En las matemáticas, los polinomios de Laguerre del, nombrados después Edmundo Laguerre (1834 - 1886), son las soluciones canónicas de la ecuación de Laguerre del :

$x\; \backslash ,\; de\; y\; +\; (1\; -\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; n\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

cuál es una ecuación diferencial linear second-order. Esta ecuación tiene soluciones no singulares solamente si el de n es un número entero no negativo.

Estos polinomios, $L\_0\; generalmente\; denotado,\; L\_1,\; \backslash \; dots$, son una secuencia polinómica que se puede definir por la fórmula de Rodrigues

$L\_n\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{e^x\}\; \{n!\}\backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; d^n\}\; \{dx^n\; (x^n\; del\; e^\; \{-\; x\}\; \backslash \; derecho).$

Son el ortogonal el uno al otro con respecto al producto interno dado cerca

$\backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; =\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; f\; (x)\; g\; (x)\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; de\; x\; dx.$

La secuencia de polinomios de Laguerre es una secuencia de Sheffer.

Los polinomios de Laguerre se presentan en mecánicos de quántum, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo del uno-electrón.

Los físicos utilizan a menudo una definición para los polinomios de Laguerre que sea más grande, por un factor del $(n!)$, que la definición utilizó aquí.

Los primeros polinomios

Éstos son los primeros polinomios de Laguerre:

class="

width=" del n align=" del $L\_n\; (x)\; \backslash ,$ align=" del 0 $1\; \backslash ,$ align=" del 1 $-x+1\; \backslash ,$ align=" del 2 $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; (x^2-4x+2)\; \backslash ,$ align=" del 3 $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{6\}\}\; (-\; x^3+9x^2-18x+6)\; \backslash ,$ align=" del 4 $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{24\}\}\; (x^4-16x^3+72x^2-96x+24)\; \backslash ,$ align=" del 5 ) x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120 \, del $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{120\}\}\; (-$ align=" del 6 $\{\backslash \; scriptstyle\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{720\}\}\; (x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720)\; \backslash ,$

Como integral de contorno

Los polinomios se pueden expresar en términos de integral de contorno

$L\_n\; (x)=\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash \; oint\; \backslash \; frac\; \{e^\; de\; 2\; \backslash \; pi\; i\; \{-\; xt/(1-t)\}\}\; \{(1-t)\; \backslash ,\}\; \backslash ;\; del\; t^\; \{n+1\}\; dt$

donde el contorno circunda el origen una vez en una dirección a la izquierda.

Definición recurrente

Podemos también definir los polinomios de Laguerre recurrentemente, definiendo los primeros dos polinomios como

$L\_0\; del\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$L\_1\; del\; (x)\; =\; 1\; -\; x\; \backslash ,$

y entonces usar la relación de repetición para cualquie $k\; \backslash \; geq\; 1$:

$L\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{k\; +\; 1\}\; \backslash \; cebada\; bigg\; ((2k\; +\; 1\; -\; x)\; L\_k\; (x)\; -\; k\; L\_\; \{k\; -\; 1\}\; (x)\; \backslash \; cebada\; bigg)$

Polinomios generalizados de Laguerre

La característica de la ortogonalidad indicada arriba es equivalente a decir que si el X es una variable al azar exponencial distribuida con la función de densidad de probabilidad

de la matriz

entonces

$E\; (L\_n\; (X)\; L\_m\; (X))\; =0\; \backslash \; \backslash \; mbox\; \{siempre\; que\}\; \backslash \; n\; \backslash \; neq\; m.$

La distribución exponencial no es la distribución gamma del único . Una secuencia polinómica ortogonal con respecto a la distribución gamma cuya función de densidad de probabilidad está, para el $\backslash \; alpha>-1$,

de la matriz

(véase la función gamma ) es dado por la ecuación de definición de Rodrigues para los polinomios generalizados de Laguerre: $L\_n^\; del$

l {(\ alfa)}(x)= {e^x del x^ {- \ alfa} \ sobre n!}{d^n \ sobre} \ dejado del dx^n (x^ del e^ {- x} {n+ \ alfa} \ derecho).

Éstos también a veces se llaman los polinomios asociados de Laguerre. Los polinomios simples de Laguerre son recuperados de los polinomios generalizados fijando el α = 0: $L^\; del$

l {(0)}_n (x)=L_n (x).

Los polinomios asociados de Laguerre son ortogonales sobre $con\; respecto\; al$ x^\; \backslash \; al\; e^\; alfa\; \{-\; x\}$de\; la\; función\; ponderante:\; x^\; del\; e^\; del$ \backslash \; int\_0^\; del$$

l {\ infty} {- x} \ L_n^ alfa {(\ alfa)}(x) L_m^ {(\ alfa)}dx= (x) \ frac {\ gamma (n+ \ alpha+1)} {n!}\ delta_ {nanómetro}.

El integral siguiente se necesita en el tratamiento mecánico del quántum del átomo de hidrógeno,

$\backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; infty\}\; e^\; \{-\}\; x^\; x\; \backslash \; left^2\; dx=\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \backslash \; frac\; \{(n+\; \backslash \; alfa)!\}\{n!\}(2n+\; \backslash \; alpha+1).$

Los polinomios asociados de Laguerre obedecen la ecuación diferencial siguiente:

$x\; L\_n^\; \{(\backslash )\; \backslash \; prima\; \backslash \; prima\; de\; la\; alfa\}\; (x)\; +\; (\backslash \; alpha+1-x)\; L\_n^\; \{(\backslash )\; \backslash \; prima\; de\; la\; alfa\}\; (x)\; +\; n\; L\_n^\; \{(\backslash \; alfa)\}(x)=0.\; \backslash ,$

Obedecen la relación de repetición siguiente para el $n\; \backslash \; el\; geq\; 1$: ^ del $L\_\; del$

l {n + 1} {(\ alfa)}(x) = \ frac {1} {n + 1} \ cebada bigg ((2n + 1 + \ alfa - x) L_n^ {(\ alfa)}(x) - (n + \ alfa) ^ de L_ {n - 1} {(\ alfa)}(x) \ cebada bigg).

Dos otras relaciones de repetición que son a veces útiles son ^ del $L\_\; del$

l {n + 1} {(\ alfa)}(x) = ^ de L_ {n+1} {(\ alpha-1)}(x) + L_n^ {(\ alfa)}(x), ^ del $L\_\; del$

l {n + 1} {(\ alfa)}(x) = \ frac {1} {n + 1} \ cebada bigg ((n + 1 + \ alfa) L_n^ {(\ alfa)}(x) - ^ de x L_ {n} {(\ alpha+1)} (x) \ cebada bigg).

Ejemplos explícitos de los polinomios generalizados de Laguerre

El polinomio generalizado de Laguerre del grado $n$ es (como sigue de aplicar el teorema de Leibniz para la diferenciación de un producto a la fórmula de definición de Rodrigues)

$L\_n^\; \{(\backslash \; alfa)\}\; (x)\; =\; \backslash \; sum\_\; \{m=0\}\; ^n\; \{n+\; \backslash \; la\; alfa\; \backslash \; eligen\}\; \backslash \; frac\; del\; nanómetro\; \{(-)\; ^m\; x\}\; \{m!\}$ ¡de cuál vemos que el coeficiente del término principal es el $(-\; 1)\; ^n/n!$ y el término constante (que es también el valor en el origen) es $\{n+\; \backslash \; la\; alfa\; \backslash \; eligen\; n\}.$

Los polinomios generalizados los primeros de Laguerre son: $L\_0^\; del$

l {(\ alfa)} (x) = 1 $L\_1^\; del$

l {(\ alfa)}(x) = - x + \ alfa +1 $L\_2^\; del$

l {(\ alfa)}(x) = \ + \ frac del frac {x^2} {2} - (\ alfa + 2) x {(\ alpha+2) (\ alpha+1)} {2} $L\_3^\; del$

l {(\ alfa)}(x) = \ frac {- x^3} {6} + \ 2} - \ frac {(\ alpha+2) (\ alpha+3) x} {2} del frac {(\ alpha+3) x^2} { + \ frac {(\ alpha+1) (\ alpha+2) (\ alpha+3)} {6}

Derivados de los polinomios generalizados de Laguerre

El distinción de la representación de la serie de energía de los tiempos polinómicos generalizados de Laguerre un $k$ lleva a

$\backslash \; frac\; \{\backslash \; d^k\; del\; mathrm\}\; \{\backslash \; x^k\; del\; mathrm\; d\}\; L\_n^\; \{(\backslash \; alfa)\}\; (x)$

(- ^ de L_ del ^k de 1) {n-k} {(\ alpha+k)} (x) \.

Relación a los polinomios de Hermite

Los polinomios generalizados de Laguerre se relacionan con los polinomios de Hermite ¡

$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash \; 2^\; \{2n\}\; \backslash \; n!\; \backslash \; L\_n^\; \{(-\; 1/2)\}\; (x^2)$

y ¡

$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash \; 2^\; \{2n+1\}\; \backslash \; n!\; \backslash \; x\; \backslash \; L\_n^\; \{(el\; 1/2)\}\; (x^2)$

donde el $H\_n\; (x)$ son los polinomios de Hermite basados en el $\backslash \; exp\; de\; la\; función\; ponderante\; \{(-\; x^2)\}$, el " supuesto; version." del físico;

Debido a esto, los polinomios generalizados de Laguerre se presentan en el tratamiento del oscilador armónico de Quantum.

Relación a las funciones hipergeométricas

Los polinomios de Laguerre se pueden definir en términos de funciones hipergeométricas específicamente las funciones hipergeométricas confluentes como $L^\; del$

l {(\ alfa)}_n (x) = {n+ \ la alfa \ eligen n} M (-, \ alpha+1 de n, x) = \ frac {(\ alpha+1) _n} {n!} \, _1F_1 (-, \ alpha+1, x) de n

donde está el símbolo el $(a)\; \_n$ (que de Pochhammer en este caso de representa el factorial de levantamiento).

Zenithic

Sam McPherson

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