En la lógica formal y las ramas relacionadas de las matemáticas, un predicado funcional, o el símbolo de la función del, es un símbolo lógico que se puede aplicar a un término del objeto para producir otro término del objeto. Los predicados funcionales también a veces se llaman los mappings del, pero ese término tiene otros significados también. En un modelo, un símbolo de la función será modelado por una función .

Específicamente, el F del símbolo en un lenguaje formal es un símbolo funcional si, el dado algún X del símbolo de que representa un objeto en la lengua, F ( X ) es otra vez un símbolo que representa un objeto en esa lengua. En la lógica mecanografiada, F es un símbolo funcional con el tipo T del dominio del y el tipo U del codomain del si, dado algún X del símbolo la representación de un objeto del tipo T, F ( X ) es un símbolo que representa un objeto del tipo U . Uno puede definir semejantemente los símbolos de la función más que uno variable, análogos a las funciones más que una variable; un símbolo de la función en variables cero es simplemente un símbolo constante .

Ahora considerar un modelo del lenguaje formal, con los tipos T y U modelado por los sistemas y y cada X del símbolo del tipo T modelado por un elemento adentro. Entonces el F se puede modelar por el $del\; del\; sistema:\; =\; \backslash \; grande\; \backslash \; \{(,):\; \backslash \; en\; \backslash \; grande\; \backslash \},$ cuál es simplemente una función con dominio y el codomain. Es un requisito de un modelo constante que = siempre que =.

Introducción de nuevos símbolos de la función

En un tratamiento de la lógica de predicado que permite que una introduzca nuevos símbolos del predicado, uno también querrá poder introducir nuevos símbolos de la función. La introducción de nuevos símbolos de la función de viejos símbolos de la función es fácil; dado F de los símbolos de la función y G, hay un nuevo G, la composición del F o del símbolo de la función del del F y del G, satisfaciendo (el G ) ( X ) del F o = el F ( G ( X )), para todo el X de . Por supuesto, el derecho de esta ecuación no tiene sentido en lógica mecanografiada a menos que el tipo del dominio del F empareje el tipo del codomain del G, así que esto se requiere para que la composición sea definida.

Uno también consigue ciertos símbolos de la función automáticamente. En lógica untyped, hay una identificación del predicado de la identidad del que satisface la identificación ( X ) = el X para todo el X . En la lógica mecanografiada, dada cualquie tipo T, hay un T del id _{del predicado de la identidad con el dominio y el tipo T del codomain; satisface el T} ( X ) del id _{= el X para todo el X del tipo T . Semejantemente, si el T es un subtipo del U, después hay un predicado de la inclusión del tipo T del dominio y del tipo U del codomain que satisface la misma ecuación; hay símbolos adicionales de la función asociados a otras maneras de construir nuevos tipos fuera los viejos.}

Además, uno puede definir predicados funcionales después de probar un teorema apropiado . (Si usted está trabajando en un sistema formal que no permita que usted introduzca nuevos símbolos después de probar teoremas, después usted tendrá que utilizar símbolos de la relación para conseguir alrededor de esto, como en la sección siguiente.) Específicamente, si usted puede probar que para cada X (o cada X de cierto tipo), existe un único Y que satisface un cierto P de la condición, después usted puede introducir un F del símbolo de la función para indicar esto. Observar que el P sí mismo será un predicado emparentado que implica el X y el Y . Tan si hay tal P del predicado y un teorema: para todo el X del tipo T, para un cierto único Y del tipo U, P ( X, Y ), entonces usted puede introducir un F del símbolo de la función del tipo T del dominio y del tipo U del codomain que satisface: para todo el X del tipo T, para todo el Y del tipo U, P ( X, Y ) si y solamente si Y de = F ( X ).

El hacer sin predicados funcionales

Muchos tratamientos de la lógica de predicado no permiten los predicados funcionales, solamente predicados emparentados Esto es útil, por ejemplo, en el contexto de probar los teoremas de Metalogical (tales como teoremas del estado incompleto de Gödel, donde uno no quiere permitir la introducción de nuevos símbolos funcionales (ni de cuaesquiera otros nuevos símbolos, para esa materia). Pero hay un método de substituir símbolos funcionales por símbolos emparentados dondequiera que el anterior pueda ocurrir; además, esto es algorítmico y así conveniente para aplicar la mayoría de los teoremas metalogical al resultado.

Específicamente, si el F tiene el tipo T del dominio y tipo U del codomain, después él puede ser substituido por un P del predicado del tipo ( T, U ). Intuitivo, el P ( X, Y ) significa el F ( X ) = el Y . Entonces siempre que el F ( X ) apareciera en una declaración, usted puede substituirla por un nuevo Y del símbolo del tipo U e incluir otro P ( X, Y ) de la declaración. Para poder hacer las mismas deducciones, usted necesita un asunto adicional: del para todo el X de del tipo T, para un cierto único Y del tipo U, P ( X, Y ). (Por supuesto, éste es el mismo asunto que tuvo que ser probado que un teorema antes de introducir un nuevo símbolo de la función en la sección anterior.)

Porque la eliminación de predicados funcionales es conveniente para algunos propósitos y posible, muchos tratamientos de la lógica formal no se ocupan explícitamente de símbolos de la función sino que por el contrario utilizan solamente símbolos de la relación; otra manera de pensar en esto es que un predicado funcional es una clase especial del de predicado de, específicamente una que satisface el asunto arriba. Éste puede parecer ser un problema si usted desea especificar un esquema del asunto que se aplique solamente al funcional F de los predicados; ¿cómo usted sabe delante de tiempo si satisface esa condición? Para conseguir una formulación equivalente del esquema, primero substituir cualquier cosa del F ( X ) de la forma por un nuevo variable Y . Entonces el cuantifica universal sobre cada Y inmediatamente después que se introduce el correspondiente X (es decir, después de que el X se cuantifique encima, o al principio de la declaración si el X está libre), y guarda la cuantificación con el P ( X, Y ). Finalmente, hacer la declaración entera un la consecuencia material de la condición de la unicidad para un predicado funcional arriba.

Tomemos como ejemplo el esquema del axioma del reemplazo en la teoría determinada de Zermelo-Fraenkel. (Este ejemplo utiliza los símbolos matemáticos .) Estados de este esquema (en una forma), para cualquie funcional F del predicado en una variable:, \ existe del $\backslash \; del\; forall\; A\; del,\; \backslash \; forall\; C,\; C\; de\; B\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; F\; (C)\; \backslash \; en\; B.$ Primero, debemos substituir el F ( C ) por un cierto otro variable D :, \ existe del $\backslash \; del\; forall\; A\; del,\; \backslash \; forall\; C,\; C\; de\; B\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; D\; \backslash \; en\; B.$ Por supuesto, esta declaración no está correcta; El D se debe cuantificar encima enseguida después del C :, \ existe del $\backslash \; del\; forall\; A\; del\; B,\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; D,\; C\; del\; forall\; C\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; D\; \backslash \; en\; B.$ Todavía debemos introducir el P para guardar esta cuantificación:, \ existe del $\backslash \; del\; forall\; A\; del\; B,\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; D,\; P\; (C\; del\; forall\; C,\; D)\; \backslash \; el\; rightarrow\; (C\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; D\; \backslash \; en\; B).$ Esto está casi correcto, pero se aplica a demasiados predicados; qué queremos realmente es: ¡$del\; (\backslash ,\; \backslash \; existe\; del\; forall\; X!\; Y,\; P\; (X,\; Y))\; \backslash \; rightarrow\; (\backslash ,\; \backslash \; existe\; del\; forall\; A\; B,\; \backslash ,\; \backslash \; forall\; D,\; P\; (C\; del\; forall\; C,\; D)\; \backslash \; el\; rightarrow\; (C\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; el\; rightarrow\; D\; \backslash \; en\; B)).$ Esta versión del esquema del axioma del reemplazo es conveniente ahora para el uso en un lenguaje formal que no permita la introducción de nuevos símbolos de la función. Alternativo, uno puede interpretar la declaración original como declaración en un lenguaje tan formal; era simplemente una abreviatura para la declaración presentada en el extremo.

Ver también

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