En las matemáticas, especialmente en la teoría de la orden, el preorders es las relaciones binarias que satisfacen ciertas condiciones. Por ejemplo, todas las órdenes parciales y el que son las relaciones de equivalencia preorders. El quasiorder conocido es también campo común para preorders. Otras notaciones son pre-order, la cuasi-orden, y orden la casi. Muchos piden las definiciones teóricas para los sistemas parcialmente pedidos se pueden generalizar preorders, pero el esfuerzo adicional de la generalización se necesita raramente.

Definición formal

Considerar un cierto el determinado P de y un el $\backslash \; lesssim$ de la relación binaria en el P . Entonces el $\backslash \; lesssim$ es un preorder, o el quasiorder, si es el reflexivo y el transitivo, es decir, para todo el un, el b y el c en el P, tenemos eso:

l un del $\backslash \; lesssim$ de un
de (reflexivity) si un del c del $\backslash \; lesssim$ del b y del b del $\backslash \; lesssim$ de entonces un c (transitividad) del $\backslash \; lesssim$ de

Un sistema que se equipa de un preorder se llama un sistema preordered .

Si un preorder es también el antisimétrico, es decir, el un b del $\backslash \; lesssim$ de y del $\backslash \; lesssim$ del b un implica el = el b, después es una orden parcial .

Por una parte, si es el simétrico, es decir, si el un b del $\backslash \; lesssim$ de implica el del $\backslash \; lesssim$ del b un, después él es una relación de equivalencia .

Un preorder que se preserva en todos los contextos se llama un precongruence . Un precongruence que es también que simétrico (es decir es una relación de equivalencia ) es una relación de la congruencia.

Construcciones

Cada relación binaria R en un sistema S se puede ampliar a un preorder en S tomando el el encierro transitivo y a el encierro reflexivo, R⁺⁼. El encierro transitivo indica la conexión de la trayectoria en R: y del x R⁺ si y solamente si hay una trayectoria del r del x al Y.

Dado un $\backslash \; lesssim$ del preorder en S uno pueden definir un ~ de la relación de equivalencia en S tales que un b del ~ de si y solamente si un del $\backslash \; lesssim$ del b y del b del $\backslash \; lesssim$ de un . (La relación resultante es reflexiva puesto que un preorder es reflexivo, transitivos aplicando la transitividad del preorder dos veces, y simétricos por definición.)

Usar esta relación, es posible construir una orden parcial en el sistema del cociente de la equivalencia, S/~, el sistema de todas las clases de la equivalencia de ~. Observar que si el preorder es R⁺⁼, S/el ~ es el sistema de clases de equivalencia del ciclo del r: &isin del x ; si y solamente si el x = el y o el x está en un R-ciclo con el Y. en todo caso, en S/~ podemos definir el ≤ si y solamente si y del $\backslash \; lesssim$ del x . Por la construcción del ~, esta definición es independiente de los representantes elegidos y la relación correspondiente está de hecho bien definida. Se verifica fácilmente que éste rinde un sistema parcialmente pedido.

Inversamente, de una orden parcial en una partición de un sistema S uno puede construir un preorder en el S. Hay una 1 correspondencia to-1 en medio preorders y se aparea (partición, orden parcial).

Para un " del preorder; $\backslash \; lesssim$", un " de la relación; <" se pueden definir como < el b si y solamente si ( un b del $\backslash \; lesssim$ de y no del $\backslash \; lesssim$ del b un ), o equivalente, usar la relación de equivalencia introducida arriba, ( un b del $\backslash \; lesssim$ de y no un b del ~ de ). Es una orden parcial terminante ; cada orden parcial terminante puede ser el resultado de tal construcción. Si el preorder es antisimétrico, por lo tanto un " parcial de la orden; ≤", la equivalencia es igualdad, tan el " de la relación; <" se pueden también definir como < el b si y solamente si ( un b del ≤ de y un b del ≠ de ).

(Alternativo, para un " del preorder; $\backslash \; lesssim$", un " de la relación; <" se pueden definir como < el b si y solamente si ( un b del $\backslash \; lesssim$ de y un b del ≠ de ). El resultado es la reducción reflexiva del preorder. Sin embargo, si el preorder no es antisimétrico el resultado no es transitivo, y si es, como hemos visto, es igual que antes.)

Tenemos inversamente un b del $\backslash \; lesssim$ de si y solamente si < el b o un b del ~ de . Ésta es la razón de usar el " de la notación; $\backslash \; lesssim$" ; " ≤" puede ser confuso para un preorder que no sea antisimétrico, puede sugerir que el un b del ≤ de implica ese < el b o = el b .

Observar que con esta construcción el múltiplo preorders el " $\backslash \; lesssim$" puede dar el mismo " de la relación; <", tan sin más información, tal como la relación de equivalencia, " $\backslash \; lesssim$" no puede ser reconstruido de " <". Posible preorders incluyen el siguiente:
Definir el un b del ≤ de como < el b o = el b (es decir, tomar el encierro reflexivo de la relación). Esto da la orden parcial asociada al " parcial terminante de la orden; <" a través de encierro reflexivo; en este caso la equivalencia es igualdad, así que no necesitamos el $\backslash \; lesssim$ de las notaciones y el ~.
Definir el un b del $\backslash \; lesssim$ de como " no b < un (es decir, tomar el complemento inverso de la relación), que corresponde a definir el un b del ~ de como " ni < b ni b < un ; el $\backslash \; lesssim$ de estas relaciones y el ~ están en el general no transitivo; sin embargo, si son, el ~ es una equivalencia; en ese " del caso; <" es una orden débil terminante . El resultar preorder es el total.

Los ejemplos de preorders

Implicación lógica sobre oraciones
Una red es un dirigió preorder, es decir, cada par de elementos tiene un límite superior. La definición de la convergencia vía redes es importante en la topología, donde preorders no puede ser substituido por los sistemas parcialmente pedidos sin perder características importantes.
El que encaja la relación de para los orderings contables del total.
La relación Gráfico-de menor importancia en la teoría de gráfico .
En de informática, el subtyping relaciones de está preorders generalmente.

Ejemplo de a:
Preferencia, según modelos comunes.

El número de preorders

Según lo explicado arriba, hay una 1 correspondencia to-1 en medio preorders y se aparea (partición, orden parcial). Así el número de preorders es la suma del número de órdenes parciales en cada partición. Por ejemplo:
para n=3: 1 partición de 3, dando 1 preorder
3 particiones de 2+1, dando a 3 el × 3 = 9 preorders
1 partición de 1+1+1, dando 19 preorders el es decir junto 29 preorders. para n=4: 1 partición de 4, dando 1 preorder
7 particiones con dos clases (4 de 3+1 y 3 de 2+2), dando a 7 el × 3 = 21 preorders
6 particiones de 2+1+1, dando a 6 el × 19 = 114 preorders
1 partición de 1+1+1+1, dando 219 preorders el es decir junto 355 preorders.

Intervalo

Para el un b del $\backslash \; lesssim$ de, el intervalo es el sistema de satisfying del x de los puntos un b del $\backslash \; lesssim$ del x y del x del $\backslash \; lesssim$ de, también escrito un b del $\backslash \; lesssim$ del x del $\backslash \; lesssim$ de . Contiene por lo menos el de los puntos un y el b . Uno puede elegir ampliar la definición a todos los pares ( un, b ). Los intervalos adicionales son todos vacíos.

Usar el " terminante correspondiente de la relación; <", uno puede también definir el intervalo ( un, b ) como el sistema de satisfying del x de los puntos < el x y el x < el b, también escrito el < el x < el b . Un intervalo abierto puede ser vacío incluso si < el b .

También y ('' a '', '' b '' se puede definir semejantemente.

Ver también

la orden parcial - preorder que es el antisimétrico
- preorder que es el total
La orden total - preorder que es antisimétrica y total
El dirigió determinado
Categoría de los sistemas preordered
Prewellordering

.

Zenithic

Preorder

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