En las matemáticas, los polinomios de Hermite del son una secuencia polinómica ortogonal clásico que se presenten en la probabilidad, tal como la serie de Edgeworth; en la combinatoria, como ejemplo de una secuencia de Appell, obedeciendo el cálculo de Umbral; y en la física, como el Eigenstates del oscilador armónico de Quantum. Se nombran en honor Charles Hermite .

Definición

Los polinomios de Hermite se definen cualquiera cerca ¡

$H\_n\; (x)=\; (-\; ^\; de\; 1)\; noreste\; ^\; \{x^2/2\}\; \backslash \; frac\; \{d^n\}\; \{dx^n\}\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; \backslash !$

(el " del ; polynomials" de Hermite de los probabilistas; ), o a veces cerca ¡

$H\_n\; (x)=\; (-\; ^\; de\; 1)\; noreste\; ^\; \{x^2\}\; \backslash \; frac\; \{d^n\}\; \{dx^n\}\; e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; \backslash !$

(el " del ; polynomials" de Hermite de los físicos; ). Estas dos definiciones son equivalente del no exactamente; cualquiera es el rescaling trivial del otro, al ingenio ¡$H\_n^\; del$

l \ mathrm {phys} (x) = 2^ {n/2} H_n^ \ mathrm {prob} (\ raíz cuadrado {2} \, x) \, \! .

Éstas son secuencias polinómicas de Hermite de diversas variaciones; ver el material en variaciones abajo.

Debajo, seguimos generalmente a primera convención. Esa convención es a menudo preferred por los probabilistas porque $del$

l \ e^ del frac {1} {\ raíz cuadrada {2 \ pi}} {- x^2/2}

es la función de densidad de probabilidad para el de distribución normal con el valor previsto 0 y la desviación estándar 1.

Los primeros diez polinomios de Hermite son:

$H\_0\; ($
$H\_2\; (x)=x^2-1\; de\; x)=1\; del\; \backslash ,$
$H\_1\; (x)=x\; \backslash ,\; de$ \,
$H\_3\; (x)=x^3-3x\; de$ de \,
$H\_4\; (x)=x^4-6x^2+3\; de$ \,
$H\_5\; (x)=x^5-10x^3+15x\; de$ \,
$H\_6\; (x)=x^6-15x^4+45x^2-15\; de$ \,
$H\_7\; (x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\; de$ \,
$H\_8\; (x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\; \backslash ,$
$H\_9\; (x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\; \backslash ,$ H\_\; del$$
de {10} (x)=x^ {10} - 45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945 de \, de

en la notación de los probabilistas, o

$H\_0\; ($
$H\_2\; (x)=4x^2-2\; de\; x)=1\; del\; \backslash ,$
$H\_1\; (x)=2x\; de$ \, de \,
$H\_3\; (x)=8x^3-12x\; de$ \,
$H\_4\; (x)=16x^4-48x^2+12\; de$ \,
$H\_5\; (x)=32x^5-160x^3+120x\; de$ \,
$H\_6\; (x)=64x^6-480x^4+720x^2-120\; de$ \,
$H\_7\; (x)=128x^7-1344x^5+3360x^3-1680x\; de$ \,
$H\_8\; (x)=256x^8-3584x^6+13440x^4-13440x^2+1680\; \backslash ,$
$H\_9\; (x)=512x^9-9216x^7+48384x^5-80640x^3+30240x\; \backslash ,$ H\_\; del$$
de {10} (x)=1024x^ {10} - 23040x^8+161280x^6-403200x^4+302400x^2-30240 de \, de

en la notación de los físicos.

¡th de e^-x2/2 y de e^-x2, un método más fácil, intensivo secuencialmente de derivar los términos individuales de los polinomios de N^th-order Hermite es menos de cómputo considerar la combinación de coeficientes en los términos correspondientes en (N-1) el polinomio de Hermite de la orden de ^th. Para la notación de los probabilistas, seguir las reglas siguientes: 1) Para el punto de partida en la secuencia, el polinomio de la orden 0^th (H₀) es igual a 1. 2) El primer término tiene una energía de x igual al polinómico dado de la orden de N^th que es derivado, y el coeficiente de este término es 1. 3) La energía de x de cada término sucesivo es 2 menos que el término precedente. 4) El coeficiente de cada término después de que el primer término sea calculado tomando el coeficiente del término mismo-numerado en (N-1) el polinomio de ^th, y de agregar a él el producto de la energía de x y del coeficiente correspondiente inmediatamente antes del término en (N-1) el polinomio de ^th. 5) Todos los términos pares en cada polinomio son negativos, y todos los términos con números impares son positivos.

Así, para el polinomio de H₆, N=6 y por lo tanto el primer término está x^N = x⁶, con un coeficiente de 1. El segundo término tiene una energía de x igual a 6-2 a = 4. El coeficiente es obtenido tomando el coeficiente del segundo término en el polinomio de H₅ (que es 10) y adición a él del producto de la energía de x y de su coeficiente en el primer término del polinomio de H₅ (que son 5 y 1, respectivamente). Hacer esta negativa del coeficiente, puesto que esto es un término pares. El tercer término en el polinomio de H₆ tiene una energía de x igual a 2 (que sea 2 menos que la energía de x en el segundo término), y está 15 su coeficiente + 3*10 = 45, donde 15 = coeficiente del tercer término en el polinomio de H₅; 3 = energía de x en el segundo término del polinomio de H₅; y 10 = coeficiente del segundo término en el polinomio de H₅. Este coeficiente (45) es positivo, puesto que esto es un término con números impares. Finalmente, el cuarto término en el polinomio de H₆ es la energía 0^th en x (que sea 2 menos que la energía de x en el tercer término), y está 0 su coeficiente + 1*15 = 15, donde 0 = coeficiente del cuarto término (no existente) en el polinomio de H₅; 1 = energía de x en el tercer término del polinomio de H₅, y 15 = coeficiente del tercer término en el polinomio de H₅. Este coeficiente (15) se hace negativa, puesto que esto es un término pares. Así, H₆(x) = x⁶ - 15x⁴ + 45x² - 15.

Para el polinomio de H₇, el primer término es x⁷; el segundo término es 15 + 6*1 = 21 (negativa), con un 7-2 = la energía 5^th de x (es decir, -21x⁵). El tercer término es 45 + 4*15 = 105 (positivo), con un 5-2 = la energía 3^rd de x (es decir, 105x³). El cuarto término es 15 + 2*45 = 105 (negativa), con un 3-2 = la energía 1^st de x (es decir, -105x). Así, H₇(x) = x⁷ - 21x⁵ + 105x³ - 105x.

Para la notación de los físicos, seguir las reglas siguientes: 1) Para el punto de partida en la secuencia, el polinomio de la orden 0^th (H₀) es igual a 1. 2) El primer término tiene una energía de x igual al polinómico dado de la orden de N^th que es derivado, y el coeficiente de este término es 2^N. 3) La energía de x de cada término sucesivo es 2 menos que el término precedente. 4) El coeficiente de cada término después de que el primer término sea calculado tomando el coeficiente del término mismo-numerado en (N-1) el polinomio de ^th, multiplicándola por 2, y después agregando a ella el producto de la energía de x y del coeficiente correspondiente inmediatamente antes del término en (N-1) el polinomio de ^th. 5) Todos los términos pares en cada polinomio son negativos, y todos los términos con números impares son positivos.

Así, para el polinomio de H₆, el primer término está 2⁶ = 64, con una energía 6^th de x (es decir, 64x⁶). El segundo término es 2*160 + 5*32 = 480 (negativa), con un 6-2 = la energía 4^th de x (es decir, -480x⁴). El tercer término es 2*120 + 3*160 = 720 (positivo), con un 4-2 = la energía 2^nd de x (es decir, 720x²). El cuarto término es 2*0 + 1*120 = 120 (negativa), con un 2-2 = la energía 0^th de x (es decir, -120). Así, H₆(x) = 64x⁶ - 480x⁴ + 720x² - 120.

Para el polinomio de H₇, el primer término está 2⁷ = 128, con una energía 7^th de x (es decir, 128x⁷). El segundo término es 2*480 + 6*64 = 1344 (negativa), con un 7-2 = la energía 5^th de x (es decir, -1344x⁵). El tercer término es 2*720 + 4*480 = 3360 (positivo), con un 5-2 = la energía 3^rd de x (es decir, 3360x³). El cuarto término es 2*120 + 2*720 = 1680 (negativa), con un 3-2 = la energía 1^st de x (es decir, -1680x). Así, H₇(x) = 128x⁷ - 1344x⁵ + 3360x³ - 1680x.

El reconocimiento de que H₀ = 1, estas reglas se puede seguir para derivar secuencialmente todos los polinomios de Hermite de la orden de N^th (de N = 1 hacia infinito), y se puede computadora-cifrar relativamente fácilmente para los usos prácticos. -->

Características

Ortogonalidad

El n ( x ) del _{del H es un polinomio del th-grado del n para el n = 0, 1, 2, 3,…. Estos polinomios son ortogonales con respecto a la función de peso del (medida ) ¡}

$e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; \backslash !$ (probabilista)

o ¡

$e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; \backslash !$ (físico)

es decir, tenemos ¡

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; H\_n\; (x)\; H\_m\; (x)\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; dx=n!\; \backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\}\; ~\; \backslash \; delta\_\; \{\backslash \; mathit\; \{nanómetro\}\}$ (probabilista)

o ¡

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; H\_n\; (x)\; H\_m\; (x)\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; dx=\; \{n!\; \}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{\backslash \; pi\}\}\; ~\; 2^n\; \backslash \; delta\_\; \{\backslash \; mathit\; \{nanómetro\}\}$ (físico)

donde está el delta el ij del del δ _{de Kronecker, que iguala la unidad cuando el n = el m y cero de otra manera. Los polinomios probabilisticos son así ortogonales con respecto a la función de densidad normal estándar de probabilidad.}

Forman una base ortogonal del espacio de Hilbert de las funciones que satisfacen el $del$

l \ el ^ del int_ {- \ infty} \ infty \ se fueron|f (x) \ derecho|^2 \, e^ {- x^2/2} \, dx< \ infty,

en cuál es dado el producto interno por el integral incluyendo una función gausiana

$\backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle=\; \backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; f\; (x)\; \backslash \; overline\; \{g\; (x)\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; dx.$

Ecuación diferencial de Hermite

El polinomio de Hermite del th del n satisface la ecuación diferencial de Hermite: del $H\_n\; del$

l (x) - xH_n'(x)+nH_n (x)=0. ¡\, \! $H\_n\; (x)\; -\; 2xH\_n\text{'}(x)+2nH\_n\; (x)=0\; del$
de (probabilista). ¡\, \! (físico)

Relación de la repetición

La secuencia de polinomios de Hermite también satisface la repetición $H\_\; del$

l {n+1} (x)=xH_n (x) - H_n'(x). ¡\, \! xH_n (x)=2 del $H\_\; del$
de (probabilista) {n+1} (x) - H_n'(x). ¡\, \! (físico)

Los polinomios de Hermite constituyen una secuencia de Appell, es decir, son una secuencia polinómica que satisface la identidad ¡, \, \! del x)=nH_ del $H\_n\text{'}(del$

l {n-1} (x)¡, \, \! del $H\_n\text{'}(x)=2nH\_\; \{n-1\}\; del$
de (probabilista) (x) (físico)

o equivalente, $H\_n\; del$

l (x+y)= \ $H\_n\; del$
de H_ del x^k del ^n del sum_ {k=0} {n \ elige k} {n-k} (y) (probabilista) (x+y)= \ ^ de H_ del ^n del sum_ {k=0} {n \ elige k} {k} (x) (2y) {(n-k)} (físico)

(la equivalencia de estas dos identidades pasadas no puede ser obvia, pero su prueba es un ejercicio rutinario).

Sigue que los polinomios de Hermite también satisfacen la relación de repetición ¡$H\_\; del$

l {n+1} (x)=xH_n (x) -, \, \! del nH_ {n-1} (x)$H\_\; del$
de (probabilista) {n+1} (x)=2xH_n (x) - 2nH_ {n-1} (x). ¡\, \! (físico)

Función de generación

Los polinomios de Hermite son dados por la función de generación exponencial $\backslash \; exp\; del$

l (xt-t^2/2) = \ ^ del sum_ {n=0} \ H_n infty (x) \ frac {t^n} {n!}¡\, \! (probabilista)

¡ $\backslash \; exp\; del$

l (2xt-t^2) = \ ^ del sum_ {n=0} \ H_n infty (x) \ frac {t^n} {n!}¡\, \! (físico)

Valor previsto

Si el X entonces es una variable al azar con un de distribución normal con la desviación estándar 1 y el μ del valor previsto ¡$E\; del$

l = \ mu^n. (de H_n (X)) \, \! (probabilista)

Relaciones a otras funciones

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como caso especial de los polinomios de Laguerre. ¡

$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n\; n!\; ¡\backslash ,\; L\_\; \{n\}\; ^\; \{(-\; 1/2)\}\; (x^2)\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡$ (físico)
$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; 2\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n\; n!\; \backslash ,\; x\; \backslash ,\; ^\; de\; L\_\; \{n\}\; \{(el\; 1/2)\}¡(x^2)\; \backslash ,\; \backslash !$ (físico)

Relación a las funciones hipergeométricas confluentes

Los polinomios de Hermite se pueden expresar como caso especial de las funciones de cilindro parabólico $H\_\; del$

l {n} (x) = 2^ {} \, de n U \ se fue (\, \ frac {3} del frac {1-n} {2} {2}; x^2 \) derecho (físico)

donde $U\; (a,\; b;\; z)$ es la función hipergeométrica confluente de Whittaker. Semejantemente,

$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; de\; n\; \{(2n)!\}\{n!\}\; \backslash ,\; \_1F\_1\; \backslash \; ido\; (-,\; \backslash \; frac\; \{1\}\; de\; n\; \{2\};\; x^2\; \backslash )$ derecho (físico)

$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 1)\; \{\}\; \backslash ,\; \backslash \; frac\; de\; n\; \{(2n+1)!\}\{n!\}\backslash ,\; 2x\; \backslash ,\; \_1F\_1\; \backslash \; se\; fue\; (-,\; \backslash \; frac\; \{3\}\; de\; n\; \{2\};\; x^2\; \backslash )$ derecho (físico)

donde $\backslash ,\; \_1F\_1\; (a,\; b;\; z)=M\; (a,\; b;\; z)$ es la función hipergeométrica confluente de Kummer.

Representación del operador diferenciado

Los polinomios de Hermite satisfacen la identidad ¡$H\_n\; del$

l (x^n del x)=e^ {- D^2/2} \, \! , (probabilista)

donde el D representa la diferenciación con respecto al x, y el exponencial es interpretada ampliándolo como serie de energía . No hay cuestiones delicadas de la convergencia de esta serie cuando funciona encendido polinomios, puesto que todo sino finito muchos términos desaparece. La existencia de un cierto formal g ( D ) de la serie de energía, con coeficiente constante diferente a cero, tales que el H_n ( x ) = el xⁿ de g ( D ) del, es otro equivalente a la declaración que estos polinomios forman una secuencia de Appell. Puesto que son una secuencia de Appell son el por mayor razón a la secuencia de Sheffer.

Representación del integral de contorno

Los polinomios de Hermite tienen una representación en términos de integral de contorno, como $H\_n\; del$

l (x)= \ frac {n!}{2 \ pi i} \ oint \ frac {e^ {} \, de tx-t^2/2}} {t^ {n+1} dt (probabilista) $H\_n\; del$

l (x)= \ frac {n!}{2 \ pi i} \ oint \ frac {e^ {} \, de 2tx-t^2}} {t^ {n+1} dt (físico)

con el contorno cercando el origen.

Generalización

(Los polinomios de Hermite del probabilists') definidos arriba son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal estándar, cuya es función de densidad ¡

$\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; raíz\; cuadrada\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; \backslash !$

cuál tiene el valor previsto 0 y variación 1. Uno puede hablar de los polinomios de Hermite ¡$H\_n^\; del$

l {} (x) \, \!

del α de la variación, donde está cualquier número el α positivo. Éstos son ortogonales con respecto a la distribución de probabilidad normal cuya es función de densidad e^ del ^ del $del$

l (2 \ pi \ alfa) {- el 1/2} {- x^2/(2 \ alfa)}. ¡\, \!

Se dan cerca ¡$H\_n^\; del$

l {} (x)=e^ {- \ alfa D^2/2} x^n. \, \!

Si ¡$H\_n^\; del$

l {} (x)= \ x^k del _ del h^ del ^n del sum_ {k=0} {} {n, k} \, \!

entonces la secuencia polinómica cuyo es término del th del n ¡

$\backslash \; ido\; (H\_n^\; \{\}\; \backslash \; circ\; H^\; \{\}\; \backslash \; derecho)\; (x)=\; \backslash \; sum\_\; \{k=0\}\; ^n\; h^\; \{\}\; \_\; \{n,\}\; \backslash ,\; de\; k\; H\_k^\; \{\}\; (x)\; \backslash ,\; \backslash !$

es la composición umbral de las dos secuencias polinómicas, y puede ser demostrado para satisfacer las identidades ¡$del$

l \ (H_n^ {} \ circ H^ {} \ derecho) (x)=H_n^ {} (x) dejado \, \!

y $H\_n^\; del$

l {} (x+y)= \ ^ de H_k^ del ^n del sum_ {k=0} {n \ elige k} {} (x) H_ {n-k} {} (y). ¡\, \!

La identidad pasada es expresada diciendo que esta familia dada parámetros de secuencias polinómicas es una cruz-secuencia .

" Variance" negativo;

Desde secuencias polinómicas formar un grupo bajo operación de la composición umbral, uno puede denotar cerca ¡$H\_n^\; del$

l {} (x) \, \!

la secuencia que es inversa a la que está denotada semejantemente pero sin el signo de menos, y habla así de los polinomios de Hermite de la variación negativa. Para el α > 0, los coeficientes del n ( x ) del _{del H es apenas los valores absolutos de los coeficientes correspondientes del n} ( x ) del _{del H .}

Éstos se presentan como momentos de distribuciones de probabilidad normales: El momento del th del n del de distribución normal con el μ y la variación σ² del valor previsto es ¡

$E\; (X^n)=H\_n^\; \{\})\; \backslash ,\; \backslash !\; (\backslash \; MU$

donde está una variable el X al azar con el de distribución normal especificada. Un caso especial de la identidad de la cruz-secuencia entonces dice eso ¡$del$

l \ ^ de H_k^ del ^n del sum_ {k=0} {n \ elige k} {} (x) H_ {n-k} {} (y)=H_n^ {} (x+y)= (x+y)^n. \, \!

Usos

Funciones de Hermite

Uno puede definir las funciones de Hermite del de los polinomios de los físicos: ¡_n del $del$

l {\ PSI} (x) = \ frac {1} {\ raíz cuadrada {n! } \, de 2^n \ de la raíz cuadrada {\ pi}} e^ {- x^2/2} H_n (x). ¡\, \!

Puesto que estas funciones contienen la raíz cuadrada de la función de peso, y se han escalado apropiadamente, son ortonormales: ¡

$\backslash \; int\_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \backslash \; infty\; \backslash \; psi\_n\; (x)\; \backslash \; psi\_m\; (x)\; \backslash ,\; dx=\; \backslash \; delta\_\; \{\backslash \}\; \backslash ,\; \backslash !\; del\; mathit\; \{nanómetro\}$ (físico)

Satisfacen la ecuación diferencial: $del$

l \ del psi_n (x)+ (2n+1-x^2) \ psi_n (x)=0. ¡\, \!

Esta ecuación es equivalente a la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico en mecánicos de quántum, así que estas funciones son las funciones propias.

Hermite funciona mientras que las funciones propias del Fourier transforman

El Hermite funciona _n del $\{\backslash \; PSI\}\; (x)$ son las funciones propias que Fourier continuo transforma . Para ver esto, tomar la versión del físico de la función de generación y multiplicarse por el $\backslash \; exp\; (-\; x^2/2)$. Esto da $\backslash \; exp\; del$

l del
del
del
(- x^2/2 + 2xt-t^2) = \ ^ del sum_ {n=0} \ infty \ exp (- x^2/2) H_n (x) \ frac {t^n} {n!}¡\, \!

Eligiendo la representación unitaria del Fourier transformar, el Fourier transforman del lado de mano izquierda se da cerca

Coeficientes combinatorios

En el polinómico n ( x ) del _{del H de Hermite de la variación 1, el valor absoluto del coeficiente del k del ^{del x es el número de particiones (desordenadas) de un n - miembro fijado en singletons del k y (&minus del n ; k ) /2 par (desordenado).}}

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