En las matemáticas, los polinomios de Jacobi del son una clase de los polinomios ortogonales . Se obtienen de la serie hipergeométrica en caso de que la serie sea de hecho finita: $P\_n^\; del$

l {(\ alfa, \ beta)}(z)= \ frac {(\ alpha+1) _n} {n!} \, _2F_1 \ ido (- n, 1+ \ alpha+ \ beta+n; \ alpha+1; \ frac {1-z} {2} \ derecho),

donde está el símbolo el $(\backslash \; alpha+1)\; \_n$ de Pochhammer (para el levantamiento factorial), (Abramowitz y Stegun p561.) y tener así la expresión explícita

$P\_n^\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}\; (z)\; =\; ¡\backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+n+1)\}\; \{n!\; \backslash \; Gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1)\}\; \backslash \; ^n\; del\; sum\_\; \{m=0\}\; \{n\; \backslash \; elige\; m\}\; \backslash \; ^m\; del\; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alfa\; +\; \backslash \; beta\; +\; n\; +\; m\; +\; 1)\}\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alfa\; +\; m\; +\; 1)\}\; \backslash \; dejado\; (\backslash \; frac\; \{z-1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho),$

de cuál sigue el valor terminal $P\_n^\; del$

l {(\ alfa, \ beta)} (1) = {n+ \ la alfa \ eligen n}. Aquí para el $n\; del\; número\; entero\; \backslash ,$ del\; de$\{z\; \backslash \; elige\; n\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (z+1)\}\; \{\backslash \; gamma\; (n+1)\; \backslash \; la\; gamma\; (z-n+1)\},$ y $\backslash \; gamma\; (z)\; \backslash ,$ es la función gamma generalmente, que tiene la característica $1/\backslash \; gamma\; (n+1)\; =\; 0\; \backslash ,$ para $n=-1,\; -\; 2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$. Así,

Los polinomios tienen el $P\_n^\; dela\; relaciónde\; la\; simetría\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}\; (-\; z)\; =\; (-\; ^n\; P\_n^\; de\; 1)\; \{(\backslash ,\; beta\; \backslash \; alfa)\}\; (z)$; así el otro valor terminal es $P\_n^\; del$

l {(\ alfa, \ beta)} (- 1) = (- ^n de 1) {n+ \ beta \ eligen n}.

Para $x$ verdadero el polinomio de Jacobi puede alternativo estar escrito como $P\_n^\; del\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}(x)=\; \backslash \; sum\_s\; \{n+\; \backslash \; la\; alfa\; \backslash \; eligen\; s\}\; \{n+\; \backslash \; beta\; \backslash \; eligen\; el\; n-s\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{n-s\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x+1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{s\}$ donde $s\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash ,$ y $n-s\; \backslash \; GE\; 0\; \backslash ,$. En el caso especial que las cuatro cantidades $n$, $n+\; \backslash \; alpha$, $n+\; \backslash \; beta$, y + \ beta de $n+\; \backslash \; de\; la\; alfa\; es\; números\; enteros\; no\; negativos,\; el\; polinomio\; de\; Jacobi\; se\; puede\; escribir\; como$ P\_n^\; del\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}¡(x)=\; (n+\; \backslash \; alfa)!\; ¡(n+\; \backslash \; beta)!\; \backslash \; sum\_s\; ¡\backslash \; ido\; (n+\; \backslash \; alfas)!\; ¡(\backslash \; beta+s)!\; ¡(n-s)!\; \backslash \; right^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x-1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{n-s\}\; \backslash \; (\backslash \; frac\; \{x+1\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{s\}.$La\; suma\; en\; los$ s\; \backslash ,$extiende\; sobre\; todos\; los\; valores\; denúmero\; enteropara\; los\; cuales\; las\; discusiones\; de\; los\; factorials\; sean\; no\; negativas.$

Este forma permite expresión de Wigner d-matriz $d^j\_\; \{m\; m\}\; (\backslash )\; \backslash ;\; de\; la\; phi$ ($0\; \backslash \; le\; \backslash \; phi\; \backslash \; le\; 4\; \backslash \; pi$) en términos del $del\; de\; los\; polinomios\; de\; Jacobi\; el\; d^j\_\; \{m\text{'}m\}\; (\backslash \; phi)\; =\; \backslash \; se\; fue\; ¡\backslash \; frac\; \{(j+m)!\; (JM)!\}¡\{(j+m\text{'})!\; (j-m\text{'})!\}\backslash ]\; ^\; correcto\; \{el\; 1/2\}\; \backslash \; (\backslash pecado\backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{m-m\text{'}\}\; \backslash \; (\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\}\; \{2\}\; \backslash \; derecho)\; ^\; dejado\; \{m+m\text{'}\}\; ^\; de\; P\_\; \{JM\}\; \{(m-m\text{'},\; m+m\text{'})\}\; (\backslash \; lechuga\; romana\; \backslash \; phi).$

Derivados

El derivado de $k$-th de la expresión explícita lleva a

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; d^k\; del\; mathrm\}\; \{\backslash \; z^k\; del\; mathrm\; d\}\; P\_n^\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1+k)\}\; \{2^k\; \backslash \; gamma\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+n+1)\}\; ^\; de\; P\_\; \{n-k\}\; \{,\; (\backslash \; alpha+k\; \backslash \; beta+k)\}\; (z).$