Libremente, el precio de sombra del es el cambio en el valor objetivo de la solución óptima de un problema de la optimización obtenido relajando el constreñimiento por una unidad. En una aplicación empresarial, un precio de sombra es el precio máximo que la gerencia está dispuesta a pagar una unidad adicional de un recurso limitado dado. ¿Por ejemplo, cuál es el precio de mantener una cadena de producción operacional por una hora adicional si la cadena de producción se funciona ya en su máximo límite de 40 horas? Ese precio es el precio de sombra.

Más formalmente, el precio de sombra es el valor del multiplicador de Lagrange en la solución óptima, así que significa que es el cambio infinitesimal en la función objetiva que se presenta de un cambio infinitesimal en el constreñimiento. Esto sigue del hecho que en la solución óptima el gradiente de la función objetiva es una combinación linear de los gradientes de la función del constreñimiento con los pesos iguales a los multiplicadores de Lagrange. Cada constreñimiento en un problema de la optimización tiene una variable dual del precio o de sombra.

El valor del precio de sombra puede proporcionar la penetración de gran alcance de los responsables en problemas. Por ejemplo si usted tiene un constreñimiento que limite la cantidad de trabajo disponible para 40 horas por semana, el precio de sombra le dirá cuánto usted estaría dispuesto a pagar por una hora de trabajo adicional. Si su precio de sombra es $10 para el constreñimiento de trabajo, por ejemplo, usted debe pagar no más de $10 por hora trabajo adicional. Los costes laborales menos que $10/hour aumentarán el valor objetivo; los costes laborales más que $10/hour disminuirán el valor objetivo. Los costes laborales de exactamente $10 harán el valor de la función objetiva seguir siendo iguales.

Ilustración #1

¡Suponer un $de\; los\; precios\; de\; las\; caras\; del\; consumidor\; \backslash ,\; \backslash !\; ¡p\_1,\; p\_2$ y se dota con el $de\; la\; renta\; \backslash ,\; \backslash !\; m$, entonces el problema de consumidores está: $¡\backslash \; máximo\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash !\; )\; x\_1,\; x\_2\; \backslash \; mbox\; de\; u\; (\{\}:\; \backslash \; mbox\; \{\}\; p\_1x\_1+p\_2x\_2=m\; \backslash \}$. ¡Formación del $de\; Lagrange\; de\; la\; función\; auxiliar\; \backslash ,\; \backslash !,\; (X\_1,\; x\_2\; \backslash \; lambda)\; de\; L:\; ¡=\; +\; \backslash \; lambda\; (m-p\_1x\_1-p\_2x\_2)$ de u (x_1, x_2), tomando las primeras condiciones de la orden y solucionándolas para su punto de silla de montar obtenemos el $\backslash ,\; \backslash !\; x^*\_1\; \backslash \; mbox\; \{,\}\; x^*\_2\; \backslash \; mbox\; \{,\}\; \backslash \; lambda^*$ que satisfacen: $\backslash \; lambda^*=\; \backslash \; frac\; del\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\; (x^*\_1,\; x^*\_2)\}\{\backslash \; x\_1\; parcial\}\}\; \{p\_1\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\; (x^*\_1,\; x^*\_2)\}\{\backslash \; x\_2\; parcial\}\}\; \{p\_2\}$ ¡Esto da nosotros claro interpretación de Lagrange multiplicador en contexto de consumidor maximización si consumidor es dado adicional dólar (el constreñimiento de presupuesto es relaxed) en óptimo consumo nivel donde está igual la utilidad marginal por el dólar para cada bueno al $\backslash ,\; \backslash !\; ¡\backslash \; lambda^*$ como arriba, entonces el cambio en utilidad máxima por dólar de renta adicional será igual al $\backslash ,\; \backslash !\; \backslash \; lambda^*$ puesto que en el grado óptimo el consumidor consigue la misma cantidad de utilidad marginal por dólar de pasar su renta adicional en cualquiera buena. En este caso el concepto del precio de sombra no lleva mucha importación-- la función objetiva (utilidad) y el constreñimiento (renta) se miden en diversas unidades.

Ilustración #2

Precios de la tenencia fijados, si definimos el $U\; (p\_1,\; p\_2\; del,\; m):\; ¡=\; \backslash \; máximo\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash !\; )\; x\_1,\; x\_2\; \backslash \; mbox\; de\; u\; (\{\}:\; \backslash \; mbox\; \{\}\; p\_1x\_1+p\_2x\_2=m\; \backslash \}$, ¡entonces tenemos el $del\; de\; la\; identidad\; \backslash ,\; \backslash !\; U\; (p\_1,\; p\_2,\; m)=u\; (x\_1^*\; (p\_1,\; p\_2,\; m),\; x\_2^*\; (p\_1,\; p\_2,\; m))$, ¡donde $\backslash ,\; \backslash !\; x\_1^*\; (\backslash \; cdot,\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; del\; cdot),\; x\_2^*\; (\backslash \; cdot,\; \backslash ,\; \backslash \; cdot\; del\; cdot)$ son las funciones de demanda, es decir x_i^* del $(p\_1,\; p\_2,\; m):\; ¡=\; \backslash \; arg\; \backslash \; máximo\; \backslash \; \{\backslash ,\; \backslash !\; )\; x\_1,\; x\_2\; \backslash \; mbox\; de\; u\; (\{\}:\; \backslash \; mbox\; \{\}\; p\_1x\_1+p\_2x\_2=m\; \backslash \}\; \backslash \; mbox\; \{para\}\; i=1,2$ ¡Ahora definir el $óptimo\; del\; de\; la\; función\; del\; gasto\; \backslash ,\; \backslash !\; E\; (p\_1,\; p\_2,\; m):\; =p\_1x\_1^*\; (p\_1,\; p\_2,\; m)+p\_2x\_2^*\; (p\_1,\; p\_2,\; m)$ ¡Asumir el differentiability y ese $\backslash ,\; \backslash !\; ¡\backslash \; el\; lambda^*$ es la solución en el $\backslash ,\; \backslash !\; p\_1,\; p\_2,\; m$, entonces tenemos de la regla de cadena multivariante: ¡$del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash \; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; del\; frac\; \{\backslash \; U\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_1\; parcial\}\; \backslash \; +\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; u\; parcial\}\; del\; frac\; \{\backslash \; x\_1^*\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; \{\backslash \; x\_2\; parcial\}\; \backslash \; =\; \backslash \; lambda^*\; p\_1\; \backslash \; +\; \backslash \; lambda^*\; p\_2\; \backslash \; =\; \backslash \; lambda^*\; del\; frac\; \{\backslash \; x\_2^*\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; del\; frac\; \{\backslash \; x\_1^*\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; del\; frac\; \{\backslash \; x\_2^*\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; \backslash \; ido\; (p\_1\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; x\_1^*\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; +\; p\_2\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; parcial\; x\_2^*\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\; \backslash )\; =\; derecho\; \backslash \; lambda^*\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; E\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}$ ¡Ahora podemos concluir ese $del\; \backslash ,\; \backslash !\; \backslash \; lambda^*\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; U\; parcial\}\; \{\backslash \; m\; parcial\}\}\; \{\backslash \}\; \backslash \; aproximadamente\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; mbox\; \{utilidad\; óptima\}\}\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; mbox\; \{gasto\; óptimo\}\}$ del frac {\ E parcial} {\ m parcial} ¡Esto da otra vez la interpretación obvia, en dólar adicional de gasto óptimo llevará al $\backslash ,\; \backslash !\; \backslash \; lambda^*$ unidades de utilidad óptima.

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