región y a cruzar particulares. Si la región no está adyacente a la travesía, la entrada es 0. Si la región está adyacente a la travesía, la entrada depende de su localización. La tabla siguiente da la entrada, determinada por la localización de la región en la travesía de la perspectiva de la línea undercrossing entrante.

l en la izquierda antes de undercrossing: −
del t en la derecha antes de undercrossing: 1
en la izquierda después de undercrossing:
del t en la derecha después de undercrossing: − 1

Quitar dos columnas que corresponden a las regiones adyacentes de la matriz, y resolver el determinante del nuevo n por la matriz del n . Dependiendo de las columnas quitadas, la respuesta diferenciará por la multiplicación por el $\backslash \; P.\; Para\; resolver\; esta\; ambigüedad,\; dividir\; hacia\; fuera\; laenergíaposible\; más\; grande\; del\; t\; y\; multiplicarse\; por\; -1\; en\; caso\; de\; necesidad,\; de\; modo\; que\; el\; término\; constante\; sea\; positivo.\; Esto\; da\; el\; polinomio\; de\; Alexander.$

El polinomio de Alexander se puede también computar de la matriz de Seifert.

Características básicas del polinomio

El polinomio de Alexander es simétrico: $\backslash \; =\; \backslash \; Delta\_K\; (t)$ de Delta_K (t^ {- 1})

punto de vista de definición, esto es expresión de Poincaré dualidad isomorfismo $\backslash \; overline\; \{\}\; \backslash \; simeq\; Hom\_\; de\; H\_1\; X\; \{\backslash \; Bbb\; Z\}\; (H\_1\; X,\; G)$ donde está el cociente $G$ del campo de las fracciones del $\backslash \; de\; Bbb\; Z$ por el $\backslash \; Bbb\; Z$, consideradas como un $\backslash \; Bbb\; Z$-module, y donde está el $\backslash \; el\; Bbb\; el$ \backslash \; el\; overline\; \{H\_1\; X\}$conyugal\; Z$-module al IE de $H\_1\; X$: pues un grupo abeliano él es idéntico a $H\_1\; X$ pero la transformación $t$ de la cubierta actúa por el $t^\; \{-\; 1\}$.

y evalúa a una unidad en 1: $\backslash \; Delta\_K\; (1)=\; \backslash \; P.\; el$

sde el punto de vista de la definición, éste del es una expresión del hecho de que el complemento del nudo es un círculo de la homología, generado por la transformación $t$ de la cubierta.

Se sabe que cada polinomio integral de Lorenzo que es simétrico y evalúa a una unidad en 1 es el polinomio de Alexander de un nudo (Kawauchi 1996).

Significación geométrica del polinomio

Puesto que el ideal de Alexander es principal, $\backslash \; Delta\_K\; (t)=1$ si y solamente si el subgrupo del conmutador del grupo del nudo es el perfecto. Considerar la esfera 3 ser el límite de la bola 4. El liberto de Michael probó que un nudo en los 3 que la esfera es rebana topológico, es decir limita un disco topológico doméstico en la bola 4, si y solamente si el polinomio de Alexander del nudo es trivial (Freedman y Quinn, 1990). Hay otras relaciones con las superficies y alisa la topología dimensional 4. Por ejemplo, bajo ciertas asunciones, hay una manera de modificar un liso 4 multíple realizando una cirugía que consista en el quitar de una vecindad de un toro de dos dimensiones y el substituir de ella por un complemento del nudo cruzado por el S ¹. El resultado es 4 homeomórficos multíples liso a la original, aunque ahora el Seiberg-Witten invariante ha sido modificado por la multiplicación con el polinomio de Alexander del nudo.

Los nudos con simetrías se saben para tener polinomios restringidos de Alexander. Ver la sección de la simetría adentro (Kawauchi 1996). Aunque, el polinomio de Alexander pueda no poder detectar algunas simetrías, tales como invertibility fuerte.

Si las fibras del complemento del nudo sobre el círculo, entonces el polinomio de Alexander del nudo se saben para ser el monic (los términos más altos y más bajos de la orden iguales al $\backslash \; P.\; De\; hecho,\; si\; el$ S\; \backslash \; a\; C\_K\; \backslash \; a\; S^1$es\; unpaquete\; de\; fibradonde\; está\; el\; complemento$ C\_K$del\; nudo,\; dejó\; el$ g:\; S\; \backslash \; a\; S$representa\; el\; Monodromy,\; entonces$ \backslash \; Delta\_K\; (t)\; =\; Det\; (tI-g\_*)$donde$ g\_*:\; H\_1\; S\; \backslash \; a\; H\_1\; S$es\; el\; mapa\; inducido\; en\; la\; homología.$

Relaciones a las operaciones basadas en los satélites

Si un nudo $K$ es un basado en los satélites anudar con el

Ejemplos: Para un $\backslash \; =\; \backslash \; Delta\_\; \{K\_1\}\; (t)\; \backslash \; Delta\_\; \{K\_2\}\; (t)$ de la conectar-suma de Delta_ {K_1 \ # K_2} (t). Si $K$ es un doble desenroscado de Whitehead, entonces $\backslash \; Delta\_K\; (t)=\; \backslash \; P.$

Polinomio de Alexander-Conway

Alexander probó que el polinomio de Alexander satisface una relación de la madeja. El Juan Conway volvió a descubrir esto en una diversa forma y demostró más adelante que la relación de la madeja junto con una opción del valor en el unknot era bastante para determinar el polinomio. La versión de Conway es un polinomio en el z con los coeficientes del número entero, $denotado\; \backslash \; nabla\; (z)$ y llamó el Alexander-Conway polinómico (también conocido como el Conway polinómico o Conway-Alexander polinómico).

Suponer que nos dan un diagrama orientado del acoplamiento, donde están travesía $L\_+,\; L\_-,\; L\_0$ resultante de los diagramas del acoplamiento y el alisar cambia en una región local de una travesía especificada del diagrama, según lo indicado en la figura.

Aquí están las relaciones de la madeja de Conway:
$\backslash \; nabla\; del$

(O) = 1 (donde está cualquier diagrama O del unknot)
- \ nabla (L_-) del $\backslash \; del\; nabla\; (L\_+)\; =\; z\; \backslash \; nabla\; (L\_0)$

La relación al polinomio de Alexander del estándar es dada por el $\backslash \; el\; Delta\_L\; (t^2)\; =\; \backslash \; nabla\_L\; (t\; -\; t^\; \{-\; 1\})$. Aquí $\backslash \; Delta\_L$ debe ser correctamente normalizado (por la multiplicación del t^ del $\backslash \; P.\; \{n/2\}$) satisfacer madeja relación $\backslash \; delta\; (L\_+)\; -\; \backslash \; delta\; (L\_-)\; =\; (t^\; \{el\; 1/2\}\; -)\; \backslash \; delta\; (L\_0)$ del t^ {- el 1/2}. Observar que esta relación da un polinomio de Lorenzo en el t^1/2 .

Ver la teoría de nudo para un ejemplo que computa el polinomio de Conway del trébol.

Zenithic

James Williamson

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