En las matemáticas, una secuencia polinómica ortogonal es una secuencia infinita de los polinomios $p\_0\; (x),\; \backslash \; p\_1\; (x),\; \backslash \; p\_2\; (x),\; \backslash \; \backslash \; los\; ldots,$ en el cual cada $p\_n\; (x)$ tiene el n del grado, y tal que cualquier dos diversos polinomios en la secuencia son ortogonales el uno al otro en el sentido siguiente: el

uno del puede definir un producto interno en las funciones, (análogas al " ordinario; " del producto de punto ; para los vectores), integrando el producto de las funciones: $del$

l del
\ langle f, g \ rangle= \ ^ del int_ {x_1} {x_2} f (x) g (x) \, dx el

l más generalmente, uno puede poner un " fijo; function" del peso; W ( x ) en el integral: $del$

l del
\ langle f, g \ rangle= \ ^ del int_ {x_1} {x_2} f (x) g (x) W (x) \, dx las funciones del

dos del son el ortogonal el uno al otro si su producto interno es cero, ese los vectores ordinarios son de la misma manera ortogonales (perpendicular) si su producto de punto es cero. el

l un producto tan interno hace el sistema de todas las funciones de la norma finita un espacio de Hilbert .

Una secuencia polinómica es tan una secuencia ortogonal con respecto al W de la función de peso cuando cualquier dos diversos polinomios en la secuencia son ortogonales, usar esa función de peso, es decir,

$\backslash \; langle\; p\_m,\; p\_n\; \backslash \; rangle=\; \backslash \; int\_\; \{x\_1\}\; ^\; \{x\_2\}\; p\_m\; (x)\; p\_n\; (x)\; \backslash ,\; W\; (x)\; \backslash ,\; dx=0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{siempre\; que\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; neq\; n.$

El intervalo de la integración se llama el intervalo del de la ortogonalidad . Puede ser que sea infinito en un o ambo extremos.

El campo de polinomios ortogonales se convirtió en el siglo XIX del último de un estudio de las fracciones continuas por el Stieltjes . Se desarrolló en ricos de un campo en usos a muchas áreas de la física de las matemáticas y.

Los polinomios ortogonales más simples son los polinomios de Legendre, para los cuales el intervalo de la ortogonalidad está y la función de peso es simplemente 1:

$P\_0\; del\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$P\_1\; del\; (x)\; =\; x\; \backslash ,$

$P\_2\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{3x^2-1\}\; \{2\}\; \backslash ,$

$P\_3\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{5x^3-3x\}\; \{2\}\; \backslash ,$

$P\_4\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{35x^4-30x^2+3\}\; \{8\}\; \backslash ,$ $\backslash \; vdots$ del

l del
del

Éstos son todos excesivos ortogonal:

$\backslash \; int\_\; \{-\; ^\; de\; 1\}\; \{1\}\; P\_m\; (x)\; P\_n\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{siempre\; que\}\; \backslash \; qquad\; m\; \backslash \; ne\; n$

Requerimos que la función de peso sea terminantemente positivo dentro del intervalo de la ortogonalidad. En algunos casos, puede ser cero, o apagarse al infinito, en los puntos del extremo. El integral de la función de peso mide el tiempo de polinomio debe ser finito.

Ahora el cualquier secuencia de de los polinomios $p\_0,\; p\_1,\; \backslash \; puntea,$ con cada k del _{del p que tiene k del grado, es una base para el espacio de vector (infinito-dimensional) de todos los polinomios. Una secuencia ortogonal es apenas una secuencia que abarca una base ortogonal para ese espacio, concerniente al producto interno dado.}

El Gramo-Schmidt de proceso puede dar vuelta a cualquier base para un espacio de vector en una base ortogonal, comenzando con un vector y entonces nuevos vectores en varias ocasiones de incorporación mientras que hace cada nuevo vector ortogonal todos los anteriores. Esto es hecha restando conveniente combinaciones lineares de los vectores anteriores. Hacer esto para los polinomios es de uso frecuente como un ejercicio en cursos elementales de la álgebra linear. Da lugar a los polinomios de Legendre.

Al hacer una base ortogonal, uno se puede tentar para hacer un base ortonormal de, es decir, uno en el cual p_n del $\backslash \; del\; langle,\; p\_n\; \backslash \; rangle\; \backslash \; =\; \backslash \; 1$. Para los polinomios, esto resultaría a menudo adentro raíces cuadradas feas en los coeficientes. En lugar, los polinomios se escalan a menudo de una manera ese los matemáticos convienen encendido, eso hace los coeficientes y otras fórmulas más simples. Esto se llama la estandardización del . El " classical" los polinomios enumeraron abajo se han estandardizado, típicamente fijando sus coeficientes principales a una cierta cantidad específica, o fijando a valor específico para el polinomio. Esta estandardización no tiene ninguna significación matemática; es apenas una convención. La estandardización también implica el escalar de la función de peso en una manera acordada.

Una vez que se ha estandardizado una secuencia polinómica, podemos definir la norma . Dejado, \ p_n \ rangle. del p_n del $h\_n=\; \backslash \; del\; langle\; del$

l

La norma es la raíz cuadrada de esto. Los valores del $\backslash \; h\_n$ para el clásico estandardizada los polinomios serán enumerados en la tabla abajo. Usar el $\backslash \; h\_n$, tenemos, \ p_n \ rangle del p_m del $\backslash \; del\; langle\; del$

l \ = \ \ delta_ {manganeso} h_n

donde está el delta δ_mn de Kronecker.

Características generales de secuencias polinómicas ortogonales

Todas las secuencias polinómicas ortogonales tienen un número de características elegantes y fascinadoras. Antes de proceder con ellas:

Lema 1: Dado un $dela\; secuencia\backslash \; un\; p\_i\; polinómicos\; ortogonales\; (x)$, cualquier polinómico S ( x ) del n ^th-degree se puede ampliar en términos de $p\_0,\; \backslash \; puntos,\; p\_n$. Es decir, hay, _0 \ puntea del $de\; los\; coeficientes\; \{\backslash \; alfa\},\; \{\backslash \; alfa\}\; \_n$ tales que $S\; del$

l (_i del ^n del x)= \ del sum_ {i=0} {\ alfa} \ p_i (x).

Prueba por la inducción matemática . Elegir el $\backslash \; \{\backslash \; alfa\}\; \_n$ de modo que el término del $\backslash \; x^n$ de El S ( x ) empareja el del $\backslash \; \{\backslash \; alfa\}\; del\; \_nP\_n\; (x)$. Entonces $\backslash \; S\; (x)\; -\; \{\backslash \; alfa\}\; \_n\; P\_n\; (x)$ es (  del n ; −   1) polinomio del th-grado. Continuar hacia abajo.

Lema 2: Dado una secuencia polinómica ortogonal, cada uno de sus polinomios es ortogonal al cualquier polinomio de de un grado terminantemente más bajo.

Prueba: dado n, cualquie polinomio del   del n del grado; −   1 o baja se puede ampliar en términos de $p\_0,\; \backslash \; puntos,\; p\_\; \{n-1\}$. ¡$p\_n\; \backslash ,$ es ortogonal a cada uno de ellos.

Relaciones de repetición

Cualquier secuencia ortogonal tiene una fórmula de repetición el relacionar de cualesquiera tres polinomios consecutivos en la secuencia:

$p\_\; \{n+1\}\; \backslash \; =\; \backslash \; ()\; \backslash \; p\_n\; \backslash \; -\; \backslash \; c\_n\; \backslash \; p\_\; \{n-1\}\; de\; a\_nx+b\_n.$

El de los coeficientes un, el b, y el c dependen del n . También dependen de la estandardización, obviamente. (prueba)

Los valores de $a\_n$, de $b\_n$ y de $c\_n$ se pueden resolver directo. Dejar $k\_j$ y el $k\_j\text{'}\; ser\; los\; primeros\; y\; segundos\; coeficientes\; de$ p\_j$:$ p\_j\; del$$

l (+ \ cdots de x)=k_jx^j+k_j'x^ {j-1}

y $h\_j$ sea el producto interno de $p\_j$ consigo mismo: $h\_j\; del$

l \ = \ \, \ p_j \ rangle. del p_j del langle

Tenemos $a\_n=\; del$

l \ frac {k_ {n+1}} {k_n}, \ b_n=a_n del qquad \ ido (\ frac {k_ {n+1} '} {k_ {n+1}} - \ frac {k_n'} {k_n} \ derecho), \ c_n=a_n del qquad \ ido (\ frac {h_n} del k_ {n-1} {h_ del k_n {n-1}} \ derecho).

Existencia de raíces verdaderas

Cada uno polinómico en una secuencia ortogonal tiene toda la n de sus raíces verdaderas, distinta, y terminantemente dentro del intervalo de la ortogonalidad. (prueba)

(Cualquier persona que ha representado polinomios gráficamente en High School secundaria sabe que es muy rara para a polinomio al azar-elegido del alto-grado para tener todas sus raíces verdaderas.)

Entrelazamiento de raíces

Las raíces de cada mentira polinómica terminantemente entre las raíces del más alto siguiente polinomio en la secuencia. (prueba)

Ecuaciones diferenciales que llevan a los polinomios ortogonales

Una clase muy importante de polinomios ortogonales se presenta de una ecuación diferencial de la forma

$\{Q\; (x)\}\; \backslash ,\; f\; +\; \{L\; (x)\}\; \backslash ,\; f\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; f\; =\; 0\; \backslash ,$

donde está un cuadrático el de Q dado (a lo más) el polinomio, y L es un polinomio linear dado. El de la función f, y el λ constante, deben ser encontrados.

l (nota que hace sentido para que tal ecuación tenga una solución polinómica. El
cada término en la ecuación es un polinomio, y los grados son.) constantes

Éste es un tipo de Sturm-Liouville de ecuación. Tales ecuaciones tener generalmente singularidades en sus funciones f de la solución a excepción de valores particulares del λ. Pueden ser pensados en un vector propio/problemas del valor propio : El dejar El de D sea el operador diferenciado, $D\; (f)\; =\; Q\; f\; +\; L\; f\text{'}\backslash ,$, y cambio de la muestra del λ, el problema es encontrar los vectores propios (funciones propias) f, y λ correspondiente de los valores propios, tal que f no tiene las singularidades y D ( f ) = el f del λ.

Las soluciones de esta ecuación diferencial tienen singularidades a menos que el λ tome encendido valores específicos. Hay series de números $\{\backslash \; lambda\}\; \_0,\; \{\backslash \; lambda\}\; \_1,\; \{\backslash \; lambda\}\; \_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$ eso lleva a una serie de las soluciones polinómicas $P\_0,\; P\_1,\; P\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$ si uno de los sistemas de condiciones siguientes se encuentran: el Q del

es realmente cuadrático, el L es linear, el Q tiene dos raíces verdaderas distintas, la raíz del L miente terminantemente entre las raíces del Q, y los términos principales del Q y del L tienen la misma muestra.

El Q no es realmente cuadrático, sino es linear, el L es linear, las raíces del Q y del L son diferentes, y los términos principales del Q y del L tienen la misma muestra si la raíz del L es menos que la raíz del Q, o viceversa.

El Q es apenas un constante diferente a cero, el L es linear, y el término principal del L tiene la muestra opuesta del Q .

Estos tres casos llevan al Jacobi-como, al Laguerre-como, y al Hermite-como polinomios de, respectivamente.

En cada uno de estos tres casos, tenemos el siguiente:

las soluciones es una serie de los polinomios $P\_0,\; P\_1,\; P\_2,\; \backslash \; puntos\; \backslash ,$, cada $P\_n\; \backslash ,$ que tiene n del grado, y correspondiendo a un _n del $del\; número\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,$.
El intervalo de la ortogonalidad se limita por lo que arraiga el Q tiene.
La raíz del L está dentro del intervalo de la ortogonalidad.
Dejando $R\; (x)\; =\; e^\; \{\backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; \backslash ,\; del\; dx$, los polinomios son ortogonales bajo $W\; de\; la\; función\; de\; peso\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{R\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,$
El W ( x ) no tiene ningunos ceros o infinito dentro del intervalo, aunque puede tener ceros o infinitos en los puntos del extremo.
El W ( x ) da un producto interno finito a cualquier polinomio.
El W ( x ) se puede hacer para ser mayor de 0 en el intervalo. (Negar la ecuación diferencial entera en caso de necesidad de modo que el Q ( x ) > 0 interiores el intervalo.)

Debido a el constante de la integración, el R ( x ) de la cantidad se determina solamente hasta un constante multiplicativo positivo arbitrario. Será utilizado solamente en ecuaciones diferenciales homogéneas (donde no lo hace esto materia) y en la definición de la función de peso (que puede también estar indeterminado.) Las tablas abajo darán el " official" valores del R ( x ) y del W ( x ).

Fórmula de de Rodrigues

Bajo asunciones de la sección precedente, P _n ( x ) es proporcional a $\backslash \; frac\; \{1\}\; \{W\; (x)\}\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{d^n\}\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del\; dx^n\; (W\; (x)^n\; \backslash \; derecho).$

Esto se conoce como fórmula de Rodrigues del . Se escribe a menudo $P\_n\; del$

l (x) = \ 1} \ \ frac {d^n} {dx^n} del frac {\ se fue (W (x)^n \ derecho)

donde el n del _{del e de los números depende de la estandardización. Los valores estándar de el n} del _{del e será dado en las tablas abajo.}

El n del λ _{de los números}

Bajo asunciones de la sección precedente, tenemos _n del $del$

l {\ lambda} = - n \ + L \ derecho dejado (\ del frac {n-1} {2} Q).

(Puesto que el de Q es cuadrático y L es linear, el $Q$ y el $L\text{'}\; son\; constantes,\; así\; que\; éstos\; son\; apenas\; números.)$

Segunda forma para la ecuación diferencial

Dejar $R\; (x)\; =\; e^\; \{\backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; \backslash ,\; del\; dx$.

Entonces

$(Ry\text{'})\; “=\; R\; \backslash ,\; y\; +\; R”\; \backslash ,\; y\; =\; R\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; y\text{'}.$

Ahora multiplicar la ecuación diferencial

$\{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \{L\}\; \backslash ,\; y\; +\}\; \backslash ,\; \{\backslash lambday\; =\; 0\; \backslash ,$

por el del / Q de R, consiguiendo

$R\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

o

$(Ry\text{'})\; \text{'}+\; \backslash \; frac\; \{R\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

Ésta es la forma estándar de Sturm-Liouville para la ecuación.

Tercera forma para la ecuación diferencial

Dejar $S\; (x)\; =\; \backslash \; raíz\; cuadrado\; \{R\; (x)\}\; =\; e^\; \{\backslash \; internacional\; \backslash \; frac\; \{L\; (x)\}\; \{2\; \backslash ,\; Q\; (x)\}\; \backslash ,\}\; \backslash ,\; del\; dx$.

Entonces = \ frac {S \, L} {2 \, Q} de los $S\; del$

l .

Ahora multiplicar la ecuación diferencial

$\{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \{L\}\; \backslash ,\; y\; +\}\; \backslash ,\; \{\backslash \; lambda\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

por el del / Q de S, consiguiendo

$S\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; L\}\; \{Q\}\; \backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

o

$S\; \backslash ,\; y\; +\; 2\; \backslash ,\; S\text{'}\backslash ,\; y\; +\; \backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

Pero $(\; de\; S\; \backslash ,\; y)\; =\; S\; \backslash ,\; de\; y\; +\; 2\; \backslash ,\; S\text{'}\backslash ,\; y\; +\; S\; \backslash ,\; y$, tan

$(S\; \backslash ,\; y)\; +\; \backslash \; dejado\; del\; (\backslash \; frac\; \{S\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\}\; \{Q\}\; -\; S\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\; \backslash ,$

o, dejando el u = Sy,

$u\; +\; \backslash \; -\; dejado\; (\backslash \; del\; frac\; \backslash \; frac\; \{S\; \}\; \{S\}\; \backslash )\; derecho\; \backslash ,\; \{\backslash \; lambda\}\; \{Q\}\; u\; =\; 0.\; \backslash ,$

Fórmulas que implican derivados

Bajo asunciones de la sección precedente, dejar el $P\_n^\; \{\}$ denota el derivado de r^th de $P\_n$. (Pusimos el " r" en los soportes para evitar la confusión con un exponente.) el $P\_n^\; \{\}$ es un polinomio del   del n del grado; −   r . Entonces tenemos el siguiente:
el

(ortogonalidad) para r fijo, el $P\_r^\; polinómico\; de\; la\; secuencia\; \{\},\; ^\; de\; P\_\; \{r+1\}\; \{\},\; \backslash \; dots$ del ^ de P_ {r+2} {} es ortogonal, cargado por el $WQ^r\; \backslash ,$.
(el $P\_n^\; de\; la\; fórmula\; de\; de\; Rodrigues\; generalizado)\; \{\}$ es proporcional al $\backslash \; al\; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; \backslash \; frac\; \{d^\; \{n-r\}\; de\; W\; (x)^r\}\}\; \{\}\; \backslash \; a\; la\; izquierda\; del\; dx^\; \{n-r\}\; (W\; (x)^n\; \backslash \; derecho)$.
(diferencial ecuación) $P\_n^\; \{\}$ es solución de $\{\}\; \backslash ,\; de\; Q\; de\; y\; +\; (rQ\text{'}+\; L)\; \backslash ,\; +\; \backslash ,\; del\; y\; y\; =\; 0\; \backslash ,$, donde está la misma función el _r del $\{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,$ que _n del $\{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,$, es decir, _r del $\{\backslash \; lambda\}\; =\; -\; r\; \backslash \; se\; fue\; (\backslash \; frac\; \{r-1\}\; \{2\}\; Q\; +\; L\; \backslash \; derecho)$
(diferencial ecuación, segundo forma) $P\_n^\; \{\}$ es solución de $(RQ^\; \{r\}\; y\text{'})\; \text{'}+\; RQ^\; \{r-1\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash ,$

Hay también algunas repeticiones mezcladas. En cada uno de éstos, el de los números un, el b, y el c dependen del n y el r, y está sin relación en las varias fórmulas.
$P\_n^\; del$

{} = ^ del aP_ {n+1} {} + bP_n^ {} + ^ del cP_ {n-1} {}
$P\_n^\; \{\}\; =\; (ax+b)\; P\_n^\; \{\}\; +\; ^\; del\; cP\_\; \{n-1\}\; \{\}$
$QP\_n^\; \{\}\; =\; (ax+b)\; P\_n^\; \{\}\; +\; ^\; del\; cP\_\; \{n-1\}\; \{\}$

Hay un número enorme de otras fórmulas que implican polinomios ortogonales de varias maneras. Aquí está una muestra minúscula de ellas, referente al Chebyshev, polinomios asociados de Laguerre, y de Hermite:

$2\; \backslash ,\; T\_\; \{m\}\; (x)\; \backslash ,\; T\_\; \{n\}\; (x)\; =\; T\_\; \{m+n\}\; (x)\; +\; T\_\; \{manganeso\}\; (x)\; \backslash ,$
¡$H\_\; \{2n\}\; (x)\; =\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n\; n!\; \backslash ,\; ^\; de\; L\_\; \{n\}\; \{(-\; 1/2)\}\; (x^2)$
¡$H\_\; \{2n+1\}\; (x)\; =\; 2\; (-\; ^\; de\; 4)\; \{\}\; \backslash ,\; de\; n\; n!\; \backslash ,\; x\; \backslash ,\; ^\; de\; L\_\; \{n\}\; \{(el\; 1/2)\}(x^2)$

Los polinomios ortogonales clásicos

La clase de polinomios que se presentan de la ecuación diferencial descrita arriba tiene muchos usos importantes en las áreas tales como la física matemática, teoría, la teoría de la interpolación de Matrices al azar, aproximaciones de la computadora, y muchos otras. Todos los estos polinomio las secuencias son equivalentes, debajo del escalamiento y/o del desplazamiento del dominio, y el estandardizar de los polinomios, a clases más restrictas. Ésos restringieron las clases son el " polynomials" ortogonal clásico;.

cada Jacobi-como secuencia polinómica puede tener su dominio cambiado de puesto y/o escalado de modo que sea su intervalo de la ortogonalidad, y tiene Q = 1  −   x ². Pueden entonces ser estandardizados en el $P\_n^\; de\; los\; polinomios\; de\; Jacobi\; del\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}$. Hay varias subclases importantes de éstos: Gegenbauer, Legendre, y dos tipos de Chebyshev .
Cada Laguerre-como secuencia polinómica puede hacer su dominio cambiar de puesto, ser escalado, y/o ser reflejado de modo que su intervalo de la ortogonalidad sea $\backslash )$ infty, y tiene '' Q '' = '' x ''. Pueden entonces ser estandardizados en el $L\_n^\; asociado\; \text{'}\text{'}\text{'}\; del\; \text{'}\text{'}\text{'}\; de\; los\; polinomios\; de\; Laguerre\; \{(\backslash \; la\; alfa)\}$. El $llano\backslash \; L\_n$ del ''' de los polinomios de Laguerre del ''' es una subclase de éstos. * Cada Hermite-como secuencia polinómica puede tener su dominio cambiado de puesto y/o escalado de modo que su intervalo de la ortogonalidad sea el $(-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)$, y tiene Q = 1 y L (0) = 0. Pueden entonces ser estandardizados en el $H\_n\; de\; lospolinomios\; de\; Hermitedel\; \backslash ,$.

Porque todo el polinomio ordena el surgimiento de una ecuación diferencial de la manera se describe arriba trivial el equivalente a los polinomios clásicos, el clásico real los polinomios se utilizan siempre.

Polinomios de Jacobi

Jacobi-como polinomios, una vez que han hecho su dominio cambiar de puesto y lo escalaron de modo que el intervalo de la ortogonalidad es, todavía tiene dos parámetros que se determinarán. Son el $\backslash \; alpha$ y el $\backslash \; beta$ en los polinomios de Jacobi, $P\_n^\; escrito\; \{(\backslash \; alfa,\; \backslash \; beta)\}$. Tenemos $Q\; (x)\; =\; 1\; x^2\; \backslash ,$ y $L\; (x)\; =\; \backslash \; beta\; \backslash \; alfa\; (\backslash \; alpha+\; \backslash \; beta+2)\; \backslash ,\; x$. El $\backslash \; alpha$ y el $\backslash \; beta$ se requieren ser mayores que − 1. (Esto pone la raíz de L dentro del intervalo de la ortogonalidad.)

Cuando el $\backslash \; alpha$ y el $\backslash \; beta$ no son iguales, estos polinomios no son simétricos sobre el x = 0.

La ecuación diferencial

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; +\; (\backslash \; beta\; \backslash \; alfa\; \backslash ,\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n+1+\; \backslash \; alpha+\; \backslash )\; beta\; \backslash ,$

es la ecuación de Jacobi del .

Para otros detalles, ver los polinomios de Jacobi.

Polinomios de Gegenbauer

Cuando uno fija el $\backslash \; alpha$ de los parámetros y el $\backslash \; beta$ en los polinomios de Jacobi iguales el uno al otro, uno obtiene Polinomios ultraspherical del Gegenbauer o del . Son $C\_n^\; escrito\; \{(\backslash \; alfa)\}$, y definido como $C\_n^\; del$

l {(\ alfa)}¡(x) = \ frac {\ gamma (2 \ alfa \! ¡+ \! ¡n) \, \ gamma (\ alfa \! ¡+ \! el 1/2)} ¡{\ Gamma () \, \ gamma de 2 \ alfa (\ alfa \! ¡+ \! ¡n \! ¡+ \! el 1/2)}¡\! \ P_n^ {, (\ alpha-1/2 \ alfa-1/2)}.

Tenemos $Q\; (x)\; =\; 1\; x^2\; \backslash ,$ y $L\; (x)\; =\; -\; (2\; \backslash \; alpha+1)\; \backslash ,\; x$. el $\backslash \; la\; alfa\; \backslash ,$ se requiere ser mayores que − el 1/2.

(Incidentemente, la estandardización dada en la tabla abajo no tendría ningún sentido para el α = 0 y el ≠ 0 del n, porque fijaría los polinomios a cero. En ese caso, la estandardización aceptada fija el $C\_n^\; \{(0)\}(1)\; =\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{n\}$ en vez del valor dado en la tabla.)

No haciendo caso de las consideraciones antedichas, el $\backslash \; alpha$ del parámetro es estrechamente vinculado a los derivados del $C\_n^\; \{(\backslash \; la\; alfa)\}$: ¡

$C\_n^\; \{(\backslash \; alpha+1)\}\; (x)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; \backslash !\; de\; 2\; \backslash \; alfa\; \backslash \; \backslash \; ^\; de\; C\_\; del\; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \{n+1\}\; \{(\backslash \; alfa)\}(x)$

o, más generalmente: $C\_n^\; del$

l {(\ alpha+m)} (x) = \ frac {\ gamma (\ alfa)}¡{2^m \ gamma (\ alpha+m)} \! \ ^ de C_ {n+m} {(\ alfa)}(x).

Todo el otro clásico Jacobi-como los polinomios (Legendre, etc.) es casos especiales de los polinomios de Gegenbauer, obtenidos eligiendo un valor del $\backslash \; alpha$ y eligiendo una estandardización.

Para otros detalles, ver los polinomios de Gegenbauer.

Polinomios de Legendre

La ecuación diferencial es

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -\; 2x\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n\; (n+1).\; \backslash ,$

Ésta es la ecuación de Legendre del .

La segunda forma de la ecuación diferencial es $del$

l (\, + \ lambda del y') '\, y = 0. \,

La relación de repetición es $del$

l (n+1) \, P_ {n+1} (x) = (2n+1) x \, P_n (x) - n \, P_ {n-1} (x). \,

Una repetición mezclada es ^ del $P\_\; del$

l {n+1} {} (x) = ^ de P_ {n-1} {} (x) + (2n+1) \, P_n^ {} (x). \,

La fórmula de Rodrigues es $P\_n\; del$

l (x) = \, \ frac {1} {2^n \, n!} \ \ frac {d^n} {dx^n} \ se fue (^n \ derecho).

Para otros detalles, ver los polinomios de Legendre.

Polinomios asociados de Legendre

El asoció los polinomios de Legendre, denotados se definen el $P\_\; \backslash \; el\; ell^\; \{(m)\}\; (x)$ donde $\backslash \; ell$ y $m$ están número entero con $0\; \{\backslash \; le\}\; m\}\; \backslash \; ell$ {\ le, como

$P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (-\; ^m\; de\; 1)\; \backslash ,\; (1-x^2)^\; \{m/2\}\; \backslash \; P\_\; \backslash \; ell^\; \{\}\; (x).\; \backslash ,$

El m entre paréntesis (evitar la confusión con un exponente) es un parámetro. El m en soportes denota el derivado del m ^th del polinomio de Legendre.

Este " polynomials" misnamed -- no son polinomios cuando el m es impar.

Tienen una relación de repetición:

$)\; \backslash ,\; (\backslash \; ell+1-m\; ^\; de\; P\_\; \{\backslash \; ell+1\}\; \{(m)\}\; (x)\; =\; (2\; \backslash \; ell+1)\; x\; \backslash ,\; P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)\; -\; (\backslash \; ell+m)\; \backslash ,\; ^\; de\; P\_\; \{\backslash \; ell-1\}\; \{(m)\}\; (x)\; \backslash ,$

Para el fijo m, el $P\_m^\; de\; la\; secuencia\; \{(m)\},\; ^\; de\; P\_\; \{m+1\}\; \{(m)\},\; \backslash \; dots$ del ^ de P_ {m+2} {(m)} ser ortogonal sobre 1, con el peso 1.

Para el dado m, $P\_\; \backslash \; ell^\; \{(m)\}\; (x)$ están las soluciones de

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -2xy\; +\; -\; \backslash \; frac\; \{m^2\}\; \{1-x^2\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; \backslash \; ana\; (\backslash \; ell+1)\; \backslash ,$

Polinomios de Chebyshev

La ecuación diferencial es

$(1-x^2)\; \backslash ,\; y\; -\; x\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n^2.\; \backslash ,$

Éste es el ''' de la ecuación de Chebyshev del '''.

La relación de repetición es $T\_\; del$

l {n+1} (x) = 2x \, T_n (x) - T_ {n-1} (x). \,

La fórmula de Rodrigues es, \ gamma (n+1/2) del $T\_n\; del$

l (x) = \ frac {\ gamma () \ raíz cuadrada {1-x^2} del 1/2} {(- ^n de 2) \} \ \ frac {} \ dejado del d^n} {dx^n (^ {n-1/2} \ derecho).

Estos polinomios tienen la característica que, en el intervalo de la ortogonalidad, $T\_n\; del$

l (x) = \ lechuga romana (n \, \ cos^ {- 1} (x)).

(Para probarlo, utilizar la fórmula de repetición.)

Esto significa que todos sus mínimos y máximos locales tienen valores del − 1 y +1, es decir, los polinomios son " level". Debido a esto, extensión de funciones en términos de Chebyshev los polinomios se utilizan a veces para el polinomio aproximaciones en librerías matemáticas de la computadora.

Algunos autores utilizan versiones de estos polinomios se han cambiado de puesto que de modo que el intervalo de la ortogonalidad es o.

Hay también polinomios del segundo bueno, $U\_n\; denotado\; de\; Chebyshev\; del\; \backslash ,$

Tenemos:

$U\_n\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{n+1\}\; \backslash ,\; T\_\; \{n+1\}\; \text{'}.\; \backslash ,$

Para otros detalles, incluyendo las expresiones para los primeros los polinomios, consideran los polinomios de Chebyshev.

Polinomios de Laguerre

El más general Laguerre-como polinomios, después de que se haya cambiado de puesto el dominio y escalados, son los polinomios asociados de Laguerre (también llamados los polinomios generalizados de Laguerre), $L\_n^\; denotado\; \{(\backslash \; alfa)\}$. Hay un $\backslash \; alpha$ del parámetro, que puede ser cualquiera número verdadero terminantemente mayor que − 1. El parámetro se pone entre paréntesis para evitar la confusión con un exponente. Los polinomios de Laguerre del llano son simplemente el $\backslash \; la\; alfa\; =\; los\; 0$ versión de éstos: $L\_n\; del$

l (x) = L_n^ {(0)}(x). \,

La ecuación diferencial es

$x\; \backslash ,\; y\; +\; (\backslash \; alfa\; +\; 1\; x)\; \backslash ,\; y\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; N.\; \backslash ,$

Ésta es la ecuación de Laguerre del .

La segunda forma de la ecuación diferencial es

$(x^\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\; x\}\; \backslash ,\; y\text{'})\; \text{'}+\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; x^\; \{\backslash \; alfa\}\; \backslash ,\; e^\; \{-\}\; \backslash ,\; de\; x\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

La relación de repetición es $del$

l (n+1) \, ^ de L_ {n+1} {(\ alfa)}(x) = () \, de 2n+1+ \ de la alfa-x L_n^ {(\ alfa)}(x) - () \, de n+ \ de la alfa ^ de L_ {n-1} {(\ alfa)}(x). \,

La fórmula de Rodrigues es $L\_n^\; del$

l {(\ alfa)}(x) = \ frac {e^x} del x^ {- \ alfa} {n!} \ \ frac {d^n} {dx^n} \ se fue (x^ {} \, de n+ \ de la alfa e^ {- x} \ derecho).

El $\backslash \; alpha$ del parámetro es estrechamente vinculado a los derivados del $L\_n^\; \{(\backslash \; la\; alfa)\}$: $L\_n^\; del$

l {(\ alpha+1)} (x) = - \ ^ de L_ del frac {d} {dx} {n+1} {(\ alfa)}(x)

o, más generalmente: $L\_n^\; del$

l {(\ alpha+m)} (x) = (- ^ de L_ del ^m de 1) {n+m} {(\ alfa)}(x).

La ecuación de Laguerre se puede manipular en una forma que sea más útil en usos: $u\; del$

l = e^ del x^ {\ frac {\ alpha-1} {2}} {- x/2} L_n^ {(\ alfa)}(x)

es una solución de

$u\; +\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\; \backslash ,\; u\; +\; \backslash \; se\; fue\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha^2-1\}\; \{4x^2\}\; \backslash \; derecho\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; n+\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; alpha+1\}\; \{2\}.\; \backslash ,$

Esto puede ser manipulada más a fondo. Cuando = \ frac {\ alpha-1} {2} del $\backslash \; de\; la\; ana\; es\; un\; número\; entero,\; y$ n\}\; \backslash \; ell+1$\{\backslash \; GE:$ u\; del$$

l = ^ de L_ del e^ del x^ {\ ana} {- x/2} {n \ ell-1} {(2 \ ell+1)} (x)

es una solución de

$u\; +\; \backslash \; frac\; \{2\}\; \{x\}\; \backslash ,\; u\; +\; \backslash \; se\; fue\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\; -\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; ana\; (\backslash \; ell+1)\}\; \{x^2\}\; \backslash \; derecho\; \backslash ,\; u\; =\; 0\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; N.\; \backslash ,$

La solución se expresa a menudo en términos de derivados en vez de los polinomios asociados de Laguerre: $u\; del$

l = ^ de L_ del e^ del x^ {\ ana} {- x/2} {n+ \ ana} {} (x).

Esta ecuación se presenta en mecánicos de quántum, en la parte radial de la solución de la ecuación de Schrödinger para un átomo del uno-electrón.

Los físicos utilizan a menudo una definición para los polinomios de Laguerre que sea más grande, por un factor del $(n!)$, que la definición utilizó aquí.

Para otros detalles, incluyendo las expresiones para los primeros polinomios, ver los polinomios de Laguerre.

Polinomios de Hermite

La ecuación diferencial es

$y\; -\; 2xy\text{'}\; +\; \{\backslash \; lambda\}\; \backslash ,\; y\; =\; 0,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; mathrm\; \{con\}\; \backslash \; qquad\; \backslash \; lambda\; =\; 2n.\; \backslash ,$

Ésta es la ecuación de Hermite del .

La segunda forma de la ecuación diferencial es

$(e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; y\text{'})\; \text{'}+\; e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash ,\; \backslash \; lambda\; \backslash ,\; y\; =\; 0.\; \backslash ,$

La tercera forma es

$(e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; y)\; +\; (\{\backslash \; lambda\}\; +1-x^2)\; (e^\; \{-\; x^2/2\}\; \backslash ,\; y)\; =\; 0.\; \backslash ,$

La relación de repetición es $H\_\; del$

l {n+1} (x) = 2x \, H_n (x) - 2n \, H_ {n-1} (x). \,

La fórmula de Rodrigues es

$H\_n\; (x)\; =\; (-\; ^n\; de\; 1)\; \backslash ,\; e^\; \{x^2\}\; \backslash \; \backslash \; frac\; \{\}\; \backslash \; dejado\; del\; d^n\}\; \{dx^n\; (e^\; \{-\; x^2\}\; \backslash \; derecho).$

Los polinomios de Hermite de los primeros son

$H\_0\; del\; (x)\; =\; 1\; \backslash ,$

$H\_1\; del\; (x)\; =\; 2x\; \backslash ,$

$H\_2\; del\; (x)\; =\; 4x^2-2\; \backslash ,$

$H\_3\; del\; (x)\; =\; 8x^3-12x\; \backslash ,$

$H\_4\; del\; (x)\; =\; 16x^4-48x^2+12\; \backslash ,$

Uno puede definir las funciones asociadas de Hermite

$\{\backslash \; PSI\}\; \_n\; (x)\; =\; ^\; (del\; h\_n)\; \{-\}\; \backslash ,\; del\; 1/2\; e^\; \{-\; x^2/2\}\; H\_n\; (x).\; \backslash ,$

Porque el multiplicador es proporcional a la raíz cuadrada de la función de peso, estas funciones ser ortogonal sobre el $(-\; \backslash \; infty,\; \backslash \; infty)$ sin la función de peso.

La tercera forma de la ecuación diferencial arriba, para el Hermite asociado funciona, es del $\backslash \; PSI\; del$

l + ({\ lambda} +1-x^2) \ PSI = 0. \,

Las funciones asociadas de Hermite se presentan en muchas áreas de las matemáticas y de la física. En mecánicos de quántum, son las soluciones de la ecuación de Schrödinger para el oscilador armónico. Son también funciones propias (con el valor propio (− el del ^{n del de i)) Fourier continuo transforma .}

Algunos autores, particularmente probabilistas, utilizan una definición alterna de los polinomios de Hermite, con una función de peso del $e^\; \{-\; x^2/2\}$ en vez del $e^\; \{-\; x^2\}$. Esto se nombra generalmente con el $He\; two-letter\; del\; símbolo\; \backslash ,$. Podría ser definida como $He\_n\; del$

l (x) = 2^ {- n/2} \, H_n \ ido (\ frac {x} {\ raíz cuadrada {2}} \ derecho).

Para otros detalles, ver los polinomios de Hermite.

Tabla de polinomios ortogonales clásicos

Ver también

Secuencias polinómicas del tipo binomial
Serie de Fourier Generalizada
Secuencia de Sheffer
Secuencia de Appell
Cálculo de Umbral
Medida secundaria

.

Zenithic

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