En las matemáticas, el irreducible del adjetivo significa que un objeto no se puede expresar como producto por lo menos de dos factores no triviales en un sistema dado. Ver también la facturización .

Para cualquier F del campo, el anillo de los polinomios con coeficientes en el F es denotado por F. Un p del polinomio (x) en F se llama irreducible sobre F si es no-constante y no puede ser representado como el producto de polinomios dos o no-más constantes de F.

Esta definición depende del F del campo. Algunos ejemplos simples serán discutidos abajo.

La teoría de Galois estudia la relación entre un campo, su grupo de Galois, y sus polinomios irreducibles profundizados. Los usos interesantes y no triviales se pueden encontrar en el estudio de los campos finitos

Es provechoso comparar polinomios irreducibles a Números primeros primeros de los números (junto con los números negativos correspondientes de módulo igual) son los números enteros irreducibles que exhiben muchas de las características generales del concepto “irreductibilidad” que se aplican igualmente a los polinomios irreducibles, tales como la facturización esencialmente única en factores primeros o irreducibles:

Cada p del polinomio (x) en F puede ser descompuesto en factores en los polinomios que son irreducibles sobre el F . Esta facturización es único hasta la permutación del de los factores y la multiplicación de los factores por constantes del F .

Ejemplos simples

Los cinco polinomios siguientes demuestran algunas características elementales de polinomios reducibles e irreducibles:

p_1 (x)=x^2+4x+4 \, = {(x+2) (x+2)} ,
p_2 (x)=x^2-4 \, = {(x-2) (x+2)} ,
p_3 (x)=x^2-4/9 \, = (x-2/3) (x+2/3),
p_4 (x)=x^2-2 \, = (x \ raíz cuadrada {2}) (x+ \ raíz cuadrada {2}) ,
p_5 (x)=x^2+1 del \, = {(XI) (x+i)}.

Sobre el \ el mathbb {Z} del anillo de los números enteros que los primeros dos polinomios son reducibles, los dos pasados ser irreducible. (El tercero, por supuesto, no es un polinomio sobre los números enteros.)

Sobre el \ el mathbb {Q} del campo de los números racionales los primeros tres polinomios son reducibles, pero los otros dos polinomios son irreducibles.

Sobre el \ el mathbb {R} del campo de los números verdaderos los primeros cuatro polinomios son reducibles, pero p_5 (x) es todavía irreducible.

Sobre el \ el mathbb {C} del campo complejos polinomios de los números los cinco son reducibles.

De hecho, sobre el \ el mathbb {C} cada polinomio no-constante se puede descomponer en factores en factores lineares p del

l (z)=a_n (z-z_1) (z-z_2) \ cdots (z-z_n)

donde está el coeficiente a_n principal del polinomio y z_1, \ los ldots, z_n son los ceros del p (z). Por lo tanto, todos los polinomios irreducibles están del grado 1. Éste es el teorema fundamental de la álgebra .

Nota: La existencia esencialmente de una facturización única p_5 (x)=x^2+1= (XI) (x+i) del de p_5 (x) en los factores que hacen el no pertenecen a Q implican que este polinomio es irreducible sobre el \ el mathbb {Q} : no puede haber otra facturización.

Estos ejemplos demuestran la relación entre los ceros de un polinomio (soluciones de una ecuación algebraica) y la facturización del polinomio en factores lineares.

La existencia de polinomios irreducibles del grado mayor de uno (sin ceros adentro el campo original) motivó históricamente la extensión de ese campo de número original para incluso poder reducir estos polinomios en factores lineares: de números racionales a los números verdaderos y siguiendo los números complejos.

Para los propósitos algebraicos, la extensión de números racionales a los números verdaderos es a menudo también “radical”: Introduce los números trascendentales (que no es las soluciones de ecuaciones algebraicas con coeficientes racionales). Estos números no son necesarios para el propósito algebraico de descomponer en factores polinomios (solamente los ser necesario para el uso de números verdaderos en el análisis ). El sistema de los números algébricos es el encierro algebraico de los números racionales, y contiene las raíces de todos los polinomios ( incluyendo i por ejemplo). Esto es un campo contable y se contiene terminantemente en los números complejos -- la diferencia que es que este campo es “algebraico completo” (al igual que los complejos) pero terminar no no analítico puesto que carece los trancendentals ya mencionados.

El párrafo antedicho generaliza en ése allí es un proceso puramente algebraico al amplía un dado F del campo con un p polinómico dado (x) a un campo más grande donde este p del polinomio (x) puede ser reducido en factores lineares. El estudio de tales extensiones es el punto de partida de la teoría de Galois .

Números verdaderos y complejos

Según las indicaciones de los ejemplos arriba, solamente los polinomios lineares son irreducibles sobre el campo de números complejos (ésta es una consecuencia del teorema fundamental de la álgebra ). Puesto que las raíces complejas de un polinomio verdadero están en pares conyugal, los polinomios irreducibles sobre el campo de números verdaderos son los polinomios lineares y los polinomios cuadráticos sin raíces verdaderas. Por ejemplo, x^4 + 1 descompone en factores sobre los números verdaderos como (x^2 + \ raíz cuadrada {2} x + 1) (x^2 - \ raíz cuadrada {2} x + 1).

Generalización

Si el R es un dominio integral, un f del elemento del R que es ni cero ni de una unidad se llama el irreducible si no hay g de las no-unidades y el h con el f = el gh . Uno puede demostrar que cada elemento primero es irreducible; el inverso no es verdad en general pero los asimientos en los dominios de facturización única el F del anillo polinómico sobre un F del campo son un dominio de facturización única.

Campos finitos

La facturización sobre un campo finito puede comportarse muy diferentemente de la facturización sobre los campos racionales o complejos. Por ejemplo, sobre el campo finito de dos elementos, el GF (2), tenemos que el
polinómico p_5 (x)=x^2+1 del
\, = (x+1)^2 no es tan irreducible que era sobre el \ el mathbb {Z} o el \ el mathbb {Q} . Este comportamiento ocurre porque los campos finitos tienen diferente a cero característico.

Generalmente, si un polinomio descompone en factores sobre el \ el mathbb {Z} entonces el polinomio correspondiente con los coeficientes considerados en el GF ( p ) del campo finito es también reducible, donde está un primero el p (los factores es los factores sobre el reducido p del modulo del \ del mathbb {Z}). El inverso de esta declaración no es verdad: hay polinomios que el p del modulo del factor para todo el positivo prepara el p pero ése no es reducible cuando está considerada como polinomio con coeficientes del número entero. Un ejemplo es x^4 + 1, cuál es irreducible sobre el \ el mathbb {Z} y el \ el mathbb {Q} solamente los factores en la MOD cuadrático de 4 factores lineares o de 2 factores cualquier primero p .

Ver también

Lema del gauss (polinómico)
Teorema racional de la raíz
Criterio de Eisenstein
Teorema de la irreductibilidad de Hilbert
Criterio de la irreductibilidad A. Cohn
Componente irreducible de un espacio topológico

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